Disco arrastrando una varilla

Enunciado

(Primer Parcial, Enero 2010, P1)

En el sistema de la figura los tres sólidos realizan un movimiento plano cuando el disco de radio $R$ (sólido “0”) rueda sin deslizar sobre el sólido “1”. El centro del disco, $C$, se desplaza con una velocidad $\mathbf {v} _{C}=v(t)\mathbf {i} _{1}$. La barra de longitud $3R$ (sólido “2”) tiene su extremo $C$ articulado en el centro del disco, mientras que se apoya en el borde $O$ del sólido “1”.

1. Determine gráficamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {21}, {20} y {01}.
2. En el instante en que la distancia entre los puntos $O$ y $B$ es igual a $R$, la velocidad del punto $C$ es $\mathbf {v} _{C}=v_{0}\ \mathbf {i} _{1}$. Calcule las reducciones cinemáticas de los tres movimientos en el punto $C$.
3. Exprese el vector de posición del punto $A$ en el sistema “1”, $\mathbf {r} _{21}^{A}$, en función de un ángulo $\beta$ arbitrario.
4. Si ${\dot {\beta }}=-\Omega$, con $\Omega$ constante y positiva, calcule $\mathbf {v} _{21}^{A}(t)$ y $\mathbf {a} _{21}^{A}(t)$ para todo instante de tiempo, en función de $\beta$, $\Omega$ y $R$.

Solución

Como paso previo a la solución de los distintos apartados procederemos a adoptar los sistemas de referencia equivalentes a los distintos sólidos rígidos del sistema bajo estudio. En la figura del enunciado se indican los ejes $\displaystyle OX_{1}Y_{1}$ asocidados al sólido “1”, respecto del cuál, el disco “0” y la varilla “2” realizan sendos movimientos planos {01} y {21}, que tienen como plano director al definido por aquellos ejes; es decir, la dirección normal a dicho plano esta definida por el eje $OZ_{1}$. Tal como se muestra en la figura, resulta conveniente adoptar sistemas de referencia ligados a los sólidos móviles “0” y “2” cuyas direcciones $CZ_{0}$ y $AZ_{2}$ sean también perpendiculares a dicho plano director. Tomando como eje $AX_{2}$ la dirección ${\overline {AC}}$ definida por la varilla “2”, que forma un ángulo $\beta$ con el eje $OX_{1}$, y como eje $CX_{0}$ una dirección arbitraria contenida en el disco “0”, se tendrá la siguiente relación entre los vectores de los triedros cartesianos asociados a cada uno de los sólidos:

${\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf {i} _{2}=\cos \beta \ \mathbf {i} _{1}+\mathrm {sen} \beta \ \mathbf {j} _{1}\\\displaystyle \mathbf {j} _{2}=-\mathrm {sen} \beta \ \mathbf {i} _{1}+\cos \beta \ \mathbf {j} _{1}\\\displaystyle \mathbf {k} _{2}=\mathbf {k} _{1}\end{array}}\qquad \qquad \qquad \qquad {\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf {i} _{0}=\cos \varphi \ \mathbf {i} _{1}-\mathrm {sen} \varphi \ \mathbf {j} _{1}\\\displaystyle \mathbf {j} _{0}=\mathrm {sen} \varphi \ \mathbf {i} _{1}+\cos \varphi \ \mathbf {j} _{1}\\\displaystyle \mathbf {k} _{0}=\mathbf {k} _{1}\end{array}}$

