Dependencias del período de un péndulo

Enunciado

Un péndulo simple es una masa $m$ suspendida de un hilo ideal (sin masa), que tiene una longitud $l$. La masa está sometida a la aceleración de la gravedad, $g$. El péndulo llega a separarse de la vertical un cierto ángulo máximo $\theta _{0}$.

Si duplicamos la longitud del péndulo, ¿cómo cambiará su periodo de oscilación? ¿Y si nos llevamos el péndulo a la Luna, donde la gravedad es 1/6 de la terrestre?

Posibles dependencias

El periodo del péndulo solo puede depender de aquellas magnitudes que definen el problema: la longitud del hilo, $l$; la aceleración de la gravedad, $g$; la masa, $m$; y la amplitud inicial con la que se separa de la vertical,$\theta _{0}$.

$\tau =f(m,l,g,\theta _{0})\,$

Sin embargo, esta función no es arbitraria, ya que la ecuación debe ser dimensionalmente correcta. Si el primer miembro tiene dimensiones de tiempo, el segundo debe tenerlo también.

¿Qué combinación de estos cuatro factores produce un tiempo? Tenemos que $m$ tiene dimensiones de masa, $l$ de longitud, $g$ es una aceleración ($LT^{-2}$) y el ángulo inicial es adimensional. Para obtener un tiempo suponemos un producto de los diferentes factores elevados a ciertos exponentes n, p y q, que queremos determinar

$m^{n}l^{p}g^{q}\,$

que tiene dimensiones

$\left[m^{n}l^{p}g^{q}\right]=M^{n}L^{p}(LT^{-2})^{q}=M^{n}L^{p+q}T^{-2q}$

Puesto que esto debe ser igual a un tiempo (de dimensiones $T^{1}$) los exponentes deben cumplir

$n=0\qquad p+q=0\qquad -2q=1$

de donde

$m=0\qquad p={\frac {1}{2}}\qquad q=-{\frac {1}{2}}$

y por tanto el periodo de oscilación del péndulo debe ser necesariamente de la forma

$\tau ={\sqrt {\frac {l}{g}}}h(\theta _{0})$

siendo $h(\theta _{0})$ una cierta función de la amplitud de las oscilaciones. Esta función es desconocida por ahora, y para conocerla necesitamos resolver las ecuaciones de la dinámica del péndulo.

No obstante, no precisamos el conocimiento de esta función para poder afirmar que el periodo de un péndulo simple no depende del valor la masa sujeta en su extremo (un péndulo ligero y uno pesado oscilarán en sincronía, para la misma amplitud inicial).

Casos prácticos

A partir de la relación anterior podemos responder a preguntas concretas aunque desconozcamos la función $h(\theta _{0})$.

Si se duplica la longitud del hilo ¿cómo cambia el periodo? Suponemos que tenemos la misma amplitud en las oscilaciones. En ese caso

$\tau _{1}=h(\theta _{0}){\sqrt {\frac {l_{1}}{g}}}$     $\tau _{2}=h(\theta _{0}){\sqrt {\frac {l_{2}}{g}}}$

Dividiendo la una por la otra

${\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}={\sqrt {\frac {l_{2}}{l_{1}}}}$

Si duplicamos la longitud

${\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}={\sqrt {\frac {2l_{1}}{l_{1}}}}={\sqrt {2}}$ ⇒ $\tau _{2}=1.41\tau _{1}\,$

El periodo, por tanto, aumenta en un 40%.

Si nos llevamos el péndulo a la Luna, ¿cómo varía el periodo? Operando igualmente

${\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}={\sqrt {\frac {g_{1}}{g_{2}}}}={\sqrt {\frac {g_{1}}{g_{1}/6}}}={\sqrt {6}}$ ⇒  $\tau _{2}=2.45\tau _{1}\,$

El periodo es casi dos veces y media el que hay en la Tierra. Un reloj de péndulo situado en la Luna atrasará respecto a uno situado en la Tierra.