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Corrientes de intensidad variable (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Introducción

En general, el movimiento de las cargas es una función del tiempo. No obstante, es de especial interés el caso estacionario (que no estático) en el cual las cargas se mueven pero en un determinado punto del sistema siempre tienen la misma velocidad promedio, de manera que la densidad de corriente es siempre la misma. En ese caso se dice que tenemos corriente continua.

En corriente continua todas las derivadas respecto al tiempo son nulas. En particular, la carga de un condensador permanecerá constante.

Cuando el movimiento de las cargas es función del tiempo hay que tener en cuenta efectos como la variación de la carga en los condensadores y la inducción electromagnética.

El caso general de corrientes dependientes del tiempo puede ser extremadamente complicado, ya que aparecen fenómenos como la radiación electromagnética o el acoplamiento entre diferentes partes de un circuito.

Aquí consideraremos los casos más sencillos. Supondremos corrientes variables en el tiempo pero que cambian lentamente. En este caso, pueden aplicarse generalizaciones de las fórmulas de corriente continua (en particular, la ley de Ohm y la relación entre carga y potencial de un condensador) pero admitiendo que I = I(t).

2 El condensador real

En su forma general, la ley de conservación de la carga nos dice que la carga ni se crea ni se destruye. Esto quiere decir que si en un volumen cerrado la cantidad de carga contenida está disminuyendo es porque está escapando al exterior (ya que no puede desaparecer).

-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\oint_S \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

Consideremos ahora el caso de un condensador real, o condensador con pérdidas, formado por dos placas metálicas altamente conductoras, entre las cuales se encuentra un medio material dieléctrico de permitividad \varepsilon que tiene una pequeña conductividad σ. En este caso el condensador no funciona como un circuito abierto, sino que puede haber una corriente óhmica que lo atraviese.

Sea I la intensidad de corriente que llega a la placa positiva del condensador. Esa corriente no tiene por qué igualar a la que atraviesa el condensador, ya que puede haber variación en la carga almacenada.

Sea S una superficie cerrada que envuelve a la placa positiva. Aplicando la ley de conservación de la carga a esta superficie queda

-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\int_\mathrm{cable} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}+\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

La integral a través de la sección del cable es igual a la intensidad de corriente cambiada de signo, ya que hemos definido I como la corriente que entra, no la que sale

\int_\mathrm{cable} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = -I

Sustituimos y despejamos y queda

I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}

que podemos leer como que la intensidad de corriente que llega parte se emplea en variar la carga almacenada y parte se escapa por el medio dieléctrico.

Tenemos tres casos particulares:

Dieléctrico ideal
si el medio dieléctrico no tiene conductividad, la densidad de corriente en él es nula y la ecuación anterior se reduce a
I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad (\vec{J}=\vec{0})
Éste es el único caso en que la intensidad de corriente es igual a la derivada de la carga respecto al tiempo, cuando tenemos un condensador ideal de resistencia infinita (o conductancia nula).
Caso estacionario
Si estamos en una situación de corriente continua, todas las derivadas respecto al tiempo se anulan y queda
I = \int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad\qquad \left(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=0\right)
En este caso, toda la corriente que llega sigue circulando por el material y el dispositivo se comporta como una resistencia. Esto no quiere decir que no haya carga en las placas, sino que ésta es constante en el tiempo. Ahora bien, si la carga puede circular por el material, ¿cómo puede quedarse a la vez quieta en las placas? La respuesta es que las cargas individuales que están en las placas no son siempre las mismas. Un electrón llega a la placa negativa y las fuerzas eléctricas tiran de él y lo hacen atravesar el material, pero como las placas están conectadas a un generador, las cargas que escapan son sustituidas por otras nuevas.
Dispositivo aislado
Si desconectamos el generador se anula la intensidad de corriente que llega por el cable y la ecuación se reduce a
-\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\int_\mathrm{medio} \vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad \qquad (I=0)
En este caso lo que tenemos es que sin aporte externo de carga las placas se descargan gradualmente porque se escapan por el material.

