Conexión de dos esferas alejadas

Enunciado

Se tiene un conductor formado por dos esferas de radios $a$ y $b$ ($a<b$), muy alejadas entre sí (de forma que la influencia de una sobre la otra es despreciable), pero unidas por un cable conductor ideal. El conductor almacena una carga $Q_{0}$.

1. ¿Cuánta carga se va a cada esfera? ¿En cuál de las dos es mayor la carga almacenada?
2. ¿En cual de las dos esferas es mayor la densidad de carga? ¿Y el campo eléctrico en la superficie?
3. Suponga que inicialmente la esfera grande almacena una carga $Q_{0}$ y la pequeña una carga nula, estando el cable desconectado. Se conecta el cable y se espera hasta que se alcance de nuevo el equilibrio electrostático. ¿Cuánto varía la energía almacenada en el sistema? ¿A qué se debe esta diferencia en la energía?

Carga en cada esfera

Cálculo directo

Al estar muy alejadas, las dos esferas se comportan como conductores independientes, salvo por el hecho de que están conectadas por un hilo. Este hilo, al ser ideal, no añade capacidad ni carga al sistema, pero garantiza que ambas esferas estén al mismo potencial, ya que las cargas pueden moverse de una esfera a la otra.

El potencial en cada una de las esferas será, en función de su carga

$V_{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}$    $V_{2}={\frac {Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}$

Si las dos esferas están al mismo potencial nos queda

$V_{1}=V_{2}\,$ ⇒ ${\frac {Q_{1}}{a}}={\frac {Q_{2}}{b}}$

lo que nos dice que la carga será mayor en la esfera más grande, en una cantidad proporcional no a su área sino a su radio (doble radio, doble carga).

Como además la carga total es $Q$, tenemos el sistema de ecuaciones

${\frac {Q_{1}}{a}}={\frac {Q_{2}}{b}}$    $Q_{1}+Q_{2}=Q_{0}\,$

con solución

$Q_{1}={\frac {Q_{0}a}{a+b}}$   $Q_{2}={\frac {Q_{0}b}{a+b}}$

El potencial en el conjunto es

$V={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}b}}={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}(a+b)}}$

Empleando un circuito equivalente

La carga en cada esfera también es fácil de calcular empleando un circuito equivalente. Tal como se demuestra en otro problema, cada esfera forma con el infinito un condensador de capacidad

$C_{i}=4\pi \varepsilon _{0}R_{i}$

La esfera de mayor radio tiene mayor capacidad, proporcional a él.

Al unirlos con el hilo, estos dos condensadores se conectan en paralelo (ya que dos de las placas están unidas por el hilo y las otras dos están también al mismo potencial, el de tierra). La capacidad de la asociación será

$C_{\mathrm {eq} }=C_{1}+C_{2}=4\pi \varepsilon _{0}(a+b)$

y, por tanto, el potencial de las placas cargadas (que son las esferas) es

$V={\frac {Q_{0}}{C_{\mathrm {eq} }}}={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}(a+b)}}$

Una vez que tenemos el potencial, podemos hallar la carga en cada una de las esferas, que corresponden a las placas positivas de los condensadores.

$Q_{1}=C_{1}V={\frac {C_{1}Q_{0}}{C_{\mathrm {eq} }}}={\frac {Q_{0}a}{a+b}}$    $Q_{2}=C_{2}V={\frac {C_{2}Q_{0}}{C_{\mathrm {eq} }}}={\frac {Q_{0}b}{a+b}}$

Densidad de carga y campo

Tal como se ve en el caso de una sola esfera, la densidad de carga en la superficie de una esfera cuando no hay más cargas o conductores influyendo sobre ella, es uniforme e igual a

$\sigma _{s}={\frac {Q}{4\pi R^{2}}}$

lo cual quiere decir que las densidades de carga en las dos esferas valen

$\sigma _{1}={\frac {Q_{1}}{4\pi a^{2}}}$    $\sigma _{2}={\frac {Q_{2}}{4\pi b^{2}}}$

En términos de la carga total

$\sigma _{1}={\frac {Q_{0}}{4\pi a(a+b)}}$    $\sigma _{2}={\frac {Q_{0}}{4\pi b(a+b)}}$

Observemos que esto implica que

${\frac {Q_{2}}{Q_{1}}}={\frac {b}{a}}\geq 1\qquad \qquad {\frac {\sigma _{2}}{\sigma _{1}}}={\frac {a}{b}}\leq 1$

esto es, que cuanto más pequeña sea la esfera, mayor es su densidad de carga (aunque la carga total sea menor).

En cuanto al campo en la superficie, puesto que es proporcional a la carga superficial, también será más intenso en la esfera de menor radio

$E_{1}={\frac {\sigma _{1}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {V}{a}}={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}a(a+b)}}$    $E_{2}={\frac {\sigma _{2}}{\varepsilon _{0}}}={\frac {V}{b}}={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}b(a+b)}}$

Esta es una aplicación de un principio más general, conocido como efecto punta: el campo eléctrico en la superficie de un conductor es más intenso donde el radio de curvatura es más pequeño. Este principio se encuentra, por ejemplo, en la base del funcionamiento de los pararrayos.

Cambio en la energía

Antes de que se conecten las esferas, toda la carga se halla en la esfera grande. La energía almacenada en el sistema es la de un solo conductor

$U_{\mathrm {eA} }={\frac {1}{2}}Q_{1}V_{1}={\frac {1}{2}}Q_{0}\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b}}\right)={\frac {Q_{0}^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}b}}$

Después de la conexión la carga está repartida entre las dos esferas, que están al mismo potencial, por lo que

$U_{\mathrm {eB} }={\frac {1}{2}}Q_{1}V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}V_{2}={\frac {1}{2}}(Q_{1}+Q_{2})V_{1}={\frac {1}{2}}Q_{0}V_{1}$

y puesto que el potencial de ambas esferas es ahora

$V_{1}={\frac {Q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}(a+b)}}$

la energía en estado final vale

$U_{\mathrm {eB} }={\frac {Q_{0}^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}(a+b)}}$

Esta energía es menor que la inicial (el denominador es mayor que antes). La variación en la energía almacenada es

$\Delta U_{\mathrm {e} }={\frac {Q_{0}^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {1}{a+b}}-{\frac {1}{b}}\right)=-{\frac {Q_{0}^{2}a}{8\pi \varepsilon _{0}b(a+b)}}$

Esta energía disipada se va en forma de calor durante el periodo transitorio, en el cual circula una corriente por el cable, que se calienta.