Cálculo con diadas

Introducción

Una diada es un ente matemático tensorial que se define a partir del producto diádico de dos vectores. Es útil para expresar magnitudes físicas vectoriales, como el Tensor de Inercia, el momento cuadrupolar, el Tensor de Tensiones de Maxwell, etc. Vamos a definir el producto diádico y ver como se aplica en la Mecánica del Sólido Rígido

Producto diádico de dos vectores

Consideremos los vectores ${\vec {a}}$ y ${\vec {b}}$ con componentes cartesianas

${\vec {a}}=[a_{1},a_{2},a_{3}],\qquad {\vec {b}}=[b_{1},b_{2},b_{3}]$

Usaremos también el traspuesto de un vector

${\vec {a}}^{T}=\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right]\qquad \qquad {\vec {b}}^{T}=\left[{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}}\right]$

En el espacio $\mathbb {R} ^{n}$ y con coordenadas cartesianas las dos formas del vector son equivalentes. Podemos calcular el producto escalar de dos vectores como el producto matricial de un vector por el traspuesto del otro

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}^{T}=[a_{1},a_{2},a_{3}]\left[{\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{array}}\right]=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=\sum \limits _{i=1}^{3}a_{i}b_{i}$

Calculamos el producto diádico de dos vectores como el producto matricial del vector traspuesto del primero por el segundo

${\vec {a}}{\vec {b}}={\vec {a}}^{T}{\vec {b}}=\left[{\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right][b_{1},b_{2},b_{3}]=\left[{\begin{array}{ccc}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\end{array}}\right]$

Es importante observar que no hay un punto entre los dos vectores, como ocurre en el producto escalar. El resultado de la operación es un tensor. Recordemos que la matriz que hemos obtenido es una representación del tensor, pero no el tensor en sí. Si cambiamos el sistema de coordenadas los elementos de la matriz cambian, pero el tensor no.

Propiedades del producto diádico

Linealidad

Es lineal respecto a los vectores que lo forman

${\begin{array}{l}{\vec {a}}(\lambda {\vec {b}}+\mu {\vec {c}})=\lambda {\vec {a}}{\vec {b}}+\mu {\vec {a}}{\vec {c}}\\(\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {c}}){\vec {b}}=\lambda {\vec {a}}{\vec {b}}+\mu {\vec {c}}{\vec {b}}\end{array}}$

No es conmutativo

El producto diádico no es conmutativo

${\vec {a}}{\vec {b}}\neq {\vec {b}}{\vec {a}}.$

Traza

La traza de la matriz que representa el producto diádico es el producto escalar de los vectores que lo forman

$Tr({\vec {a}}{\vec {b}})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}.$

Producto de una diada por un vector

Podemos multiplicar escalarmente una diada por un vector

$({\vec {a}}{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$

El resultado es un vector, pues ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ es el producto escalar de dos vectores.

También se puede multiplicar el vector por la izquierda

${\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}{\vec {b}})=({\vec {c}}\cdot {\vec {a}}){\vec {b}}.$

De nuevo, el resultado es un vector.

Otra operación posible es multiplicar escalarmente la diada por dos vectores por delante y por detrás

${\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}{\vec {b}})\cdot {\vec {d}}=({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})({\vec {b}}\cdot {\vec {d}}).$

Ahora el resultado es un escalar, pues son dos productos escalares de vectores.

Vemos que al multiplicar escalarmente una diada por un vector, el vector "extrae" el vector de la diada que está más próximo a él.

Expresión del Tensor de Inercia con diadas

Recordemos que el tensor unidad se puede representar como

${\overset {\leftrightarrow }{U}}=\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]$

Dado un vector ${\vec {a}}$, se cumple

${\overset {\leftrightarrow }{U}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{U}}={\vec {a}}.$

Introducimos también la integral de una matriz. Al integrar una matriz obtenemos una nueva matriz tal que sus elementos son la integral de los elementos de la matriz de partida

$\left(\int \mathrm {d} m\,{\overset {\leftrightarrow }{A}}\right)_{ij}=\int \mathrm {d} m\,({\overset {\leftrightarrow }{A}}_{ij}).$

Entonces, el Tensor de Inercia de un sólido en el origen de coordenadas se puede expresar como

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{U}}\int \mathrm {d} m\,r^{2}-\int \mathrm {d} m\,{\vec {r}}{\vec {r}}$

donde ${\vec {r}}=[x_{1},x_{2},x_{3}]$ es el vector de posición de cada punto del sólido rígido.