Introducción
Una diada es un ente matemático tensorial que se define a partir del producto diádico de dos vectores. Es útil para expresar magnitudes físicas vectoriales, como el Tensor de Inercia, el momento cuadrupolar, el Tensor de Tensiones de Maxwell, etc. Vamos a definir el producto diádico y ver como se aplica en la Mecánica del Sólido Rígido
Producto diádico de dos vectores
Consideremos los vectores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}} con componentes cartesianas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a} = [a_1, a_2, a_3], \qquad \vec{b} = [b_1, b_2, b_3] }
Usaremos también el traspuesto de un vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^T = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right] \qquad\qquad \vec{b}^T = \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right] }
En el espacio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \R^n} y con coordenadas cartesianas las dos formas del vector son equivalentes. Podemos calcular el producto escalar de dos vectores como el producto matricial de un vector por el traspuesto del otro
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}\cdot\vec{b}^T= [a_1, a_2, a_3] \left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right] = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \sum\limits_{i=1}^3a_ib_i }
Calculamos el producto diádico de dos vectores como el producto matricial del vector traspuesto del primero por el segundo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b} = \vec{a}^T\vec{b} = \left[ \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right] [b_1, b_2, b_3] = \left[ \begin{array}{ccc} a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \end{array} \right] }
Es importante observar que no hay un punto entre los dos vectores, como ocurre en el producto escalar. El resultado de la operación es un tensor. Recordemos que la matriz que hemos obtenido es una representación del tensor, pero no el tensor en sí. Si cambiamos el sistema de coordenadas los elementos de la matriz cambian, pero el tensor no.
Propiedades del producto diádico
- Linealidad
Es lineal respecto a los vectores que lo forman
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}(\lambda\vec{b} + \mu\vec{c}) = \lambda\vec{a}\vec{b} + \mu\vec{a}\vec{c}\\ (\lambda\vec{a} + \mu\vec{c})\vec{b} = \lambda\vec{a}\vec{b} + \mu\vec{c}\vec{b} \end{array} }
- No es conmutativo
El producto diádico no es conmutativo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}\vec{b} \neq \vec{b}\vec{a}. }
- Traza
La traza de la matriz que representa el producto diádico es el producto escalar de los vectores que lo forman
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Tr(\vec{a}\vec{b}) = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = \vec{a}\cdot\vec{b}. }
- Producto de una diada por un vector
Podemos multiplicar escalarmente una diada por un vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{a}\vec{b})\cdot\vec{c} = \vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c}) }
El resultado es un vector, pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{b}\cdot\vec{c}} es el producto escalar de dos vectores.
También se puede multiplicar el vector por la izquierda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}\cdot(\vec{a}\vec{b}) = (\vec{c}\cdot\vec{a})\vec{b}. }
De nuevo, el resultado es un vector.
Otra operación posible es multiplicar escalarmente la diada por dos vectores por delante y por detrás
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{c}\cdot(\vec{a}\vec{b})\cdot\vec{d} = (\vec{c}\cdot\vec{a})(\vec{b}\cdot\vec{d}). }
Ahora el resultado es un escalar, pues son dos productos escalares de vectores.
Vemos que al multiplicar escalarmente una diada por un vector, el vector "extrae" el vector de la diada que está más próximo a él.
Expresión del Tensor de Inercia con diadas
Recordemos que el tensor unidad se puede representar como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset{\leftrightarrow}{U} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] }
Dado un vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} , se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset{\leftrightarrow}{U}\cdot\vec{a} = \vec{a}\cdot\overset{\leftrightarrow}{U} =\vec{a}. }
Introducimos también la integral de una matriz. Al integrar una matriz obtenemos una nueva matriz tal que sus elementos son la integral de los elementos de la matriz de partida
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left( \int\mathrm{d}m\, \overset{\leftrightarrow}{A} \right)_{ij} = \int\mathrm{d}m\,( \overset{\leftrightarrow}{A}_{ij}). }
Entonces, el Tensor de Inercia de un sólido en el origen de coordenadas se puede expresar como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset{\leftrightarrow}{I} _O = \overset{\leftrightarrow}{U} \int\mathrm{d}m\, r^2 - \int\mathrm{d}m\,\vec{r}\vec{r} }
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r} = [x_1, x_2, x_3]} es el vector de posición de cada punto del sólido rígido.
