Cálculo de base dual

Enunciado

Sea $B_{1}=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},{\vec {v}}_{3}\}$ una base vectorial arbitraria. Sean $\{{\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2},{\vec {w}}_{3}\}$ tres vectores definidos por

${\vec {w}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3}}{\Delta }}$    ${\vec {w}}_{2}={\frac {{\vec {v}}_{3}\times {\vec {v}}_{1}}{\Delta }}$    ${\vec {w}}_{3}={\frac {{\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2}}{\Delta }}$    $\Delta ={\vec {v}}_{1}\cdot ({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})$

1. Demuestre que el conjunto $B_{2}=\{{\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2},{\vec {w}}_{3}\}$ es también una base (llamada base dual de $B_{1}$). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?

2. Pruebe que se cumple

${\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {w}}_{k}={\begin{cases}1&i=k\\0&i\neq k\end{cases}}$

3. Demuestre que las componentes de un vector en la base $B_{1}$ pueden calcularse proyectando sobre la base $B_{2}$, esto es, si

${\vec {F}}=F_{1}{\vec {v}}_{1}+F_{2}{\vec {v}}_{2}+F_{3}{\vec {v}}_{3}$

la componente k viene dada por

$F_{k}={\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{k}$

4. Halle la base dual de la base

$B_{1}=\{{\vec {\imath }},{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }},{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}\}$

5. Calcule las componentes del vector

${\vec {F}}=2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

en las bases del apartado anterior.

Carácter de base

En el espacio de tridimensional ordinario, cualquier conjunto de tres vectores linealmente independientes constituye una base.

Para demostrar la independencia lineal basta probar que el producto mixto de los tres vectores es no nulo. Por tanto debemos hallar

$P={\vec {w}}_{1}\cdot ({\vec {w}}_{2}\times {\vec {w}}_{3})$

Sustituyendo las definiciones de cada uno de los vectores

$P={\frac {({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})\cdot \left(({\vec {v}}_{3}\times {\vec {v}}_{1})\times ({\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\right)}{\Delta ^{3}}}$

Para el triple producto vectorial tenemos, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

$({\vec {v}}_{3}\times {\vec {v}}_{1})\times ({\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})=\left(({\vec {v}}_{3}\times {\vec {v}}_{1})\cdot {\vec {v}}_{2}\right){\vec {v}}_{1}-\overbrace {(({\vec {v}}_{3}\times {\vec {v}}_{1})\cdot {\vec {v}}_{1})} ^{=0}{\vec {v}}_{2}=\Delta \,{\vec {v}}_{1}$

y por tanto el producto mixto de los tres vectores vale

$P={\frac {({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})\cdot {\vec {v}}_{1}}{\Delta ^{2}}}={\frac {1}{\Delta }}$

Por tanto, si $B_{1}$ es una base, $B_{2}$ también lo es y el producto mixto de los vectores de $B_{2}$ es el inverso de los de $B_{1}$.

Ortogonalidad

Los vectores de la base $B_{1}$ no son ortogonales entre sí, como tampoco lo son los de la base $B_{2}$. sin embargo, los de una de las bases son ortogonales a los de la otra (y viceversa).

${\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {w}}_{k}={\begin{cases}1&i=k\\0&i\neq 0\end{cases}}$

Dada la simetría de la definición de los vectores de $B_{2}$ nos basta con probarlo para el primero de sus vectores. Multiplicándolo por cada uno de los vectores de $B_{1}$ tenemos, para el primero

${\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{1}\cdot ({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})}{\Delta }}={\frac {\Delta }{\Delta }}=1$

para el segundo y el tercero, aplicando que el producto vectorial es ortogonal a los dos vectores que lo forman

${\vec {v}}_{2}\cdot {\vec {w}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{2}\cdot ({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})}{\Delta }}={\frac {0}{\Delta }}=0$    ${\vec {v}}_{3}\cdot {\vec {w}}_{1}={\frac {{\vec {v}}_{3}\cdot ({\vec {v}}_{2}\times {\vec {v}}_{3})}{\Delta }}={\frac {0}{\Delta }}=0$

Si se opera con ${\vec {w}}_{2}$ o con ${\vec {w}}_{3}$ el resultado es análogo.

Componentes de un vector

La ortogonalidad entre las bases duales permite hallar las componentes de un vector en una base a partir de las proyecciones sobre la otra.

Supongamos un vector ${\vec {F}}$ que conocemos y que es expresable como combinación lineal de la base $B_{1}$

${\vec {F}}=F_{1}{\vec {v}}_{1}+F_{2}{\vec {v}}_{2}+F_{3}{\vec {v}}_{3}$

aunque estas componentes $F_{i}$ son desconocidas por ahora y es lo que nos gustaría calcular.