Si la carga y la corriente en un condensador real varían lentamente con el tiempo, puede suponerse que la carga es proporcional a la diferencia de potencial, como en el caso estático

Q=C\,\Delta V

mientras que la corriente que circula por el material verifica la ley de Ohm, por tratarse de un material con conductividad

\int_\mathrm{medio}\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{\Delta V}{R}

En el caso particular de un condensador de placas paralelas, esta capacidad y resistencia valen

C = \frac{\varepsilon S}{a}\qquad\qquad R=\frac{a}{\sigma S}

Con estas relaciones, la intensidad de corriente que llega al condensador con pérdidas se expresa

I=C\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)+\frac{\Delta V}{R}

Si el condensador es ideal (R\to\infty) la corriente se reduce a

I=I_C=C\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)\qquad\qquad (R\to\infty)

y si la corriente es continua se anula la derivada respecto al tiempo

I=I_R=\frac{\Delta V}{R}\qquad\qquad\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)=0\right)

En el caso general tendremos la suma de los dos términos

I=I_C+I_R \qquad\qquad I_C=C\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)\qquad I_R=\frac{\Delta V}{R}

En términos de un circuito equivalente, el que la corriente que llega se escriba como suma de dos contribuciones nos dice que se puede modelar como dos elementos en paralelo. Uno de ellos es un condensador ideal, de resistencia infinita, y la corriente que pasa por él se denomina corriente capacitiva. El segundo es un resistor óhmico, sin capacidad, y la corriente que lo atraviesa es la componente resistiva.

En corriente continua solo pasa corriente por la resistencia, pero en situaciones de corrientes variables en el tiempo también hay componente capacitiva (lo que quiere decir en realidad que está variando la carga almacenada).

3 Descarga de un condensador

Como ejemplo de corriente variable tenemos el caso de la descarga de un condensador con pérdidas.

Supongamos en primer lugar que el condensador está conectado a una fuente de tensión contínua V0. En ese caso la carga almacenada en el condensador permanece constante e igual a CV0. Simultáneamente, por el dieléctrico fluye una corriente V0 / R. Como se comentó antes, las cargas individuales que se encuentran en las placas no son siempre las mismas, sino que atraviesan el material y son sustituidas por nuevas cargas procedentes del generador.

Si ahora desconectamos el generador, cesa el aporte de cargas externas y las que fluyen por el material no son repuestas. Como resultado, el condensador se descarga progresivamente.

Matemáticamente lo que tenemos es la ecuación diferencial

0 = I = C\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)+\frac{\Delta V}{R}\qquad\qquad \Delta V(t=0)=V_0

o, equivalentemente

\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)=-\frac{1}{RC}\Delta V\qquad\qquad \Delta V(t=0)=V_0

La solución de esta ecuación diferencial es una exponencial decreciente

\Delta V = V_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad\qquad \tau = RC

La constante de tiempo τ = RC es el llamado tiempo de carga (o de descarga, en este caso) del condensador. Da una medida del tiempo que tarda en descargarse el condensador, aunque este realmente requeriría un tiempo infinito, pasado 2 o 3 veces τ ya se puede suponer que está descargado.

En el caso de un condensador plano lleno de un medio dieléctrico con conductividad

RC = \frac{a}{\sigma S}\,\frac{\varepsilon S}{a}=\frac{\varepsilon}{\sigma}

Este tiempo suele ser extremadamente breve salvo en dieléctricos muy aislantes. Un buen dieléctrico es el metacrilato, cuya conductividad es de 10 − 13S / m y su permitividad es 3.4\varepsilon_0 = 3\times 10^{-11}\mathrm{F}/\mathrm{m} lo que da una constante de tiempo

\tau = \frac{3\times 10^{-11}}{10^{-13}}\mathrm{s}=300\,\mathrm{s}=5\,\mathrm{min}

En la descarga de un condensador también se produce disipación de energía por efecto Joule, siendo la potencia

P=\frac{(\Delta V)^2}{R}=\frac{V_0^2}{R}\mathrm{e}^{-2t/\tau}

siendo la energía total disipada

W_d = \int_0^\infty P\,\mathrm{d}t=\frac{V_0^2}{R}\int_0^\infty \mathrm{e}^{-2t/\tau}\mathrm{d}t=\frac{V_0^2}{R}\,\frac{\tau}{2}

Sustituimos el valor del tiempo de carga y queda

W_d = \frac{V_0^2}{R}\,\frac{RC}{2}=\frac{1}{2}CV_0^2

que es la energía almacenada inicialmente en el condensador. Interpretamos este resultado como que en el proceso de descarga del condensador la energía almacenada se disipa por efecto Joule.

