Densidad de corriente radial

Enunciado

En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

${\vec {J}}(r)=Ar(b-r){\vec {u}}_{r}$

con A y b dos constantes positivas, r la distancia al origen de coordenadas y ${\vec {u}}_{r}$ el vector unitario radial hacia afuera.

1. ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio b/2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
2. ¿Y si la esfera tiene radio b?
3. ¿Y si tiene radio 2b?

Solución

Podemos solucionar este problema de una manera general, suponiendo un radio r arbitrario y luego particularizando para los tres casos indicados.

De acuerdo con la ley de conservación de la carga, la derivada de la carga encerrada por una superficie es igual a

${\dfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-\oint {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}$

Si aplicamos esta ley a una superficie esférica tenemos que, al ser la densidad de corriente un campo central

$\oint {\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{r=\mathrm {cte} }J(r){\vec {u}}_{r}\cdot \left(\mathrm {d} S{\vec {u}}_{r}\right)=J(r)S=4\pi r^{2}J$

y, por tanto,

${\dfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=-4\pi r^{2}J(r)=-4\pi Ar^{3}(b-r)$

Tenemos los tres casos siguientes:

1. Si $r<b$ (en particular, si $r=b/2$) el segundo miembro es negativo y por tanto la carga está disminuyendo. La densidad de corriente va hacia fuera de esa esfera.
2. Si $r=b$ la derivada de la carga encerrada se anula. Esto quiere decir que en esa esfera la carga total permanece constante.
3. Si $r>b$ (en particular, si $r=2b$) el segundo miembro es positivo y por tanto la carga está aumentandoo. La densidad de corriente va hacia el interior de esa esfera.