Cable bimetálico

Enunciado

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de acero revestido de cobre. Está formado por un núcleo de acero de radio $a$ (suponga $a=2\,\mathrm {mm}$), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior $b$ (sea $b=3\,\mathrm {mm}$).

1. Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud $h=10\,\mathrm {km}$.
2. Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial $V_{0}=100\,\mathrm {V}$ al cable anterior.

Datos: $\sigma _{\mathrm {Cu} }=5.96\times 10^{7}\,\mathrm {S} /\mathrm {m}$, $\sigma _{\mathrm {acero} }=7.0\times 10^{6}\,\mathrm {S} /\mathrm {m}$

Resistencia

En este cable la diferencia de potencial es la misma para los dos metales, por lo que se puede considerar como dos resistencias en paralelo. La resistencia de 10km de acero vale

$R_{1}={\frac {h}{\sigma _{\mathrm {acero} }\pi a^{2}}}={\frac {10^{4}}{7.0\times 10^{6}\times \pi (2\times 10^{-3})^{2}}}\,\Omega =114\,\Omega$

mientras que la del cobre es

$R_{2}={\frac {h}{\sigma _{\mathrm {Cu} }\pi (b^{2}-a^{2})}}=10.7\,\Omega$

La resistencia total del cable es la correspondiente a una asociación en paralelo

${\frac {1}{R}}={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\qquad \Rightarrow \qquad R=9.76\,\Omega$

Reparto de la corriente

Si se establece una diferencia de potencial de 100 V, la corriente total que va por el cable es

$I={\frac {\Delta V}{R}}=10.2\,\mathrm {A}$

La corriente que va por cada uno de las metales la da la resistencia de cada uno, puesto que la d.d.p. es la misma para los dos

$I_{1}={\frac {\Delta V}{R_{1}}}=0.88\,\mathrm {A} \qquad \qquad I_{2}={\frac {\Delta V}{R_{2}}}=9.36\,\mathrm {A}$

Vemos que prácticamente toda la corriente (un 91%) va por el cobre. Cabe entonces preguntarse para qué sirve tener un núcleo de acero. Este núcleo no se incluye por sus propiedades eléctricas, sino por su propiedades mecánicas. Confiere rigidez al cable y sirve de soporte al cobre.