Comparación de posibles movimientos

De las siguientes cuatro figuras, solo una representa velocidades posibles de los extremos A y B de una barra rígida que realiza un movimiento plano. ¿Cuál?

A	B
C	D

Para la barra anterior, ¿dónde se encuentra su centro instantáneo de rotación, según la cuadrícula de la figura?

¿Cuánto vale, en rad/s, la velocidad angular instantánea de este movimiento, si la cuadrícula representa m en distancias y m/s en velocidades?

Caso correcto

La respuesta correcta es la segunda.

Gráficamente, la posición del CIR se halla trazando las perpendiculares a las velocidades de A y B que pasan por A y B respectivamente. La intersección de estas dos perpendiculares es la posición buscada.

En este caso, cualquiera de las cuatro figuras conduce al mismo punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OI} = 2\vec{\imath}+\vec{\jmath}}

Una vez localizado el centro instantáneo de rotación, podemos usarlo para resolver la cuestión anterior. Puesto que la rapidez de un punto de un sólido es proporcional a la distancia al eje

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_P| = |\vec{\omega}|\left|\overrightarrow{IP}\right|}

y el punto B está más cerca del CIR que el punto A, la solución correcta para las velocidades posibles es aquella que tiene menor rapidez para B que para A, la cual corresponde a la segunda opción de las respuestas.

Velocidad angular

De acuerdo con la ecuación para la rapidez de los puntos de un sólido tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}_B| = |\vec{\omega}|\left|\overrightarrow{IB}\right|\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{\omega}| =\frac{ |\vec{v}_B|}{\left|\overrightarrow{IB}\right|}}

En este caso,

$\left|{\overrightarrow {IB}}\right|={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}\,\mathrm {m} ={\sqrt {5}}\,\mathrm {m} \qquad \qquad |{\vec {v}}_{B}|={\sqrt {1^{2}+2^{2}}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}={\sqrt {5}}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

y por tanto

$|{\vec {\omega }}|=1\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

El sentido lo da la regla de la mano derecha. La barra está girando en sentido horario y por tanto el vector velocidad angular va hacia adentro del plano, lo que corresponde al eje Z negativo. Por tanto

${\vec {\omega }}=-{\vec {k}}\,{\frac {\mathrm {rad} }{\mathrm {s} }}$

También puede llegarse a este reusltado sin haber determinado previamente el CIR. Tenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_A=\vec{B}+\vec{\omega}\times\overrightarrow{BA}}

y por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2\vec{\imath}+4\vec{\jmath}=-\vec{\imath}-2\vec{\jmath}+(\omega\vec{k})\times(-6\vec{\imath}-\vec{\jmath})}

Calculamos el producto vectorial y separamos en componentes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2 = -1+\omega\qquad\qquad 4 = -2 -6\omega\qquad\Rightarrow\qquad\omega = -1\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}

y en forma vectorial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}=-\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}