Los movimientos relativos de los sólidos “2” y “0” respecto del sólido fijo “1” se corresponderán con sendas leyes horarias $\beta (t)$ y $\varphi (t)$ que describen cómo cambian en el tiempo dichos ángulos y, por tanto, cómo se mueven los triedros $\{\mathbf {i} _{2}\mathrm {,} \mathbf {j} _{2}\mathrm {,} \mathbf {k} _{2}\}$ y $\{\mathbf {i} _{0}\mathrm {,} \mathbf {j} _{0}\mathrm {,} \mathbf {k} _{0}\}$, respecto del $\{\mathbf {i} _{1}\mathrm {,} \mathbf {j} _{1}\mathrm {,} \mathbf {k} _{1}\}$. Además, aplicando las fórmulas de Poisson podemos establecer la relación entre las derivadas de dichas leyes horarias y los vectores rotación instaneas de los movimientos {01} y {21}:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {k} _{0}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}_{1}=\mathbf {0} ={\vec {\omega }}_{01}\times \mathbf {k} _{0}\\{}\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {i} _{0}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}_{1}=-{\dot {\varphi }}(t)\ \mathbf {j} _{0}={\vec {\omega }}_{01}\times \mathbf {i} _{0}\end{array}}\right\}$   ⇒   ${\vec {\omega }}_{01}=-{\dot {\varphi }}(t)\ \mathbf {k} _{1}$

  $\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {k} _{2}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}_{1}=\mathbf {0} ={\vec {\omega }}_{21}\times \mathbf {k} _{2}\\{}\\\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {i} _{2}}{\mathrm {d} t}}{\bigg |}_{1}={\dot {\beta }}(t)\ \mathbf {j} _{2}={\vec {\omega }}_{21}\times \mathbf {i} _{2}\end{array}}\right\}$   ⇒   ${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\beta }}(t)\ \mathbf {k} _{1}$

Determinación gráfica de los C.I.R.

Por tratarse de movimientos planos, los C.I.R. se corresponden con los puntos que en un determinado instante se encuentran en reposo (instantáneo o permanente). Consideremos el instante arbitrario $t$, en que los ejes $AX_{2}$ y $CX_{0}$ forman sendos ángulos $\beta (t)$ y $\varphi (t)$.

El sólido “0” (disco) rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}$; por tanto, si $B$ es el punto de contacto entre ambos sólidos en el instante considerado, tendrá velocidad instantánea nula y sera el C.I.R. del movimiento {01}:

${\overrightarrow {CB}}(t)=-R\ \mathbf {j} _{1}\,\longrightarrow \,\mathbf {v} _{01}^{B}(t)=\mathbf {0}$   ⇒   $B\equiv I_{01}(t)$

En todo instante, el punto $C$ es el centro del disco “0” y uno de los extremos de la varilla “2”. Por tanto, se trata de un punto que permanece fijo en el movimiento relativo {20} (y también en el {02}). En consecuencia, el punto $C$ es el centro permanente de rotación de dicho(s) movimiento(s):

$\mathbf {v} _{20}^{C}(t)=\mathbf {0} \mathrm {,} \;\ \forall \ t$   ⇒   $C\equiv I_{20}$

Además, utilizando la ley composición de velocidades instantáneas, se tendrá...

${\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{C}(t)=\mathbf {v} _{20}^{C}\!\!\!\!\!\!\!\searrow (t)+\mathbf {v} _{01}^{C}(t)=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)\mathbf {,} \;\ \forall \,t\\\qquad \qquad \quad \;\mathbf {0} \end{array}}$

Aplicando el teorema de los tres centros se tendrán que el C.I.R. del movimiento {21}, en el instante considerado, debe encontrarse en la recta $\displaystyle \Delta$ determinada por los puntos $B$ y $C$ que, como hemos visto, se corresponden con los C.I.R. de los movimientos {01} y {20}, respectivamente. Por tanto,

$I_{21}\in \Delta (B,C)\|\ \mathbf {j} _{1}\quad \Longrightarrow \quad {\overrightarrow {CI}}_{21}=\lambda \ \mathbf {j} _{1}$

siendo $\lambda \in \mathrm {I} \!\mathrm {R}$ el parámetro cuyo signo y valor determina la posición del $I_{21}$ respecto del punto $C$ en el instante considerado. Por otra parte, obsérvese que la recta $\displaystyle \Delta$ es la dirección contenida en el plano de movimiento que además es perpendicular a la velocidad del punto $C$, tanto en el movimiento {01} como en el {21}. De esta forma, se tendrá...

