Diadas y productos diádicos

Introducción

Lo que sigue es una introducción, bastante poco rigurosa, del concepto de producto diádico y sus posibles aplicaciones al cálculo tensorial. Al final figuran una serie de problemas de aplicación de esta técnica.

Definición de producto diádico

En el espacio tridimensional ordinario se suelen emplear dos productos entre vectores, el escalar, ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$, y el vectorial, ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$. Como su propio nombre indica, el primero es un escalar (esto es, un número), mientras que el segundo es un vector (rigurosamente hablando, es un seudovector).

Es posible definir un tercer producto que tiene carácter tensorial. Este producto diádico (o tensorial) puede representarse en coordenadas cartesianas por una matriz 3×3 cuyos elementos son los productos de las respectivas componentes

$({\vec {A}}{\vec {B}})=\left({\begin{matrix}A_{x}B_{x}&A_{x}B_{y}&A_{x}B_{z}\\A_{y}B_{x}&A_{y}B_{y}&A_{y}B_{z}\\A_{z}B_{x}&A_{z}B_{y}&A_{z}B_{z}\end{matrix}}\right)$

El producto diádico se indica sin punto, ${\vec {A}}{\vec {B}}$. También se representa con el símbolo de producto tensorial como ${\vec {A}}\otimes {\vec {B}}$. Al ente que forma se denomina diada.

Esta matriz puede obtenerse a partir de la representación de cada vector como una matriz fila o columna, ya que

$({\vec {A}}{\vec {B}})=\left({\begin{matrix}A_{x}B_{x}&A_{x}B_{y}&A_{x}B_{z}\\A_{y}B_{x}&A_{y}B_{y}&A_{y}B_{z}\\A_{z}B_{x}&A_{z}B_{y}&A_{z}B_{z}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{matrix}}\right)$

Puede compararse con el producto escalar, que es

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}=\left({\begin{matrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{matrix}}\right)\cdot \left({\begin{matrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{matrix}}\right)$

Debe recalcarse que la matriz es la representación del tensor, pero no es el tensor, del mismo modo que un vector no son sus tres componentes, ya que éstas pueden cambiar en una transformación de coordenadas o en un cambio de ejes, aunque el vector siga siendo el mismo.

Propiedades del producto diádico

Linealidad

El producto diádico, así definido, es lineal respecto a los dos vectores que lo forman, esto es

${\vec {A}}(\lambda {\vec {B}}+\mu {\vec {C}})=\lambda {\vec {A}}{\vec {B}}+\mu {\vec {A}}{\vec {C}}$$(\lambda {\vec {A}}+\mu {\vec {C}}){\vec {B}}=\lambda {\vec {A}}{\vec {B}}+\mu {\vec {C}}{\vec {B}}$

Esta propiedad no es exclusiva de este producto. También el producto escalar y el vectorial la satisfacen.

Simetría o antisimetría

A diferencia del producto escalar, que es conmutativo, y del vectorial, que es anticonmutativo, el producto diádico no será, en general, ni una cosa ni la otra. Es facil ver por qué: el producto $A_{x}B_{y}$ no tiene por que coincidir con $A_{y}B_{x}$. Así pues

${\vec {A}}{\vec {B}}\neq {\vec {B}}{\vec {A}}$

Traza

La traza del producto diádico se define como la suma de los elementos diagonales. Se deduce entonces que

$\mathrm {Tr} ({\vec {A}}{\vec {B}})=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$

Producto escalar de una diada por un vector

Puede multiplicarse escalarmente una diada por otro vector análogamente a como una matriz $3\times 3$ se multiplica por un vector columna. Resulta entonces

$({\vec {A}}{\vec {B}})\cdot {\vec {C}}={\vec {A}}({\vec {B}}\cdot {\vec {C}})$

Nótese el diferente carácter de los términos de esta expresión. En el primer miembro tenemos el producto de un tensor por un vector; en el segundo, el de un vector por un escalar. Nótese tambien la posición del punto.

Tenemos pues que el producto de una diada por un vector da otro vector que, en general, tendrá una dirección y un módulo diferente al original. De hecho, esta definición permite definir las diadas en una forma abstracta, independiente del sistema de coordenadas elegido, en forma de un operador vectorial.

Otros productos

Igualmente se puede multiplicar un vector escalarmente por la derecha

${\vec {C}}\cdot ({\vec {A}}{\vec {B}})\equiv ({\vec {C}}\cdot {\vec {A}}){\vec {B}}$

(obsérvese que el resultado cambia según el lado por el que se multiplique).

