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Cálculo de base dual

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Sea B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} una base vectorial arbitraria. Sean \{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} tres vectores definidos por

\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}        \vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}        \vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}        \Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)
1. Demuestre que el conjunto B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\} es también una base (llamada base dual de B1). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?
2. Pruebe que se cumple
\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq k\end{cases}
3. Demuestre que las componentes de un vector en la base B1 pueden calcularse proyectando sobre la base B2, esto es, si
\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3
la componente k viene dada por
F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k
4. Halle la base dual de la base
B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}
5. Calcule las componentes del vector
\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}
en las bases del apartado anterior.

2 Carácter de base

En el espacio de tridimensional ordinario, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes constituye una base.

Para demostrar la independencia lineal basta probar que el producto mixto de los tres vectores es no nulo. Por tanto debemos hallar

P = \vec{w}_1\cdot(\vec{w}_2\times\vec{w}_3)

Sustituyendo las definiciones de cada uno de los vectores

P = \frac{(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)\cdot\left((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\times (\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\right)}{\Delta^3}

Para el triple producto vectorial tenemos, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

(\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\times (\vec{v}_1\times\vec{v}_2) = \left((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\cdot\vec{v}_2\right)\vec{v}_1-\overbrace{((\vec{v}_3\times\vec{v}_1)\cdot\vec{v}_1)}^{=0}\vec{v}_2= \Delta\,\vec{v}_1

y por tanto el producto mixto de los tres vectores vale

P = \frac{(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)\cdot\vec{v}_1}{\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}

Por tanto, si B1 es una base, B2 también lo es y el producto mixto de los vectores de B2 es el inverso de los de B1.

3 Ortogonalidad

Los vectores de la base B1 no son ortogonales entre sí, como tampoco lo son los de la base B2. sin embargo, los de una de las bases son ortogonales a los de la otra (y viceversa).

\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k = \begin{cases} 1 & i=k\\ 0 & i\neq 0\end{cases}

Dada la simetría de la definición de los vectores de B2 nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de B1 tenemos, para el primero

\vec{v}_1\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{\Delta}{\Delta} = 1

para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman

\vec{v}_2\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_2\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0        \vec{v}_3\cdot\vec{w}_1 = \frac{\vec{v}_3\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)}{\Delta} = \frac{0}{\Delta} = 0

Si se opera con \vec{w}_2 o con \vec{w}_3 el resultado es análogo.

4 Componentes de un vector

La ortogonalidad entre las bases duales permite hallar las componentes de un vector en una base a partir de las proyecciones sobre la otra.

Supongamos un vector \vec{F} que conocemos y que es expresable como combinación lineal de la base B1

\vec{F}=F_1\vec{v}_1+F_2\vec{v}_2+F_3\vec{v}_3

aunque estas componentes Fi son desconocidas por ahora y es lo que nos gustaría calcular.

Para hallar las componentes individuales en esta base, podríamos multiplicar escalarmente por la propia base. Pero dado que esta base no es ortonormal, lo que obtenemos de este modo es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que, aunque es fácil de resolver, requiere bastantes operaciones.

Si en lugar de multiplicar por los vectores de la base B1 lo hacemos por los de la base B2 obtenemos en cambio

\begin{array}{rcccl}\vec{F}\cdot\vec{w}_1 &=&F_1\overbrace{\vec{v}_1\cdot\vec{w}_1}^{=1}+F_2\overbrace{\vec{v}_2\cdot\vec{w}_1}^{=0}+F_3\overbrace{\vec{v}_3\cdot\vec{w}_1}^{=0} &= & F_1\\
\vec{F}\cdot\vec{w}_2 & =& F_1\overbrace{\vec{v}_1\cdot\vec{w}_2}^{=0}+F_2\overbrace{\vec{v}_2\cdot\vec{w}_2}^{=1}+F_3\overbrace{\vec{v}_3\cdot\vec{w}_2}^{=0} & = & F_2\\\vec{F}\cdot\vec{w}_3 & = & F_1\overbrace{\vec{v}_1\cdot\vec{w}_3}^{=0}+F_2\overbrace{\vec{v}_2\cdot\vec{w}_3}^{=0}+F_3\overbrace{\vec{v}_3\cdot\vec{w}_3}^{=1} & = & F_3\end{array}

Por tanto, multiplicando escalarmente por los vectores de la base dual obtenemos directamente las componentes en la base original.

Dada la simetría entre las bases, el procedimiento funciona también en sentido contrario.

Hay que remarcar que no conocemos Fi de antemano (si no, el procedimiento sería superfluo). La idea es que conocemos \vec{F} a partir de su módulo, dirección y sentido, o mediante sus componentes en la base canónica \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}, o puede ser un vector incógnita. Al ser el producto escalar una cantidad independiente de la base que se emplee para calcularlo, podemos hallar los diferentes productos expresando ambos vectores en la base canónica y el resultado es la componente que deseamos calcular.

5 Caso particular

Tenemos la base B1 formada por los vectores

\vec{v}_1=\vec{\imath}\qquad\qquad\vec{v}_2=\vec{\imath}+\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{v}_3=\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}

El producto mixto de estos tres vectores vale

\Delta = (\vec{v}_1\times\vec{v}_2)\cdot\vec{v}_3 = \left(\vec{\imath}\times(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\right)\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}) = \vec{k}\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}) = 1

y los diferentes vectores de la base dual son

\vec{w}_1 = \frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath})\times(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})}{1}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}\right| = \vec{\imath}-\vec{\jmath}        \vec{w}_2 = \frac{(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})\times\vec{\imath}}{1}= \vec{\jmath}-\vec{k}        \vec{w}_3 = \frac{\vec{\imath}\times(\vec{\imath}+\vec{\jmath})}{1}= \vec{k}

6 Ejemplo de cálculo de componentes

Conocemos el vector \vec{F}, expresado en la base canónica como

\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}

y queremos hallar las componentes en las bases B1 y B2 del apartado anterior. Para hallar las componentes en la base B1 multiplicamos por los vectores de la base B2

F_1 = \vec{F}\cdot\vec{w}_1 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot(\vec{\imath}-\vec{\jmath}) = 5        F_2 = \vec{F}\cdot\vec{w}_2 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot(\vec{\jmath}-\vec{k}) = -4        F_3 = \vec{F}\cdot\vec{w}_3 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot\vec{k} = 1

y por tanto

\vec{F}=5\vec{v}_1 -4\vec{v}_2 +\vec{v}_3

Si queremos hallar las componentes en la base B2, multiplicamos escalarmente por la base B1

F_{1'} = \vec{F}\cdot\vec{v}_1 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot(\vec{\imath}) = 2        F_{2'} = \vec{F}\cdot\vec{v}_2 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath}) = -1        F_{3'} = \vec{F}\cdot\vec{v}_3 = (2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k})\cdot(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}) = 0

lo que nos deja con la combinación lineal

\vec{F} = 2\vec{w}_1-\vec{w}_2

Desarrollando cada vector de cada base en la base canónica podemos comprobar que estos resultados son correctos.


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