$\mathbf {v} _{C}(t)=v(t)\ \mathbf {i} _{1}=\mathbf {v} _{01}^{C}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}(t)\perp \mathbf {k} _{1}\mathbf {,} \Delta \quad \Longleftrightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf {v} _{01}^{C}(t)={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {I_{01}C}}\\\\\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{C}(t)={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {I_{21}C}}\end{array}}\right.$

Para determinar la posición del $I_{21}$ necesitamos conocer más datos, por ejemplo, la dirección de la velocidad de otro punto de la varilla en el movimiento {21}. Y este dato podemos conocerlo para el punto de dicho sólido “2” que en un determinado instante se halla en contacto con el vértice $O$ del sólido fijo “1”. Para verlo más claramente consideraremos el movimiento {12}; es decir, el que realiza el vértice $O$ del sólido “1” observado desde el sólido “2”: como dicho punto está siempre en contacto con la varilla, su velocidad en el movimiento {12} debe ser colineal con ella; es decir, tiene la dirección del segmento ${\overline {CA}}$. Y puesto que las velocidades instantáneas de un mismo punto en los movimientos {12} y {21} son opuestas, se verificará:

$\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{O}(t)={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {I_{21}O}}=-\mathbf {v} _{12}^{O}(t)\ \|\ {\overrightarrow {AC}}=3R\ \mathbf {i} _{2}$

Por tanto, el C.I.R. del movimiento {21}, $I_{21}$, deber estar sobre la recta $\displaystyle \Gamma$ contenida en el plano de movimiento, que pasa por el punto $O$ y es perpendicular a la dirección definida por ${\overrightarrow {AC}}$:

$I_{21}\in \Gamma (O)\perp \ \mathbf {k} _{1,2}\ \mathbf {;} \ \mathbf {i} _{2}\quad \Longrightarrow \quad {\overrightarrow {OI}}_{21}=\mu \ \mathbf {j} _{2}=\mu \left(-\mathrm {sen} \beta \ \mathbf {i} _{1}+\cos \beta \ \mathbf {j} _{1}\right)$

donde $\mu \in \mathrm {I} \!\mathrm {R}$ es el parámetro cuyo signo y valor determina la posición del $I_{21}$ respecto de $O$ en el instante $t$. La condición de pertenecia simultánea a las rectas $\displaystyle \Delta$ y $\displaystyle \Gamma$ permite determinar gráficamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}:

$I_{21}=\Delta \bigcap \Gamma$

Y con este resultado gráfico, ya es fácil determinar la posición relativa de dicho punto respecto de otros puntos de referencia del sistema y en función de sus propiedades geométricas. Consideremos los triángulos rectángulos $OBC$ y $OBI_{21}$, ambos con su ángulo recto en sus correspondientes vértices $B$. En el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OBC} se verifica la relación,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\beta=\frac{|\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{OC}|}=\frac{R}{|\overrightarrow{OC}|}}  ⇒  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{OC}|=\frac{R}{\mathrm{sen}\beta}}

En el triángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OBI_{21}} , el ángulo en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es el complementario de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} , por lo que el del vértice correspondiente al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{21}} es también el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} . Si se considera ahora un tercer triángulo rectángulo, el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle COI_{21}} , con el ángulo recto en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , se tendrá:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\beta=\frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{CI}_{21}|}}  ⇒  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{CI}_{21}|=\frac{|\overrightarrow{OC}|}{\mathrm{sen}\beta}=\frac{R}{\mathrm{sen}^2\beta}=|\lambda|}  ⇒  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{CI}_{21}=-\frac{R}{\mathrm{sen}^2\beta}\ \mathbf{j}_1}

