Caso de ciclo de Carnot

Enunciado

Se tiene un ciclo de Carnot ideal de un gas ideal (γ = 1.4) en el cual la temperatura del foco caliente vale $T_{C}=1200\,\mathrm {K}$ y la del foco frío es $T_{F}=300\,\mathrm {K}$. Antes de la compresión adiabática el volumen es $V_{A}=16\,\mathrm {L}$ y su presión es $p_{A}=100\,\mathrm {kPa}$. El volumen en el estado D es $V_{D}=32\,\mathrm {L}$.

1. Calcule la presión, volumen y temperatura de los estados A, B, C y D.
2. Calcule el calor que entra o sale en cada uno de los cuatro pasos.
3. Halle el trabajo neto de salida a lo largo de un ciclo.
4. Calcule el rendimiento de este ciclo.

Presiones, volúmenes y temperaturas

Estado B

El estado B está relacionado con el estado A a través de la ley de Poisson, que para el volumen y la temperatura es

$T_{A}V_{A}^{\gamma -1}=T_{B}V_{B}^{\gamma -1}$

lo que nos da

$V_{B}=V_{A}\left({\frac {T_{A}}{T_{B}}}\right)^{1/(\gamma -1)}=16\,\mathrm {L} \left({\frac {300}{1200}}\right)^{2.5}=0.5\,\mathrm {L}$

Una vez que tenemos la temperatura y el volumen hallamos la presión

$p_{B}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}\,{\frac {V_{A}}{V_{B}}}p_{A}={\frac {1200}{300}}\,{\frac {0.5}{16}}100\,\mathrm {kPa} =12800\,\mathrm {kPa}$

Estado D

El estado D tiene la misma temperatura que A

$T_{D}=T_{F}=300\,\mathrm {K}$

y la presión la podemos calcular empleando la ley de Boyle

$p_{D}={\frac {V_{A}}{V_{D}}}p_{A}={\frac {16}{32}}100\,\mathrm {kPa} =50\,\mathrm {kPa}$

Estado C

Para el estado C observamos que está a la temperatura del foco caliente

$T_{C}=1200\,\mathrm {kPa}$

y que se halla conectado a D por una adiabática

$V_{C}=V_{D}\left({\frac {T_{D}}{T_{C}}}\right)^{1/(\gamma -1)}=32\,\mathrm {L} \left({\frac {300}{1200}}\right)^{2.5}=1\,\mathrm {L}$

siendo su presión

$p_{C}={\frac {V_{B}}{V_{C}}}p_{B}={\frac {0.5}{1}}12800\,\mathrm {kPa} =6400\,\mathrm {kPa}$

Resumen

Reunimos todos los valores en una sola tabla

Estado	p (kPa)	V (L)	T (K)
A	100	16	300
B	12800	0.5	1200
C	6400	1	1200
D	50	32	300

Calor en cada paso

En el proceso A→B se da una compresión adiabática. Por tanto, el calor transferido es nulo.

En el paso B→C tenemos una expansión isoterma. En este paso la energía interna no cambia. El calor que entra es igual al trabajo que sale

$Q_{\mathrm {in} }=W_{\mathrm {out} }=p_{B}V_{B}\ln \left({\frac {V_{C}}{V_{B}}}\right)=6400\ln(2)\,\mathrm {J} =4.44\,\mathrm {kJ}$

En C&rarra;D el calor vuelve a ser nulo.

Por último, en D→A tenemos una compresión isoterma, en la que el calor sale del sistema y el trabajo entra.

$Q_{\mathrm {out} }=p_{A}V_{A}\ln \left({\frac {V_{D}}{V_{A}}}\right)=1600\ln(2)\,\mathrm {J} =1.11\,\mathrm {kJ}$

Trabajo neto de salida

Obtenemos el trabajo neto de salida mediante el primer principio de la termodinámica para un proceso cíclico

$W_{\mathrm {out,neto} }=Q_{\mathrm {in,neto} }=Q_{\mathrm {in} }-Q_{\mathrm {out} }=4800\ln(2)\,\mathrm {J} =3.33\,\mathrm {kJ}$

Rendimiento

El rendimiento del ciclo es

$\eta =1-{\frac {Q_{\mathrm {out} }}{Q_{\mathrm {in} }}}=1-{\frac {1600\ln(2)}{6400\ln(2)}}=1-{\frac {1}{4}}={\frac {3}{4}}=75\%$

Por tratarse de un ciclo reversible, este rendimiento puede obtenerse directamente a partir de las temperaturas extremas

$\eta =1-{\frac {T_{F}}{T_{C}}}=1-{\frac {300}{1200}}=75\%$