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Disco apoyado sobre pared y varilla, Enero 2015 (G.I.C.)

De Laplace

1 Enunciado

Un disco homogéneo y rígido de radio R y peso P está apoyado en una barra rígida de longitud R y peso P, como se indica en la figura. La prolongación de la recta definida por la barra pasa por el centro del disco. El contacto es liso en la pared vertical, y rugoso entre la barra y el suelo, con coeficiente de rozamiento estático μ. El peso del disco se aplica en su centro (C), y el de la barra en su punto medio (E). En condiciones de equilibrio estático se pide

  1. La fuerza normal sobre la barra en el punto B.
  2. La fuerza sobre el disco en el punto A.
  3. ¿Qué condición debe cumplir el ángulo α para que el equilibrio sea posible?

2 Solución

Las tres preguntas pueden resolverse considerando el disco y la barra como un único sistema, y considerando sólo las fuerzas externas a este sistema. Por eso no se especifica en el enunciado si el contacto entre el disco y la barra es rugoso o no. La figura de la derecha muestra estas fuerzas externas, a saber: los pesos de la barra y el disco, la fuerza normal en A (contacto liso) y las fuerzas normal y de rozamiento en B (contacto rugoso). Usando el sistema de ejes de la figura estas fuerzas son


\begin{array}{l}
\vec{P}_C = -P\,\vec{\jmath} \\
\vec{P}_E = -P\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}^{\,A} = N^A\,\vec{\imath}\\
\vec{N}^{\,B} = N^B\,\vec{\jmath}\\
\vec{F}^{\,B}_r = F_r^B\,\vec{\imath}
\end{array}

Tenemos tres incógnitas: N^A, N^B, F_r^B. La condición de suma de fuerzas nula nos da dos ecuaciones, mientras que la condición de momento neto nulo nos da otra ecuación. De la suma de fuerzas obtenemos


\vec{P}_C + 
\vec{P}_E +
\vec{N}^{\,A} +
\vec{N}^{\,B} +
\vec{F}^{\,B}_r = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{ll}
(X): & N^A + F_r^B = 0\\
(Y): & N^B = 2P
\end{array}
\right.

Calculamos los momentos respecto del punto B. De esa forma las fuerzas en ese punto no contribuyen y no aparecen en la ecuación. Los momentos no nulos son


\begin{array}{l}
\overrightarrow{BE}\times\vec{P}_E = 
\dfrac{1}{2}\left(-R\cos\alpha\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times(-P\,\vec{\jmath}) = \dfrac{1}{2}RP\cos\alpha\,\vec{k}
\\
\overrightarrow{BC}\times\vec{P}_C = 
2\left(-R\cos\alpha\,\vec{\imath} + 2R\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\right)\times(-P\,\vec{\jmath}) = 2RP\cos\alpha\,\vec{k}
\\
\overrightarrow{BA}\times\vec{N}^{\,A} =
\left( -(R + 2R\cos\alpha)\,\vec{\imath} + (2R\,\mathrm{sen}\,\alpha)\,\vec{\jmath}\right)\times(N^A\,\vec{\imath}) = -2N^AR\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{k}
\end{array}

La suma de los tres momentos debe ser cero, de donde obtenemos


N^A = \dfrac{5}{4\tan\alpha}P

Y sustituyendo en las otras ecuaciones obtenemos


\begin{array}{l}
N^A = \dfrac{5}{4\tan\alpha}P \\
\\
N^B = 2P\\
\\
F^B_r = -\dfrac{5}{4\tan\alpha}P
\end{array}

El equilibrio se rompe por deslizamiento en el punto B. La condición de equilibrio es


|\vec{F}^{\,B}_r| \leq \mu |\vec{N}^{\,B}| 
\Longrightarrow
\tan\alpha \geq \dfrac{5}{8\mu}

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