Reducciones cinemáticas en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C}

En el enunciado se pide la expresión de las reducciones cinemáticas para los tres movimientos en el instante concreto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} , en el cual se verifica:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(t_0)=v_0\ \mathrm{;}\;\;\overrightarrow{OB}(t_0)=R\ \mathbf{i}_1\quad\Longrightarrow\quad\tan\beta(t_0)=1\quad\Longrightarrow\quad\beta(t_0)=\frac{\pi}{4}}

Pero a partir de los resultados del apartado anterior, es también inmediato obtener dichas reducciones en un instante arbitratio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t} en el cuál el ángulo que forma la varilla con la horizontal es un valor arbitrario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta(t)} , y la velocidad del centro del disco respecto del sólido “1” es  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_C(t)=v(t)\ \mathbf{i}_1} .

Reducción del movimiento {01}

Obtengamos el vector rotación instantánea y la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en dicho movimiento. El disco se mueve de manera que la velocidad de su centro viene dada por la expresión general  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{01}^C(t)=\mathbf{v}_C=v(t)\ \mathbf{i}_1} . Además, hemos determinado que el punto de contacto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es el C.I.R. de dicho movimiento, por lo que en todo instante debe verificarse...

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\mathbf{v}_{01}^C=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{BC}=\left[-\dot{\varphi}(t)\ \mathbf{k}_1\right]\times\left[R\ \mathbf{j}_1\right]= R\dot{\varphi}(t)\ \mathbf{i}_1=v(t)\ \mathbf{i}_1\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{01}^C(t)=v(t)\ \mathbf{i}_1\\ \\ \displaystyle\vec{\omega}_{01}(t)=-\dot{\varphi}(t)\ \mathbf{k}_1=-\frac{v(t)}{R}\ \mathbf{k}_1\end{array}\right.}

La reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} se obtiene particularizando el resultado anterior a dicho instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\left\{\vec{\omega}_{01}(t_0)=-\frac{v_0}{R}\ \mathbf{k}_1\mathrm{;}\quad\mathbf{v}_{01}^C(t_0)=v_0\ \mathbf{i}_1\right\}}

Reducción del movimiento {21}

Puesto que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} es también uno de los extremos de la varilla “2”, se cumplirá también  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{v}_{21}^C(t)=\mathbf{v}_C=v(t)\ \mathbf{i}_1} . Y para relacionar esta velocidad con el vector rotación del movimiento {21}, utilizamos la expresión de la mposición del C.I.R. respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\mathbf{v}_{21}^C=\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}C}=\left[\dot{\beta}(t)\ \mathbf{k}_1\right]\times\left[\frac{R\ }{\mathrm{sen}^2\beta(t)}\ \mathbf{j}_1\right]=-\frac{R\ \dot{\beta}(t)}{\mathrm{sen}^2\beta(t)}\ \mathbf{i}_1=v(t)\ \mathbf{i}_1 \quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{21}^C(t)=v(t)\ \mathbf{i}_1\\ \\ \displaystyle\vec{\omega}_{21}(t)=\dot{\beta}(t)\ \mathbf{k}_1=-\frac{v(t)\ \mathrm{sen}^2\beta(t)}{R}\ \mathbf{k}_1\end{array}\right.}

... y sustituyendo los valores correspondientes a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} se obtiene la reducción en el instante solicitado:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\left\{\vec{\omega}_{21}(t_0)=-\frac{v_0}{2R}\ \mathbf{k}_1\mathrm{;}\quad\mathbf{v}_{21}^C(t_0)=v_0\ \mathbf{i}_1\right\}}

