Dinámica del oscilador armónico (GIE)

Ley de Hooke

Todos los materiales sólidos poseen una cierta elasticidad, lo que implica que si se les aplica una pequeña fuerza se comprimen o estiran, según el sentido de la fuerza. Cuando ésta es débil, la deformación es aproximadamente proporcional a la fuerza aplicada. Para el caso de una barra que se estira o comprimer longitudinalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{r} = \frac{1}{k}\vec{F}_\mathrm{ext}}

Por la tercera ley de Newton, esto quiere decir que la barra ejerce una fuerza igual y de sentido contrario y por tanto proporcional a la deformación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=-\vec{F}_\mathrm{ext}=-k\Delta\vec{r}}

Esta es la conocida como ley de Hooke. Nos dice que cuando se estira o comprime un material elástico, éste ejerce una fuerza proporcional a la deformación efectuada y que se opone a ella (por lo que se denomina fuerza recuperadora).

Se trata de una aproximación válida solo para deformaciones y fuerzas pequeñas. Para deformaciones moderadas, la fuerza recuperadora deja de ser proporcional a la deformación. Para fuerzas grandes la fuerza ya no es capaz de devolver el sólido al estado inicial, con lo que la deformación es permanente (régimen plástico). Mayores deformaciones llegan a producir la ruptura del material.

La constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} que aparece en la ley de Hooke se denomina constante de recuperación o simplemente constante del muelle (por ser los muelles o resortes ejemplos típocs de aplicación de la ley).

Para el caso de una barra o resorte horizontal, podemos emplear cantidades escalares y escribir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = - k\,(\Delta x)}

siendo $\Delta x$ la diferencia entre la longitud instantánea, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell} y la longitud que tiene en ausencia de fuerza, conocida como longitud en reposo o longitud natural, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_0} , de forma que la ley de Hooke queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = -k(\ell-\ell_0)\,}

La longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell} puede ser tanto mayor como menor que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_0} .

Dinamómetros

La ley de Hooke es la base de los dinamómetros más sencillos. Estos aparatos miden una fuerza simplemente considerando la posición de equilibrio de un resorte elástico.

De acuerdo con la segunda ley de Newton, si sobre una partícula en el extremo de un resorte se aplica una fuerza externa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_\mathrm{ext}} , se cumplirá

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma =-k\left(\ell-\ell_0\right)+F_\mathrm{ext}\,}

Si el resorte está en equilibrio, la aceleración es nula y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq} = \ell_0 + \frac{F_\mathrm{ext}}{k}\qquad \Delta l = \frac{F_\mathrm{ext}}{k}}

con lo cual, midiendo el estiramiento, obtenemos la fuerza.

En el caso de que se trate de un resorte suspendido verticalmente, la fuerza externa es el peso de la masa colgada de él, de forma que la ecuación anterior queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma = -k\left(\ell-\ell_0\right) + mg\,\qquad\Rightarrow\qquad \ell_\mathrm{eq}=l_0+\frac{mg}{k}}

El estiramiento es proporcional a la masa, lo que constituye el fundamento de la mayoría de las balanzas.

Teniendo en cuenta la posición de equilibrio, la ley de Hooke puede escribirse

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma = -k\left( \ell-\ell_\mathrm{eq}\right)}

que nos dice que la dinámica de un resorte suspendido verticalmente es idéntica a la de uno horizontal, sin más que cambiar la longitud en reposo por la longitud de equilibrio (igual a la de reposo más una cierta cantidad proporcional a la masa colgada).

Movimiento de un oscilador armónico

Rectilíneo

Si tenemos un resorte gobernado la ley de Hooke, su ecuación de movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma = -k\left(\ell-\ell_\mathrm{eq}\right)\,}

Si medimos la posición no desde el extremo del resorte sino desde la posición de equilibrio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \ell-\ell_\mathrm{eq}\,}

esta ecuación se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = a = -\frac{k}{m}x}

Si hacemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2 = \frac{k}{m}}

vemos que la solución de esta ecuación es un movimiento armónico simple, con solución general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_0\cos(\omega t) +\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t) = A\cos(\omega t-\varphi)}

El periodo de las oscilaciones depende de la masa y la constante del muelle

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}

Esto quiere decir que para conseguir el doble de periodo debemos multiplicar por 4 la masa suspendida. La frecuencia natural de las oscilaciones vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f = \frac{1}{T}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}}

La amplitud y la constante de fase dependen de la posición y la velocidad iniciales.

Tridimensional

La ley de Hooke no solo se aplica a resortes lineales, sino que existen numerosos sistemas que, en las proximidades de un punto de equilibrio, obedecen la ecuación de movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=-\frac{k}{m}\vec{r}}

La solución de esta ecuación es la generalización del caso rectilíneo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \vec{r}_0\cos(\omega t) + \frac{\vec{v}_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\qquad \omega =\sqrt{\frac{k}{m}}}

Sin embargo, a diferencia del caso rectilíneo, esto no se trata de un movimiento armónico simple, aunque lo parezca, sino que la partícula describe una elipse en torno al punto de equilibrio. Esta elipse se encuentra contenida en el plano definido por la posición y la velocidad iniciales.

  

Asociaciones de osciladores

¿Qué sucede cuando colgamos un muelle de otro y una masa en el extremo del inferior? ¿Y sí ponemos una masa que cuelga estando sujeta a dos resortes simultáneamente? ¿Cuánto valen en esos casos la frecuencia de oscilación? ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio?

Resortes en paralelo

Consideremos en primer lugar el caso de dos resortes de constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} y longitudes en reposo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_{10}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_{20}} , que cuelgan del techo y una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} suspendida de ambos muelles simultáneamente. ¿Cuál es la posición de equilibrio y con qué frecuencia oscila la masa?

