Enunciado
Se tiene un ciclo de Carnot ideal de un gas ideal (γ = 1.4) en el cual la temperatura del foco caliente vale 
y la del foco frío es 
. Antes de la compresión adiabática el volumen es 
y su presión es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=100\,\mathrm{kPa}}
. El volumen en el estado D es 
.
- Calcule la presión, volumen y temperatura de los estados A, B, C y D.
- Calcule el calor que entra o sale en cada uno de los cuatro pasos.
- Halle el trabajo neto de salida a lo largo de un ciclo.
- Calcule el rendimiento de este ciclo.
Presiones, volúmenes y temperaturas
Estado B
El estado B está relacionado con el estado A a través de la ley de Poisson, que para el volumen y la temperatura es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1}}
lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{1/(\gamma-1)} = 16\,\mathrm{L}\left(\frac{300}{1200}\right)^{2.5} = 0.5\,\mathrm{L}}
Una vez que tenemos la temperatura y el volumen hallamos la presión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B=\frac{T_B}{T_A}\,\frac{V_A}{V_B}p_A=\frac{1200}{300}\,\frac{0.5}{16} 100\,\mathrm{kPa} = 12800\,\mathrm{kPa}}
Estado D
El estado D tiene la misma temperatura que A
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_D=T_F = 300\,\mathrm{K}}
y la presión la podemos calcular empleando la ley de Boyle
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_D=\frac{V_A}{V_D}p_A=\frac{16}{32}100\,\mathrm{kPa}=50\,\mathrm{kPa}}
Estado C
Para el estado C observamos que está a la temperatura del foco caliente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_C=1200\,\mathrm{kPa}}
y que se halla conectado a D por una adiabática
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_C = V_D \left(\frac{T_D}{T_C}\right)^{1/(\gamma-1)} = 32\,\mathrm{L}\left(\frac{300}{1200}\right)^{2.5} = 1\,\mathrm{L}}
siendo su presión
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_C=\frac{V_B}{V_C}p_B=\frac{0.5}{1}12800\,\mathrm{kPa}=6400\,\mathrm{kPa}}
Resumen
Reunimos todos los valores en una sola tabla
| Estado |
p (kPa) |
V (L) |
T (K)
|
| A
|
100 |
16 |
300
|
| B
|
12800 |
0.5 |
1200
|
| C
|
6400 |
1 |
1200
|
| D
|
50 |
32 |
300
|
Calor en cada paso
En el proceso A→B se da una compresión adiabática. Por tanto, el calor transferido es nulo.
En el paso B→C tenemos una expansión isoterma. En este paso la energía interna no cambia. El calor que entra es igual al trabajo que sale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{in}=W_\mathrm{out}=p_B V_B \ln\left(\frac{V_C}{V_B}\right)=6400\ln(2)\,\mathrm{J}=4.44\,\mathrm{kJ}}
En C&rarra;D el calor vuelve a ser nulo.
Por último, en D→A tenemos una compresión isoterma, en la que el calor sale del sistema y el trabajo entra.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_\mathrm{out}=p_A V_A \ln\left(\frac{V_D}{V_A}\right)=1600\ln(2)\,\mathrm{J} = 1.11\,\mathrm{kJ}}
Trabajo neto de salida
Obtenemos el trabajo neto de salida mediante el primer principio de la termodinámica para un proceso cíclico
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{out,neto}=Q_\mathrm{in,neto}=Q_\mathrm{in}-Q_\mathrm{out}=4800\ln(2)\,\mathrm{J}=3.33\,\mathrm{kJ}}
Rendimiento
El rendimiento del ciclo es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta=1-\frac{Q_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}}=1-\frac{1600\ln(2)}{6400\ln(2)}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=75\%}
Por tratarse de un ciclo reversible, este rendimiento puede obtenerse directamente a partir de las temperaturas extremas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta=1-\frac{T_F}{T_C}=1-\frac{300}{1200}=75\%}