Reducción del movimiento {20}

Tanto para un instante genérico como para el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_0} , el vector rotación del movimiento {20} se puede obtener por la correspondiente ley de composición. En cuanto a la velocidad instantánea del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en dicho movimiento, anteriormente establecimos que siempre va a ser nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\begin{array}{l}\displaystyle\mathbf{v}_{20}^C(t)=\mathbf{0}\mathrm{,}\; \forall\ t\\ \\ \displaystyle\vec{\omega}_{20}(t)=\vec{\omega}_{21}(t)-\vec{\omega}_{01}(t)=\frac{v(t)\ \mathrm{cos}^2\beta(t)}{R}\ \mathbf{k}_1 \end{array}\right\}\quad\Longrightarrow}  Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\left\{\vec{\omega}_{20}(t_0)=\vec{\omega}_{21}(t_0)-\vec{\omega}_{01}(t_0)=\frac{v_0}{2R}\ \mathbf{k}_1\mathrm{;}\quad\mathbf{v}_{20}^C(t_0)=\mathbf{0}\right\}}

Obsérvese que, con los datos proporcionados en este apartado, podemos conocer los vectores rotación y las velocidades instantáneas del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , pero no podemos saber nada acerca de las aceleraciones instantáneas de dicho punto, ni sobre las derivadas de los vectores rotación. Para ello necesitaríamos conocer el valor de la derivada temporal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{v}(t_0)} .

Vector posición del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

El radio-vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_{21}^A(t)} expresa la posición del extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la varilla “2” respecto del punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , en el transcurso del movimiento que se describe en el enunciado. Como la varilla siempre está en contacto con el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , el segmento orientado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} tiene la misma dirección y sentido opuesto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AC}} ; es decir, va a ser colineal con el vector unitario Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\mathbf{i}_{2}} . Por otra parte, su módulo ha de ser igual a la longitud total de la varilla (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3R} ), menos la longitud del segmento comprendido entre el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y el punto de contacto con el sólido “1”, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_{21}^A=\overrightarrow{OA}=-\left(3R-|\overrightarrow{OC}|\right) \mathbf{i}_2}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\mathbf{r}_{21}^A(t)= R\left(\frac{1}{\mathrm{sen}\beta(t)}-3\right)\left[\cos\beta(t)\ \mathbf{i}_1+\mathrm{sen} \beta(t)\ \mathbf{j}_1 \right] }

Obsérvese que esta expresión proporciona las ecuaciones horarias Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_{21} (t)} que describen movimiento absoluto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , en términos de la ley horaria la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \beta (t)} .

Velocidad y aceleración de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

En este último apartado se pide determinar cómo son la velocidad y aceleración instantánea de dicho extremo de la varilla, cuando ésta se mueve respecto del sólido “1” de manera que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\dot{\beta}(t)=-\Omega} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \Omega} una cantidad constante y positiva. A partir de este dato es muy fácil determinar la ley horaria Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\beta(t)} :

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle\frac{\mathrm{d}\beta (t)}{\mathrm{d}t}=-\Omega\ \mathrm{, cte.}}  ⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta(t)=\beta_0-\Omega\ t}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \displaystyle \beta_0} el valor del ángulo formado por la varilla y la dirección horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} en el instante inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} . Sustituyendo esta ley horaria en la última expresión del apartado anterior, obtendríamos las ecuaciones horarias del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{r}_{21}^A(t)} , cuando la varilla se mueve según las condiciones particulares expresadas en este apartado. Finalmente, sendas derivadas de primer y segundo orden con respecto al tiempo de estas ecuaciones horarias, proporcionan las expresiones de la velocidad y aceleración instantáneas de dicho extremo de la varilla:

$\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{A}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{21}^{A}(t)}{\mathrm {d} t}}\ \mathrm {;} \qquad \displaystyle \mathbf {a} _{21}^{A}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{21}^{A}(t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} _{21}^{A}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Aunque conceptualmente simple, el procedimiento descrito puede resultar un poco complicado o farragoso en el cálculo. Esta dificultad puede evitarse parcialmente si, partiendo de la expresión general de la ley horaria, $\mathbf {r} _{21}^{A}[\beta (t)]$, se aplica la regla de la cadena:

$\displaystyle \mathbf {v} _{21}^{A}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{21}^{A}}{\mathrm {d} \beta }}\ {\dot {\beta }}=-\Omega \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{21}^{A}}{\mathrm {d} \beta }}=\mathbf {v} _{21}^{A}[\beta (t)]$

Obseérvese que esto proporcionaría una expresión de la velocidad instantánea del punto $A$, en función de la posición del sistema en cada instante; es decir, en términos de la ley horaria $\displaystyle \beta (t)$. Por tanto, la aceleración instantánea del punto puede determinarse de nuevo mediante la aplicación de la regla de la cadena:

$\displaystyle \mathbf {a} _{21}^{A}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{21}^{A}}{\mathrm {d} \beta }}\ {\dot {\beta }}=-\Omega \ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{21}^{A}}{\mathrm {d} \beta }}=\Omega ^{2}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} _{21}^{A}}{\mathrm {d} \beta ^{2}}}$

Como es evidente, este procedimiento no evita completamente los problemas asociados al cálculo de unas derivadas que, aún sin ser complicadas, sí pueden ser fuente de errores.

Sin embargo, existe otro procedimiento en el que, prácticamente, no es necesario realizar ninguna derivada: la aplicación de las propiedades del campo de velocidades y aceleraciones instantáneas para la varilla en el movimiento {21}:

Cálculo de la velocidad instantánea

A partir de la expresión general de la reducción cinemática obtenida en el apartado 2.2.2., se tendrá:

$\mathbf {v} _{21}^{A}(t)=\mathbf {v} _{21}^{C}(t)+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}=v(t)\ \mathbf {i} _{1}-3R{\dot {\beta }}(t)\left(\mathbf {k} _{2}\times \mathbf {i} _{2}\right)=v(t)\ \mathbf {i} _{1}+3R\Omega \ \mathbf {j} _{2}$

Y teniendo en cuenta la relación general obtenida para la relación entre las componentes del vector rotación y de la velocidad instantánea del punto $C$, se tendrá:

$v(t)={\frac {R\Omega }{\mathrm {sen} ^{2}\beta (t)}}$  ⇒  $\mathbf {v} _{21}^{A}(t)=R\Omega \left[\left({\frac {1}{\mathrm {sen} ^{2}\beta (t)}}-3\mathrm {sen} \beta (t)\right)\ \mathbf {i} _{1}+3\mathrm {cos} \beta (t)\ \mathbf {j} _{1}\right]$

Cálculo de la aceleración instantánea

Las propiedades del campo de aceleraciones del movimiento {21} establecen que...

$\mathbf {a} _{21}^{A}(t)=\mathbf {a} _{21}^{C}(t)+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}+{\vec {\omega }}_{21}\times \left({\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {CA}}\right)$

donde se tendrá que...

$\mathbf {a} _{21}^{C}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{21}^{C}}{\mathrm {d} t}}={\dot {v}}(t)\ \mathbf {i} _{1}=2R\Omega ^{2}{\frac {\mathrm {cos} \beta (t)}{\mathrm {sen} ^{3}\beta (t)}}\ \mathbf {i} _{1}\ \mathrm {;} \qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{21}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}={\ddot {\beta }}\ \mathbf {k} _{1}=\mathbf {0}$

...y sustituyendo en la expresión de la acelerión instantánea del punto $A$, se obtiene:

$\mathbf {a} _{21}^{A}(t)=\mathbf {a} _{21}^{C}(t)-|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}{\overrightarrow {CA}}$ ⇒  $\mathbf {a} _{21}^{A}(t)=R\Omega ^{2}\left[\left({\frac {2}{\mathrm {sen} ^{3}\beta (t)}}+3\right)\cos \beta (t)\ \mathbf {i} _{1}+3\ \mathrm {sen} \beta (t)\ \mathbf {j} _{1}\right]$