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell} la longitud que adquieren ambos resortes (que será necesariamente la misma para los dos).

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell = \ell_1 = \ell_2\,}

La ecuación de movimiento para la masa es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \frac{F}{m}=\frac{1}{m}\left(F_1+F_2+mg\right)}

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_2} las fuerzas producidas por cada una de los resortes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_1 = -k_1(\ell-\ell_{10})\qquad F_2 = -k_2(\ell-\ell_{20})}

La posición de equilibrio nos la da el que la fuerza sea cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -k_1(\ell-\ell_{10}) - k_2(\ell-\ell_{20}) + mg = 0\qquad\Rightarrow\qquad \ell_\mathrm{eq} = \frac{k_1\ell_{10}+k_2\ell_{20}+mg}{k_1+k_2}}

Podemos comprobar que en este resultado si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1\to\infty} (el primer muelle se hace infinitamente rígido)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{k_1\to\infty}\ell_\mathrm{eq} = \ell_{10}}

esto es, este resorte no se estira en absoluto. Igualmente si hacemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2\to\infty} , es el segundo muelle el que no se estira.

Definiendo la posición respecto a la de equilibrio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \ell-\ell_\mathrm{eq}\,}

la ecuación de movimiento se convierte en

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = -\frac{k_1+k_2}{m}x}

que nos dice que el muelle oscila en torno a su posición de equilibrio con una constante equivalente a la asociación que es la suma de las constantes individuales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_\mathrm{eq}=k_1+k_2\,}

de forma que la frecuencia de oscilación vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k_\mathrm{eq}}{m}}=\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}}

En particular, si las dos constantes son iguales, esto nos da una constante equivalente que es el doble de cada una de ellas.

Cuando tenemos dos muelles suspendidos en paralelo, la elongación de ambos, respecto a la posición de equilibrio, es necesariamente la misma, mientras que la fuerza es la suma de la que produce cada resorte

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_1 = x_2\,\qquad\qquad F= F_1+F_2}

De aquí la relación entre las constantes es inmediata

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = F_1 + F_2 = -k_1 x_1 - k_2 x_2 = -(k_1+k_2)x\qquad \Rightarrow\qquad k_\mathrm{eq}=k_1+k_2}

En general, siempre que tengamos dos, tres,... resortes atados a distintos anclajes fijos (que pueden estar en diferentes puntos del espacio) y todos a la misma masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , la constante equivalente de la asociación es igual a la suma de las constantes individuales.

Resortes en serie

Supongamos ahora dos resortes ideales de constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_2} y longitudes en reposo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_{10}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_{20}} conectados uno a continuación del otro y una masa que cuelga del extremo inferior de la asociación. En este caso, la masa se encuentra a una distancia del techo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell = \ell_1 + \ell_2\,}

Para escribir las ecuaciones de movimiento, consideraremos temporalmente que en el punto de unión de los dos muelles se encuentra una pequeña masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0} , que luego haremos tender a cero.

La segunda ley de Newton aplicada a la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma = -k_2\left(\ell_2-\ell_{20}\right)+mg\,}

Nótese que sobre esta masa no actúa el resorte 1, ya que no se encuentra conectado a la masa y no ejerce fuerzas a distancia. Esto nos permite expresar la elongación del muelle inferior en función del peso y la aceleración de la masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \ell_2 = \ell_2-\ell_{20} = \frac{F_2}{k_2}=\frac{1}{k_2}(mg-ma)}

Sobre la masa intermedia actúan los dos resortes, cada uno tirando en un sentido, de forma que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0a_0 = -k_1(\ell_1-\ell_{10})+k_2(\ell_2-\ell_{20})+m_0g\,}

Ahora bien, si la masa intermedia es despreciable, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0\to 0} y la ecuación se reduce a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -k_1(\ell_1-\ell_{10}) = -k_2(\ell_2-\ell_{20})\,}

esto es, los dos resortes ejercen la misma fuerza

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = F_1= F_2\,}

Esto nos permite calcular la elongación del muelle superior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \ell_1 = \ell_1-\ell_{10} = \frac{F_1}{k_1}=\frac{F_2}{k_1}=\frac{1}{k_1}(mg-ma)}

Dicho de otra forma, del muelle superior cuelga el inferior (sin masa) y la pesa que cuelga de éste. Por tanto se estira lo mismo que si colgara directamente la masa.

Sumando las dos elongaciones obtenemos la elongación total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell-(\ell_{10}+\ell_{20}) = \Delta \ell = \Delta \ell_1 + \Delta \ell_2 = \left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)(mg-ma)}

De aquí sacamos la posición de equilibrio, que se alcanza cuando la aceleración es nula

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell_\mathrm{eq} = \ell_{10}+\ell_{20} + \left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)mg}

y definiendo la elongación respecto a la posición de equilibrio

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reducimos la ecuación de movimiento a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = -\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)ma \qquad\Rightarrow\qquad a = -\frac{1}{m}\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)^{-1}x}

que nos dice que la asociación se comporta como un solo resorte cuya constante verifica

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{k_\mathrm{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}

En particular, si las dos constantes son iguales, esto nos da una constante equivalente que es la mitad de cada una de ellas.

En este caso, lo que tenemos es que la elongación es la suma de las dos elongaciones, mientras que la fuerza es la misma para los dos resortes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_1+x_2\qquad F=F_1=F_2}

de donde resulta de manera inmediata la relación entre constantes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_1+x_2 = \frac{F_1}{k_1}+\frac{F_2}{k_2}=\left(\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}\right)F\qquad\Rightarrow\qquad \frac{1}{k_\mathrm{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}}