4 Carga de un condensador

Un caso similar pero ligeramente diferente es el de la carga de un condensador.

Imaginemos un condensador ideal (de resistencia infinita), inicialmente descargado, una de cuyas placas se conecta a una fuente de continua de tensión V0, estando la otra placa puesta a tierra. La conexión no se efectúa a través de un cable perfectamente conductor, sino que posee una resistencia R (esta resistencia incluye las de los cables de ambas placas y la interna de la fuente de tensión).

Este circuito puede modelar, por ejemplo, a un conductor que se conecta a una fuente de tensión.

En este caso tenemos una asociación de una resistencia y un condensador en paralelo. Si denominamos A al nodo conectado a la fuente, B al punto de conexión entre la resistencia y el condensador y D al nodo a tierra. Se cumple

\Delta V_R + \Delta V_C = (V_A-V_B)+(V_B-V_D)=V_0\,

Cumpliéndose que

\Delta V_R = IR\qquad\qquad \Delta V_C = \frac{Q}{C}

y, por tratarse de un condensador ideal

I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}

lo que nos lleva a la ecuación diferencial

R\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\frac{Q}{C}=V_0\qquad\qquad Q(t=0)=0

Esta es una ecuación diferencial de coeficientes constantes, cuya solución es estándar. Buscamos primero una solución estacionaria. Pasado mucho tiempo el condensador está cargado por lo queda

Q_\infty = CV_0\,

Si ahora queremos la solución para todo instante, la escribimos como suma de ésta más una corrección

Q(t)= CV_0 + Q'\,

Sustituimos en la ecuación diferencial y queda

R\frac{\mathrm{d}Q'}{\mathrm{d}t}+\frac{Q'}{C}=0\qquad\qquad Q'(t=0)=-CV_0

cuya solución es, como antes, una exponencial decreciente

Q'(t)=-CV_0\mathrm{e}^{-t/\tau}\qquad\qquad \tau=RC

La solución completa es entonces

Q(t)=CV_0\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)

Esta solución tiende asintóticamente al estado estacionario. El periodo inicial, en el que el voltaje aun no es el estacionario, se denomina transitorio. Su duración puede estimarse como dos o tres veces el tiempo de carga RC.

La intensidad de corriente que circula por el cable decae exponencialmente

I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=\frac{CV_0}{\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}=\frac{V_0}{R}\mathrm{e}^{-t/\tau}

Desde el punto de vista energético, tenemos que la energía almacenada también va aumentando hasta su valor estacionario

U_\mathrm{e}=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}CV_0^2 \left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)^2

En t = 0 esta energía es nula. Pasado mucho tiempo tras la conexión tiende a CV_0^2/2.

Simultáneamente a este almacenamiento se destá disipando energía en la resistencia por efecto Joule. La potencia instantánea es

P=I^2R=\frac{V_0^2}{R}\mathrm{e}^{-2t/\tau}

y la energía total disipada

W_d = \int_0^\infty P\,\mathrm{d}\tau=\frac{V_0^2}{R}\,\frac{\tau}{2}=\frac{1}{2}CV_0^2

El valor de esta energía disipada coincide con el de la energía almacenada, pero en este caso no se trata de que la resistencia disipe la energía almacenada en el condensador, ya que ahora éste se está cargando, no descargando.

