Enunciado
El disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} y peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} de la figura sufre una fuerza horizontal de módulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} aplicada en su punto más alto. El contacto en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es liso, mientras que el contacto en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es rugoso con coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} .
- Calcula las fuerzas sobre el disco en situación de equilibrio estático.
- ¿Qué condición debe cumplir el coeficiente de rozamiento para que pueda haber equilibrio estático?
- En este último caso, ¿qué condición debe valer la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} para que el disco suba el escalón?
Solución
Fuerzas sobre el disco
Las fuerzas que actúan sobre el disco son su peso, la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} } horizontal aplicada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } y las fuerzas en los contactos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } . El contacto en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } es liso, por lo que la fuerza es perpendicular al suelo. El contacto en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } es rugoso, es decir, una componente de la fuerza es perpendicular a la superficie del disco y hay una componente de rozamiento tangente a la superficie del disco. La figura de la derecha muestra como son estas fuerzas.
La expresión de las fuerzas en el sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OXY } de la figura es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -P\,\vec{\jmath} \\ \vec{F} = F\,\vec{\imath}\\ \vec{N}^A = N^A\,\vec{\jmath}\\ \vec{N}^B = -N^B\,\cos\alpha\,\vec{\imath} + N^B\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\jmath}\\ \vec{F}_R^B = F_R^B\,\mathrm{sen}\,\alpha\,\vec{\imath} + F_R^B\cos\alpha\,\vec{\jmath} \end{array} }
Observando la figura vemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\alpha = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2} \to \alpha = \dfrac{\pi}{6} }
Con lo que las fuerzas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -P\,\vec{\jmath} \\ \vec{F} = F\,\vec{\imath}\\ \vec{N}^A = N^A\,\vec{\jmath}\\ \vec{N}^B = -N^B\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath} + N^B\,\dfrac{1}{2}\,\alpha\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{F}_R^B = F_R^B\,\dfrac{1}{2}\,\vec{\imath} + F_R^B\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\jmath} \end{array} }
La primera condición de equilibrio es que el sumatorio de fuerzas debe ser cero
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P} + \vec{F} + \vec{N}^A + \vec{N}^B + \vec{F}_R^B = \vec{0} }
De aquí obtenemos dos ecuaciones escalares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} (X)\quad\to\quad F - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,N^B + \dfrac{1}{2}\,F_R^B = 0 \\ (Y)\quad\to\quad -P + N^A + \dfrac{1}{2}\,N^B + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,F_R^B = 0 \end{array} }
La otra condición de equilibrio es que el momento neto de todas las fuerzas sea cero respecto de un punto cualquiera. Vamos a escoger el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } para calcular los momentos. Este punto está en las rectas soportes de todas las fuerzas salvo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R^B } . Por tanto, sólo estas dos fuerzas tienen momento distinto de cero. El momento de cada una de ellas es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{CD}\times\vec{F} = (R\,\vec{\jmath})\times(F\,\vec{\imath}) = -RF\,\vec{k} \\ \overrightarrow{CB}\times\vec{F}_R^B = \left| \begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}R & -\dfrac{1}{2}R & 0 \\ \dfrac{1}{2}F_R^B & \dfrac{\sqrt{3}}{2}F_R^B & 0 \end{array} \right| = F_R^BR\,\vec{k} \end{array} }
La suma de los dos debe anularse, por lo que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_R^B = F }
Tenemos así tres ecuaciones para tres incógnitas, a saber, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N^A } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N^B } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_R^B } . Resolviendo el sistema obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} N^A = P - \sqrt{3}F \\ \\ N^B = \sqrt{3}F \\ \\ F_R^B = F \end{array} }
Coeficiente de rozamiento
Para que el equilibrio sea posible el módulo de la fuerza de rozamiento tiene que ser menor que el valor máximo que éste puede obtener. Es decir, debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R^B| \leq \mu|\vec{N}^B| \Longrightarrow F \leq \mu\sqrt{3}F \Longrightarrow \mu \geq 1/\sqrt{3} }
Condición para que suba el escalón
El valor mínimo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F } que hace que el disco suba el escalón es el que hace que la fuerza de reacción vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } sea nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N^A = 0 \Longrightarrow F \geq P/\sqrt{3} }
