Características cinemáticas de una partícula en movimiento, Septiembre 2016 (F1 G.I.C.)

Enunciado

(F1 G.I.C.)| Características cinemáticas de una partícula en movimiento ]] = Una partícula se mueve en el plano $OXY$ de modo que su vector de posición ${\overrightarrow {OP}}$ viene dado por la ley horaria

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(t)=A\,\mathrm {sen} \,(\Omega t)\,{\vec {\imath }}-{\dfrac {A}{2}}\cos(2\Omega t)\,{\vec {\jmath }}$

siendo $A$ y $\Omega$ son constantes conocidas. Consideremos el instante de tiempo $t={\dfrac {\pi }{6\Omega }}$.

1. Calcula la rapidez de la partícula en ese instante.
2. Determina el vector tangente a la trayectoria de la partícula en ese instante.
3. Calcula la componente tangencial de su aceleración en ese instante.
4. Encuentra el radio de curvatura de su trayectoria en ese instante.

Solución

Velocidad y aceleración en el instante analizado

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos -respectivamente- la velocidad y la aceleración en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\Omega A\,[\,\mathrm {cos} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\,\mathrm {sen} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,\,;\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=\Omega ^{2}A\,[-\,\mathrm {sen} (\Omega t)\,{\vec {\imath }}\,\,+\,\,2\,\mathrm {cos} (2\,\Omega t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

Y evaluando para el instante $t=\displaystyle {\frac {\pi }{6\,\Omega }}\,$, obtenemos los correspondientes valores de la velocidad y la aceleración:

${\vec {v}}={\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\,(\,{\vec {\imath }}\,\,+\,{\vec {\jmath }}\,\,)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}={\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\,(-\,{\vec {\imath }}\,+\,2\,{\vec {\jmath }}\,\,)$

Celeridad

La celeridad en el citado instante es el módulo de la velocidad:

$v=|{\vec {v}}\,|={\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\,{\sqrt {1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}\,\Omega A$

Vector tangente

El vector tangente en el instante considerado es

${\vec {T}}={\dfrac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})$

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el instante estudiado puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v}}=\left({\frac {{\sqrt {3}}\,\Omega A}{2}}\right)\left({\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\right){\frac {(\,{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\,\,)\cdot (-\,{\vec {\imath }}+2\,{\vec {\jmath }}\,\,)}{\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{2}}}\,\Omega A}}={\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\Omega ^{2}A$

NOTA: La aceleración tangencial también puede calcularse como derivada temporal de la celeridad, pero para ello necesitamos determinar previamente la celeridad como función del tiempo. Nótese que la celeridad que se nos pidió y calculamos en el apartado anterior fue la celeridad en un instante concreto. Por eso, sería un disparate tratar de calcular la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo la "celeridad constante" del apartado anterior, ya que no se trata en realidad de una "función constante" sino del valor que toma una función en un instante concreto. En el presente ejercicio, no detallaremos el cálculo correcto de la aceleración tangencial mediante derivación temporal de la celeridad porque resulta algo tedioso.

Radio de curvatura

Calculamos ahora la aceleración normal de la partícula en el instante analizado:

$a_{n}={\sqrt {|\,{\vec {a}}\,|^{2}-(a_{t})^{2}}}={\sqrt {\left(\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\Omega ^{2}A\right)^{2}-\left({\frac {\sqrt {2}}{4}}\,\Omega ^{2}A\right)^{2}}}=\Omega ^{2}A\,{\sqrt {{\frac {5}{4}}-{\frac {2}{16}}}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,\Omega ^{2}A$

donde hemos introducido el valor del módulo de la aceleración:

$\,{\vec {a}}\,|={\frac {\Omega ^{2}A}{2}}\,{\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}\,\Omega ^{2}A$

Y a partir de la aceleración normal y la celeridad, obtenemos el valor del radio de curvatura en el instante objeto de estudio:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {\left({\sqrt {\displaystyle {\frac {3}{2}}}}\,\Omega A\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{4}}\,\Omega ^{2}A}}={\sqrt {2}}\,A$