La energía disipada procede de la aportada por el generador. La potencia desarrollada por éste es

P_g = IV_0=\frac{V_0^2}{R}\mathrm{e}^{-t/\tau}

y el trabajo total realizado por el generador vale

W_g=\int_0^\infty P_g\,\mathrm{d}t=\frac{V_0^2}{R}\tau=CV_0^2

Este trabajo es el doble de la energía disipada y es igual a la suma del trabajo disipado en la resistencia en forma de calor y de la energía almacenada en el condensador

W_g =W_d+\Delta U_e\,

5 Corriente alterna

Una situación de especial importancia en el campo de la ingeniería es el de la corriente alterna, en el cual la corriente que fluye varía de forma sinusoidal con el tiempo

I(t)=I_0\cos(\omega t +\varphi)\,

donde, como en el movimiento armónico simple,

  • I0 es la amplitud.
  • ω es la frecuencia angular (medida en rad/s), que se relaciona con la frecuencia natural, f (medida en Hz) y con el periodo T, por
\omega = 2\pi f\qquad\qquad T=\frac{1}{f}=\frac{2\pi}{\omega}
  • \varphi es la constante de fase.

El que sea una función oscilante permite también el uso de fasores o amplitudes complejas

I(t)=\mathrm{Re}\left(\hat{I}\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right)

siendo

\hat{I}=I_0\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi}=(I_0\cos(\varphi))+\mathrm{j}(I_0\,\mathrm{sen}(\varphi))

5.1 Impedancia

En corriente alterna (c.a. o AC) el voltaje entre los extremos de un dispositivo también varía sinusoidalmente

\Delta V(t)=V_0\cos(\omega t +\beta)\,

y puede establecerse una relación entre el fasor de la intensidad y el del voltaje.

Resistencia
En una resistencia se cumple la ley de Ohm
\Delta V(t) = I(t)R\,
y por tanto las amplitudes complejas son proporcionales
\hat{V}=\hat{I}R\,
Condensador ideal
Si la resistencia del condensador es infinita tenemos la relación
I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=C\frac{\mathrm{d}(\Delta V)}{\mathrm{d}t}
En términos de amplitudes complejas, la derivación equivale a la multiplicación por , lo que da
\hat{I}=(\mathrm{j}\omega C)\hat{v}\qquad\Rightarrow\qquad \hat{V}=Z_C\hat{I}\qquad\qquad Z_C=\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}
Vemos que en términos de fasores se cumple también una “ley de Ohm” pero con una “resistencia” compleja. A esta constante de proporcionalidad se la denomina impedancia.
Z_R=R\qquad\qquad Z_C=\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}
Condensador real
En un condensador con pérdidas la corriente es una suma de la componente resistiva y de la capacitiva
I=C\,\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Delta V)+\frac{\Delta V}{R}
lo que da, en términos fasoriales
\hat{I}=(R+\mathrm{j}\omega C)\hat{V}\qquad\rightarrow\qquad Z=\frac{1}{R+\mathrm{j}\omega C}
La impedancia de la asociación cumple las reglas de las asociaciones en paralelo
\frac{1}{Z}=\frac{1}{Z_R}+\frac{1}{Z_C}

5.2 Potencia instantánea y promedio

En una resistencia por la cual circula una corriente alterna se disipa una potencia instantánea

P(t)=I(t)^2R=I_0^2R\cos^2(\omega t + \varphi)=\frac{I_0^2R(1+\cos(2\omega t+2\varphi)}{2}

Ésta es también una función oscilante, pero siempre positiva, que varía entre 0 e I_0^2R. Su valor promedio en un periodo (más interesante si el periodo es corto) será

\langle P\rangle = \frac{1}{2}I_0^2R

La potencia desarrollada por un generador que produce un voltaje alterno

\mathcal{E}=V_0\cos(\omega t)\,

cuando por él pasa una corriente alterna desfasada

I(t)=I_0\cos(\omega t +\varphi)\,

será

P_g=\mathcal{E}I = V_0I_0\cos(\omega t)\cos(\omega t+\varphi)

El valor medio sobre un periodo de esta potencia vale

\langle P_g\rangle = \frac{V_0I_0}{2}\cos(\varphi)

Este factor \cos(\varphi) es crucial a la hora de calcular si el generador está entregando energía que se consume o que se almacena.

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