Para hallar las componentes individuales en esta base, podríamos multiplicar escalarmente por la propia base. Pero dado que esta base no es ortonormal, lo que obtenemos de este modo es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que, aunque es fácil de resolver, requiere bastantes operaciones.

Si en lugar de multiplicar por los vectores de la base $B_{1}$ lo hacemos por los de la base $B_{2}$ obtenemos en cambio

${\begin{array}{rcccl}{\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{1}&=&F_{1}\overbrace {{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {w}}_{1}} ^{=1}+F_{2}\overbrace {{\vec {v}}_{2}\cdot {\vec {w}}_{1}} ^{=0}+F_{3}\overbrace {{\vec {v}}_{3}\cdot {\vec {w}}_{1}} ^{=0}&=&F_{1}\\{\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{2}&=&F_{1}\overbrace {{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {w}}_{2}} ^{=0}+F_{2}\overbrace {{\vec {v}}_{2}\cdot {\vec {w}}_{2}} ^{=1}+F_{3}\overbrace {{\vec {v}}_{3}\cdot {\vec {w}}_{2}} ^{=0}&=&F_{2}\\{\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{3}&=&F_{1}\overbrace {{\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {w}}_{3}} ^{=0}+F_{2}\overbrace {{\vec {v}}_{2}\cdot {\vec {w}}_{3}} ^{=0}+F_{3}\overbrace {{\vec {v}}_{3}\cdot {\vec {w}}_{3}} ^{=1}&=&F_{3}\end{array}}$

Por tanto, multiplicando escalarmente por los vectores de la base dual obtenemos directamente las componentes en la base original.

Dada la simetría entre las bases, el procedimiento funciona también en sentido contrario.

Hay que remarcar que no conocemos $F_{i}$ de antemano (si no, el procedimiento sería superfluo). La idea es que conocemos ${\vec {F}}$ a partir de su módulo, dirección y sentido, o mediante sus componentes en la base canónica $\{{\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}\}$, o puede ser un vector incógnita. Al ser el producto escalar una cantidad independiente de la base que se emplee para calcularlo, podemos hallar los diferentes productos expresando ambos vectores en la base canónica y el resultado es la componente que deseamos calcular.

Caso particular

Tenemos la base $B_{1}$ formada por los vectores

${\vec {v}}_{1}={\vec {\imath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{2}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {v}}_{3}={\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

El producto mixto de estos tres vectores vale

$\Delta =({\vec {v}}_{1}\times {\vec {v}}_{2})\cdot {\vec {v}}_{3}=\left({\vec {\imath }}\times ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\right)\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})={\vec {k}}\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})=1$

y los diferentes vectores de la base dual son

${\vec {w}}_{1}={\frac {({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\times ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})}{1}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1&1&0\\1&1&1\end{matrix}}\right|={\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }}$    ${\vec {w}}_{2}={\frac {({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\times {\vec {\imath }}}{1}}={\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$    ${\vec {w}}_{3}={\frac {{\vec {\imath }}\times ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})}{1}}={\vec {k}}$

Ejemplo de cálculo de componentes

Conocemos el vector ${\vec {F}}$, expresado en la base canónica como

${\vec {F}}=2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}}$

y queremos hallar las componentes en las bases $B_{1}$ y $B_{2}$ del apartado anterior. Para hallar las componentes en la base $B_{1}$ multiplicamos por los vectores de la base $B_{2}$

$F_{1}={\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{1}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot ({\vec {\imath }}-{\vec {\jmath }})=5$    $F_{2}={\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{2}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot ({\vec {\jmath }}-{\vec {k}})=-4$    $F_{3}={\vec {F}}\cdot {\vec {w}}_{3}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot {\vec {k}}=1$

y por tanto

${\vec {F}}=5{\vec {v}}_{1}-4{\vec {v}}_{2}+{\vec {v}}_{3}$

Si queremos hallar las componentes en la base $B_{2}$, multiplicamos escalarmente por la base $B_{1}$

$F_{1'}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{1}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot ({\vec {\imath }})=2$    $F_{2'}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{2}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})=-1$    $F_{3'}={\vec {F}}\cdot {\vec {v}}_{3}=(2{\vec {\imath }}-3{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})\cdot ({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+{\vec {k}})=0$

lo que nos deja con la combinación lineal

${\vec {F}}=2{\vec {w}}_{1}-{\vec {w}}_{2}$

Desarrollando cada vector de cada base en la base canónica podemos comprobar que estos resultados son correctos.