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Comparación de posibles movimientos

De Laplace

De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?

A B
C D

Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?

¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

1 Caso correcto

La respuesta correcta es la segunda.

Gráficamente, la posición del CIR se halla trazando las perpendiculares a las velocidades de A y B que pasan por A y B respectivamente. La intersección de estas dos perpendiculares es la posición buscada.

En este caso, cualquiera de las cuatro figuras conduce al mismo punto

Archivo:vel-soc-cir.png
\overrightarrow{OI} = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath}

Una vez localizado el centro instantáneo de rotación, podemos usarlo para resolver la cuestión anterior. Puesto que la rapidez de un punto de un sólido es proporcional a la distancia al eje

|\vec{v}_P| = |\vec{\omega}|\left|\overrightarrow{IP}\right|

y el punto B está más cerca del CIR que el punto A, la solución correcta para las velocidades posibles es aquella que tiene menor rapidez para B que para A, la cual corresponde a la segunda opción de las respuestas.

2 Velocidad angular

De acuerdo con la ecuación para la rapidez de los puntos de un sólido tenemos que

|\vec{v}_B| = |\vec{\omega}|\left|\overrightarrow{IB}\right|\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{\omega}| =\frac{ |\vec{v}_B|}{\left|\overrightarrow{IB}\right|}

En este caso,

\left|\overrightarrow{IB}\right|=\sqrt{2^2+1^2}\,\mathrm{m}=\sqrt{5}\,\mathrm{m}\qquad\qquad |\vec{v}_B|=\sqrt{1^2+2^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\sqrt{5}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y por tanto

|\vec{\omega}|=1\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

El sentido lo da la regla de la mano derecha. La barra está girando en sentido horario y por tanto el vector velocidad angular va hacia adentro del plano, lo que corresponde al eje Z negativo. Por tanto

\vec{\omega}=-\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

También puede llegarse a este reusltado sin haber determinado previamente el CIR. Tenemos que

\vec{v}_A=\vec{B}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{BA}

y por tanto

-2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}=-\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+(\omega\vec{k})\times(-6\vec{\imath}-\vec{\jmath})

Calculamos el producto vectorial y separamos en componentes

-2 = -1+\omega\qquad\qquad 4 = -2 -6\omega\qquad\Rightarrow\qquad\omega = -1\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

y en forma vectorial

\vec{\omega}=-\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

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