Caída a lo largo de una hélice

Enunciado

Una pequeña anilla de masa $m$ esta obligada a moverse sin rozamiento a lo largo de una hélice de radio $A$ cuyas vueltas están inclinadas un ángulo $\alpha$. El eje de la hélice está situado verticalmente. La anilla se encuentra sometida a la acción de la gravedad y parte del reposo desde una altura $z=h$. Cuando se encuentra en $z=0$, ¿con qué velocidad se mueve? ¿Qué fuerza ejerce la anilla sobre la hélice?

Velocidad

En su movimiento a lo largo de la hélice, la partícula se encuentra sometida a dos fuerzas, la de la gravedad y la fuerza de reacción vincular debida la hélice y que la obliga a moverse a lo largo de ella.

Esta fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria, al no haber rozamiento, y por tanto no realiza trabajo alguno sobre la partícula. Por ello, a la hora de expresar la conservación de la energía mecánica, podemos limitarnos a considerar la acción del peso y escribir

${\frac {1}{2}}mv^{2}+mgz=E=\mathrm {cte}$

En el instante inicial la energía cinética es nula y la energía potencial (tomando como origen el punto más bajo) vale $mgh$. En el instante final la energía potencial es nula. Por tanto

$0+mgh={\frac {1}{2}}mv^{2}+0$    $v={\sqrt {2gh}}$

Esta es la rapidez con la que se mueve la partícula, pero no su velocidad, que es un vector. La velocidad lleva la dirección del vector tangente

Por comodidad podemos tomar los ejes OX y OY de forma que el origen de coordenadas esté en el eje de la hélice y el punto final se encuentre en el eje OX, en la posición ${\overrightarrow {OP}}=A{\vec {\imath }}$.

El vector tangente tiene la misma inclinación que la hélice y por tanto en el punto $P$ es

${\vec {T}}=\cos(\alpha ){\vec {\jmath }}+\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}$

Teniendo en cuenta que componente vertical de la velocidad es hacia abajo, el sentido de la velocidad es opuesto al de este vector tangente, con lo que queda finalmente

${\vec {v}}=-{\sqrt {2gh}}\left(\cos(\alpha ){\vec {\jmath }}+\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}}\right)$

Fuerza

La partícula se encuentra sometida a las dos fuerzas indicadas, con lo que la segunda ley de Newton se escribe

$m{\vec {a}}=m{\vec {g}}+{\vec {\Phi }}$

Si separamos en la parte tangencial y la parte normal de la aceleración quedan las ecuaciones

${\begin{array}{rcl}m{\vec {a}}_{t}&=&m{\vec {g}}_{\parallel }\\m{\vec {a}}_{n}&=&m{\vec {g}}_{\perp }+{\vec {\Phi }}\end{array}}$

donde ${\vec {g}}_{\parallel }$ y ${\vec {g}}_{\perp }$ representan la parte de la aceleración de la gravedad que es paralela a la velocidad y la que es perpendicular a ella (que puede tener componente tanto en la dirección del vector normal como del binormal).

En la componente tangencial no aparece la fuerza de reacción vincular, por ser ésta puramente perpendicular a la trayectoria. Esto nos permite despejar esta fuerza como

${\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}_{n}-m{\vec {g}}_{\perp }$

El primero de los dos términos es de la aceleración normal

$m{\vec {a}}_{n}=m{\frac {v^{2}}{R}}{\vec {N}}$

Aquí $R$ es el radio de curvatura de la hélice

$R=A+{\frac {b^{2}}{4\pi ^{2}A}}={\frac {A}{\cos ^{2}(\alpha )}}$

El vector normal a una trayectoria apunta en la dirección en que varía ${\vec {T}}$. Al avanzar a lo largo de la hélice, la componente vertical de este vector permanece constante y solo cambian sus componentes horizontales. Por tanto el vector normal ${\vec {N}}$ es uno horizontal, ortogonal a ${\vec {T}}$ y dirigido hacia el interior de la hélice. Este vector es

${\vec {N}}=-{\vec {\imath }}$

por lo que el término de masa por aceleración normal vale

$m{\vec {a}}_{n}=-m{\frac {2gh}{A}}\cos ^{2}(\alpha ){\vec {\imath }}$

Para hallar la componente del peso en la dirección perpendicular, le restamos su parte paralela

$m{\vec {g}}_{\perp }=m{\vec {g}}-m{\vec {g}}_{\parallel }$

siendo

$m{\vec {g}}_{\parallel }=(m{\vec {g}}\cdot {\vec {T}}){\vec {T}}=-mg\,\mathrm {sen} (\alpha )(\cos(\alpha ){\vec {\jmath }}+\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {k}})$

Esto nos da

$m{\vec {g}}_{\perp }=-mg{\vec {k}}+mg\,\mathrm {sen} (\alpha )\cos(\alpha ){\vec {\jmath }}+mg\,\mathrm {sen} ^{2}(\alpha ){\vec {k}}=mg\cos(\alpha )\left(\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {\jmath }}-\cos(\alpha ){\vec {k}}\right)$

Es fácil llegar a este resultado gráficamente hallando la proyección de ${\vec {g}}$ ortogonal a ${\vec {T}}$.

Sumando los dos resultados obtenemos la fuerza de reacción vincular

${\vec {\Phi }}=-{\frac {2mgh}{A}}\cos ^{2}(\alpha ){\vec {\imath }}-mg\cos(\alpha )\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {\jmath }}+mg\cos ^{2}(\alpha ){\vec {k}}$

Esta es la fuerza que la hélice ejerce sobre la partícula. La fuerza que ésta ejerce sobre la hélice será igual y de sentido contrario

${\vec {F}}=-{\vec {\Phi }}={\frac {2mgh}{A}}\cos ^{2}(\alpha ){\vec {\imath }}+mg\cos(\alpha )\mathrm {sen} (\alpha ){\vec {\jmath }}-mg\cos ^{2}(\alpha ){\vec {k}}$