También se puede multiplicar simultaneamente por ambos lados. En este caso, el resultado es un número.

${\vec {C}}\cdot ({\vec {A}}{\vec {B}})\cdot {\vec {D}}=({\vec {C}}\cdot {\vec {A}})({\vec {B}}\cdot {\vec {D}})$

Asimismo se puede multiplicar vectorialmente

$({\vec {A}}{\vec {B}})\times {\vec {C}}={\vec {A}}({\vec {B}}\times {\vec {C}})$

en este caso, el resultado es otra diada. En general, todos los productos definidos sobre vectores son generalizables a diadas.

Base de las diadas

De la propiedad de linealidad resulta de forma inmediata que

${\vec {A}}{\vec {B}}=\left(\sum _{i}A_{i}{\vec {u}}_{i}\right)\left(\sum _{k}B_{j}{\vec {u}}_{j}\right)=\sum _{i,j}A_{i}B_{j}{\vec {u}}_{i}{\vec {u}}_{j}$

por lo que, conocidos los productos diádicos de los vectores de la base, podemos expresar cualquier diada en función de ellos. Por su parte, se tiene que, por ejemplo,

${\vec {\imath }}{\vec {\jmath }}=\left({\begin{matrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right)$

En general, el producto de dos vectores unitarios en cartesianas puede representarse, en forma matricial, como una matriz con un elemento unitario y los demás nulos. Por ello, podemos concluir que los productos diádicos de los vectores unitarios forman un sistema generador del conjunto de las diadas.

Tensores cartesianos

Partiendo de la analogía tensor/matriz puede extenderse lo dicho a todos los tensores, esto es, cualquier tensor puede expresarse como combinación lineal de diadas unitarias. En forma algebraica

${\mathcal {M}}=\sum _{ij}M_{ij}{\vec {u}}_{i}{\vec {u}}_{j}$

donde los $M_{ij}$ son los elementos de la matriz que representa al tensor en coordenadas cartesianas.

Es inmediato que las definiciones y propiedades del álgebra matricial pueden expresarse asimismo en su forma diádica.

Tensor unidad (o identidad)

Un tensor especialmente importante es el unitario, que se caracteriza por que todos los elementos de la diagonal valen la unidad y el resto son nulos. Se sigue que

${\mathcal {I}}={\vec {\imath }}{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}{\vec {k}}$

Puede comprobarse que se trata del tensor identidad viendo como actúa sobre un vector arbitario

${\mathcal {I}}\cdot {\vec {A}}=({\vec {\imath }}{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}{\vec {k}})\cdot {\vec {A}}={\vec {\imath }}({\vec {\imath }}\cdot {\vec {A}})+{\vec {\jmath }}({\vec {\jmath }}\cdot {\vec {A}})+{\vec {k}}({\vec {k}}\cdot {\vec {A}})=$$={\vec {\imath }}A_{x}+{\vec {\jmath }}A_{y}+{\vec {k}}A_{z}={\vec {A}}$

Cambios de base

Con lo dicho hasta ahora no se evidencia ninguna ventaja de la expresión diádica de un tensor sobre la expresión matricial. Estas aparecen cuando se considera que mientras que la última es válida sólo en coordenadas cartesianas, la primera es manejable tanto en su forma abstracta como en cualquier sistema.

Consideremos, por ejemplo, la diada

${\mathcal {M}}={\vec {r}}{\vec {r}}=x^{2}{\vec {\imath }}{\vec {\imath }}+xy({\vec {\imath }}{\vec {\jmath }}+{\vec {\jmath }}{\vec {\imath }})+\cdots +z^{2}{\vec {k}}{\vec {k}}$

Tanto esta expresión como la matricial tienen nueve componentes no nulas. Sin embargo, si empleamos coordenadas esféricas queda

${\mathcal {M}}={\vec {r}}{\vec {r}}=r^{2}{\vec {u}}_{r}{\vec {u}}_{r}$

esto es, sólo una componente es no nula y, por tratarse del mismo tensor (que, recordemos, es independiente del sistema de coordenadas) es mucho más fácil trabajar con esta expresión.

Hay que remarcar que, cuando se usan coordenadas no cartesianas, la expresión matricial del tensor carece de utilidad (en cuanto que no se va a comportar como lo hacen las matrices “normales”).

