Cuestión sobre Sólidos en Contacto, F1 GIA (Sept, 2012)

Enunciado

Los sólidos rígidos de la figura se encuentran en contacto, por lo que su movimiento relativo está sometido a ciertas restricciones. El extremo esférico del sólido “2” está obligado a permanecer en el interior del carril (sólido “1”), pudiendo desplazarse sólo a lo largo de su dirección longitudinal (paralela al eje $O_{1}Y_{1}$). Por otra parte, el sólido “2” no puede ejecutar giros en torno a dicha dirección debido a que el vástago cilíndrico está insertado en la ranura del sólido “1”.

1. Obtenga razonadamente el par cinemático (reducción cinemática en $O$) que describe de forma general el movimiento instantáneo permitido al sólido “2” respecto del carril (sólido “1”).
2. ¿Cuál es el número de grados de libertad del sistema? Justifique su respuesta.

Solución

Par cinemático

Para obtener una reducción cinemática que describa en cada instante el movimiento relativo de estos sólidos en contacto, resulta conveniente introducir un sistema de referencia auxiliar $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$, que constituirá el sólido rígido “0”. Tomaremos como origen de dicho sistema cartesiano el punto $O$ del sólido “2” en el cuál nos piden que hagamos la reducción, y adoptaremos como dirección $OZ_{0}$ el eje de simetría de dicho sólido, coincidiendo con el $OZ_{2}$ propuesto en la figura del enunciado. Además, adoptaremos un eje $OX_{0}$ paralelo en todo instante con el eje $O_{1}X_{1}$ solidaria con el carril o sólido “1”.

Reducción cinemática del movimiento {01}

Según hemos definido el sólido “0”, éste se moverá respecto del sólido fijo “1” de manera que el punto $O$ sólo puede desplazarse en la dirección del eje $O_{1}Y_{1}$, de manera que, en un instante de tiempo arbitrario $t$, la velocidad de dicho punto en el movimiento $\{01\}$ será:

$\mathbf {v} _{01}^{O}(t)=\mathbf {v} _{O}(t)=v_{O}(t)\!\ \mathbf {j} _{1}$

Las siguientes expresiones describen los vectores ortonormales asociados a los ejes cartesianos $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$, en términos de la base ortonormal de los ejes fijos $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}$:

$\mathbf {i} _{0}(t)=\mathbf {i} _{1}\mathrm {;} \,\quad \mathbf {j} _{0}(t)=\cos \theta (t)\!\ \mathbf {j} _{1}-\,\mathrm {sen} \,\theta (t)\!\ \mathbf {k} _{1}\mathrm {;} \,\quad \mathbf {k} _{0}(t)=\mathrm {sen} \,\theta (t)\!\ \mathbf {j} _{1}+\cos \theta (t)\!\ \mathbf {k} _{1}$

siendo $\theta (t)$ el ángulo que forma el eje de simetría del sólido “2” (es decir, el $OZ_{2}\equiv OZ_{0}$), con la dirección vertical paralela al eje fijo $O_{1}Z_{1}$. La aplicación de las fórmulas de Poisson en estas expresiones es una forma muy efectiva de obtener el vector rotación ${\vec {\omega }}_{01}$ que completa la descripción del movimiento instanténeo del sólido “0” respecto del carril “1”:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}_{01}\times \mathbf {i} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {i} _{0}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}=\mathbf {0} \\\\\displaystyle {\vec {\omega }}_{01}\times \mathbf {j} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {j} _{0}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{1}=-{\dot {\theta }}(t)\!\ \mathbf {k} _{0}(t)\end{array}}\right\}\,\;\Longleftrightarrow \quad {\vec {\omega }}_{01}(t)=-{\dot {\theta }}(t)\!\ \mathbf {i} _{1}={\vec {\Omega }}(t)$

Reducción cinemática del movimiento {20}

Por su parte, en el movimiento del sólido “2” respecto del sistema de referencia auxiliar que hemos introducido, el punto $O$ permanece en reposo permanente, ya que se trata de un punto fijo de aquél en el cuál situamos en todo instante el origen del sistema de referencia $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$:

$\mathbf {v} _{20}^{O}(t)=\mathbf {0} \mathrm {,} \,\;\forall \,t$

Al hacer coincidir en todo instante los ejes $OZ_{0}$ y $OZ_{2}$, las direcciones $OX_{2}$ y $OY_{2}$ formarán el mismo ángulo $\varphi (t)$ con los respectivos ejes $OX_{0}$ y $OY_{0}$, en un instante arbitrario $t$. Por tanto, se tendrá:

$\mathbf {i} _{2}(t)=\cos \varphi (t)\!\ \mathbf {i} _{0}+\,\mathrm {sen} \,\varphi (t)\!\ \mathbf {j} _{0}\mathrm {;} \,\quad \mathbf {j} _{2}(t)=-\mathrm {sen} \,\varphi (t)\!\ \mathbf {i} _{0}+\cos \varphi (t)\!\ \mathbf {j} _{0}\mathrm {;} \,\quad \mathbf {k} _{2}(t)=\mathbf {k} _{0}$

