Condensador con dos capas de dieléctrico (GIOI)

Enunciado

Se tiene el condensador de la figura, formado por dos placas conductoras paralelas de sección Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S} y distancia entre placas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} . Entre ellas la mitad del espacio está ocupado por un dieléctrico ideal de permitividad relativa 1.5 y la otra mitad por uno de permitividad 3.0, siendo la frontera paralela a las placas. La capacidad del condensador en vacío en ausencia de los dieléctricos es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_0} .

1. ¿Cuánto vale la capacidad de este condensador?
2. Suponga que este condensador se conecta a una fuente de tensión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0} . Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_1} es el campo en el material de permitividad 1.5 y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_2} en el de permitividad 3.0, ¿en cuál de las dos regiones es más intenso el campo eléctrico? ¿O son iguales?

Capacidad

La capacidad en vacío es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_0=\frac{\varepsilon_0 S}{a}}

La de cada una de las capas de dieléctrico vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=\frac{1.5\varepsilon_0 S}{a/2}=3C_0\qquad\qquad C_2=\frac{3.0\varepsilon_0 S}{a/2}=6C_0}

y la de la asociación en serie

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{3C_0}+\frac{1}{6C_0}=\frac{1}{2C_0}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=2C_0}

Comparación de campos eléctricos

El campo en cada una de las capas es uniforme e igual en módulo a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_i=\frac{\Delta V_i}{a/2}}

La diferencia de potencial en cada capa la obtenemos con el circuito equivalente. Al tratarse de dos condensadores en serie, la carga en ellos es la misma. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1 = \frac{Q}{C_1}=\frac{C_\mathrm{eq}}{C_1}\Delta V}

Esto nos da, en cada caso,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta V_1=\frac{2C_0}{3C_0}\Delta V = \frac{2}{3}\Delta V\qquad\qquad \Delta V_2=\frac{2C_0}{6C_0}\Delta V = \frac{1}{3}\Delta V}

La comparación entre los campos es entonces igual a

${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {\Delta V_{1}}{\Delta V_{2}}}=2$