En particular la expresión del tensor identidad en cualquier base ortogonal es

${\mathcal {I}}={\vec {u}}_{1}{\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2}{\vec {u}}_{2}+{\vec {u}}_{3}{\vec {u}}_{3}$

Para realizar el cambio de un sistema de coordenadas a otro las reglas de transformación son análogas a las que se aplican entre vectores, sólo hay que aplicarlas a cada uno de los vectores unitarios que componen las diadas. Por ejemplo

${\vec {u}}_{r}{\vec {u}}_{r}=(\mathrm {sen} (\theta ){\vec {u}}_{\rho }+\cos(\theta ){\vec {k}})(\mathrm {sen} (\theta ){\vec {u}}_{\rho }+\cos(\theta ){\vec {k}})=$$=\mathrm {sen} ^{2}\theta {\vec {u}}_{\rho }{\vec {u}}_{\rho }+\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta )({\vec {u}}_{\rho }{\vec {k}}+{\vec {k}}{\vec {u}}_{\rho })+\cos ^{2}\theta {\vec {k}}{\vec {k}}$

Es posible también construir una base del espacio de los tensores combinando dos bases vectoriales diferentes (por ejemplo, construyendo los productos ${\vec {\imath }}{\vec {u}}_{r}$, ${\vec {\jmath }}{\vec {u}}_{\theta }$ y similares), pero no suele ser de mucha utilidad.

Diadas aplicadas a la física

La introducción de las diadas no pasaría de se un simple juego matemático si no sirvieran para simplificar las leyes físicas. En la física aparecen frecuentemente tensores cartesianos, todos los cuales admiten la expresión diádica correspondiente. En algunos caso ésta es más simple que las expresiones matriciales correspondientes. Veamos tres ejemplos, dos de mecánica y uno de electromagnetismo.

Tensor de inercia

Cuando se estudia el sólido rígido, se introduce el tensor de inercia ${\mathcal {J}}$ que, para un punto material, es una matriz con componentes

$({\mathcal {J}})=m\left({\begin{matrix}y^{2}+z^{2}&-xy&-xz\\-xy&x^{2}+y^{2}&-yz\\-xy&-yz&x^{2}+y^{2}\end{matrix}}\right)$

En forma diádica este tensor se escribe simplemente como

${\mathcal {J}}=m(r^{2}{\mathcal {I}}-{\vec {r}}{\vec {r}})$

Usando la expresión diádica podemos obtener, por ejemplo, el valor del momento angular

${\vec {L}}={\mathcal {J}}\cdot {\vec {\omega }}=m(r^{2}{\mathcal {I}}\cdot {\vec {\omega }}-({\vec {r}}{\vec {r}})\cdot {\vec {\omega }})=$$m(r^{2}{\vec {\omega }}-{\vec {r}}({\vec {r}}\cdot {\vec {\omega }}))=m{\vec {r}}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

Si lo que queremos es hallar el tensor de inercia de una distribución tendremos que

${\mathcal {J}}=\int \rho (r^{2}{\mathcal {I}}-{\vec {r}}{\vec {r}})\,d\tau$

También podemos obtener el tensor de inercia para una partícula en coordenadas esféricas como

${\mathcal {J}}=m(r^{2}({\vec {u}}_{r}{\vec {u}}_{r}+{\vec {u}}_{\theta }{\vec {u}}_{\theta }+{\vec {u}}_{\theta }{\vec {u}}_{\theta })-(r^{2}{\vec {u}}_{r}{\vec {u}}_{r}))=$$=mr^{2}({\vec {u}}_{\theta }{\vec {u}}_{\theta }+{\vec {u}}_{\theta }{\vec {u}}_{\theta })$

…y más allá

Hasta aquí hemos hablado de las diadas como un producto entre dos vectores y lo hemos aplicado al estudio de los tensores cartesianos de segundo orden exclusivamente. Sin embargo, todo lo dicho no es más que un caso particular de un producto tensorial, extensible a cualquier orden y cualquier métrica. No existe problema en definir el producto diádico de tres vectores ${\vec {A}}{\vec {B}}{\vec {C}}$ que sería un tensor de tercer orden, imposible de representar por una matriz. También es posible tratar las diadas como un caso particular de aplicación lineal sobre los vectores. Cabe entonces hablar de diadas duales, de coordenadas covariantes y contravariantes, etc. Para todo ello existe bibliografía disponible.