Aplicando nuevamente las fórmulas de Poisson al caso del movimiento $\{20\}$, obtenemos la expresión del correspondiente vector rotación instantánea ${\vec {\omega }}_{01}$:

$\left.{\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}\times \mathbf {k} _{2}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {k} _{2}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{0}=\mathbf {0} \\\\\displaystyle {\vec {\omega }}_{20}\times \mathbf {i} _{2}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {i} _{2}}{\mathrm {d} t}}{\bigg \rfloor }_{0}={\dot {\varphi }}(t)\!\ \mathbf {j} _{2}(t)\end{array}}\right\}\,\Longleftrightarrow \quad {\vec {\omega }}_{20}(t)={\dot {\varphi }}(t)\!\ \mathbf {k} _{0}={\vec {\omega }}(t)$

Reducción cinemática del movimiento {21}

Aplicando las expresiones para la composición de movimientos, obtenemos la reducción cinemática ${\big \{}\mathbf {v} _{21}^{O}\mathrm {;} \,{\vec {\omega }}_{21}{\big \}}$ (par cinemático) que describe el movimiento instanténeo permitido al sólido “2” respecto del carril “1”, cuando ambos se hayan en contacto:

$\mathbf {v} _{21}^{O}=\mathbf {v} _{20}^{O}+\mathbf {v} _{01}^{O}$   ⇒   $\mathbf {v} _{21}^{O}(t)=\mathbf {v} _{O}(t)=v_{O}(t)\!\ \mathbf {j_{1}}$

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$   ⇒   ${\vec {\omega }}_{21}(t)={\vec {\Omega }}(t)+{\vec {\omega }}(t)=-{\dot {\theta }}(t)\!\ \mathbf {i_{1}} +{\dot {\varphi }}(t)\!\ {\big [}\mathrm {sen} \,\theta (t)\!\ \mathbf {j} _{1}+\cos \theta (t)\!\ \mathbf {k} _{1}{\big ]}$

Número de grados de libertad

En virtud del teorema de Chasles, la velocidad instantánea en el movimiento $\{21\}$ de un punto arbitrario del sólido “2” estará determinada por la reducción cinemática anterior, según la ley,

$\mathbf {v} _{21}^{P}(t)=\mathbf {v} _{21}^{O}(t)+{\vec {\omega }}_{21}(t)\times {\overrightarrow {OP}}$

por el que el desplazamiento inifitesimal instantáneo de dicho punto arbitrario puede expresarse como la superposición de una traslación $\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}$ paralela al desplazamiento del punto $O$, y una rotación infitesimal $\mathrm {d} {\vec {\Phi }}$ alrededor de un eje que pasa por dicho punto $O$ y tiene la dirección del vector rotación ${\vec {\omega }}_{21}$ en el instante considerado:

$\mathrm {d} \mathbf {r} _{P}=\mathbf {v} _{21}^{P}(t)\!\ \mathrm {d} t=\mathrm {d} \mathbf {r} _{O}+\mathrm {d} {\vec {\Phi }}\times {\overrightarrow {OP}}\mathrm {,} \,\quad \mathrm {con} \,\quad \;{\begin{cases}\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{O}=\mathbf {v} _{21}^{O}(t)\!\ \mathrm {d} t=\mathrm {d} y_{O}\!\ \mathbf {j} _{1}\\\\\mathrm {d} {\vec {\Phi }}={\vec {\omega }}_{21}(t)\!\ \mathrm {d} t=-\mathrm {d} \theta \!\ \mathbf {j} _{1}+\mathrm {d} \varphi \!\ {\big [}\mathrm {sen} \,\theta (t)\!\ \mathbf {j} _{1}+\cos \theta (t)\!\ \mathbf {k} _{1}{\big ]}\end{cases}}$

Es decir, el desplazamiento de cualquier punto del sólido “2” respecto del carril “1” puede expresarse como el resultado de la variación de tres parámetros geométricos distintos, variables en el tiempo e independientes entre sí:

${\big \{}\theta (t)\mathrm {;} \,\varphi (t)\mathrm {;} \,y_{O}(t){\big \}}$

A saber, los ángulos $\theta (t)$ y $\varphi (t)$, descritos en el apartado anterior de este ejercicio, y la coordenada $y_{O}(t)$ del centro $O$ de la esfera que forma parte del sólido “2”, y es tal que ${\dot {y}}_{O}(t)=v_{O}(t)$. Por tanto, la restricciones impuestas por el contacto real entre los sólidos “1” y “2”, reduce a 3 el número de grados de libertad existentes en el movimiento relativo de ambos sólidos.