Cable bimetálico

Enunciado

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de acero revestido de cobre. Está formado por un núcleo de acero de radio $a$ (suponga Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=2\,\mathrm{mm}} ), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} (sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b= 3\,\mathrm{mm}} ).

1. Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=10\,\mathrm{km}} .
2. Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_0=100\,\mathrm{V}} al cable anterior.

Datos: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}}

Resistencia

En este cable la diferencia de potencial es la misma para los dos metales, por lo que se puede considerar como dos resistencias en paralelo. La resistencia de 10km de acero vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_1 = \frac{h}{\sigma_\mathrm{acero}\pi a^2} = \frac{10^4}{7.0\times 10^{6}\times \pi (2\times 10^{-3})^2}\,\Omega = 114\,\Omega}

mientras que la del cobre es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_2 = \frac{h}{\sigma_\mathrm{Cu}\pi (b^2-a^2)} = 10.7\,\Omega}

La resistencia total del cable es la correspondiente a una asociación en paralelo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\qquad\Rightarrow\qquad R = 9.76\,\Omega}

Reparto de la corriente

Si se establece una diferencia de potencial de 100 V, la corriente total que va por el cable es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \frac{\Delta V}{R}=10.2\,\mathrm{A}}

La corriente que va por cada uno de las metales la da la resistencia de cada uno, puesto que la d.d.p. es la misma para los dos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_1 = \frac{\Delta V}{R_1}=0.88\,\mathrm{A}\qquad\qquad I_2=\frac{\Delta V}{R_2}=9.36\,\mathrm{A}}

Vemos que prácticamente toda la corriente (un 91%) va por el cobre. Cabe entonces preguntarse para qué sirve tener un núcleo de acero. Este núcleo no se incluye por sus propiedades eléctricas, sino por su propiedades mecánicas. Confiere rigidez al cable y sirve de soporte al cobre.