Biela-manivela (G.I.A.)

Enunciado

La figura muestra el mecanismo de biela-manivela. La manivela (sólido "0") gira alrededor del punto $O$ con velocidad angular uniforme $\omega$. La biela (sólido "2") gira alrededor de su punto de unión con la manivela (punto $A$). El otro extremo de la biela está unido (punto $B$) al deslizador (sólido "3") que realiza una traslación sobre el eje $X_{1}$

Utilizando el triángulo $OAB$ y la descomposición {31}={32}+{20}+{01}, verifica que el movimiento {31} es una traslación.

1. Determina gráficamente la posición de los C.I.R de todos los movimientos del problema.
2. Determina los vectores ${\vec {v}}_{21}^{B}(t)$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}(t)$.

Solución

Análisis del enunciado

Analizando el enunciado y la figura podemos obtener las siguientes conclusiones respecto a la cinemática del problema.

1. El punto $O$ pertenece a la vez al sólido "0" y al "1", por lo que ${\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {0}}$ y, por tanto, el CIR del movimiento es $I_{01}\equiv I_{10}\equiv O$.
2. El punto $A$ pertenece a la vez al sólido "0" y al "2", por lo que ${\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {0}}$ y, por tanto, el CIR del movimiento es $I_{20}\equiv I_{02}\equiv A$.
3. El punto $B$ pertenece a la vez al sólido "3" y al "2", por lo que ${\vec {v}}_{32}^{B}={\vec {0}}$ y, por tanto, el CIR del movimiento es $I_{23}\equiv I_{32}\equiv B$.
4. El eje $OX_{0}$ forma un ángulo $\theta _{01}$ con el eje $OX_{1}$. Por tanto se tiene ${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}_{01}\,{\vec {k}}$.
5. El eje $AX_{2}$ forma un ángulo $\theta _{20}$ con el eje $OX_{0}$. Por tanto se tiene ${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}_{20}\,{\vec {k}}$.
6. El eje $AX_{2}$ forma un ángulo $\theta _{23}$ con el eje $BX_{3}$. Por tanto se tiene ${\vec {\omega }}_{23}={\dot {\theta }}_{23}\,{\vec {k}}$.

Verificación de la traslación

Para verificar que el movimiento {31} es una traslación vamos a demostrar que ${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}$. Usaremos la descomposición siguiente

$\{31\}=\{32\}+\{21\}=\{32\}+\{20\}+\{01\}$

Aplicando la regla de composición de vectores rotación tenemos

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {\omega }}_{32}+{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{32}+{\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

Vamos a relacionar estos vectores rotación con las derivadas de ángulos de la figura. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{32}={\dot {\theta }}_{32}\,{\vec {k}}\\{\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}_{02}\,{\vec {k}}\\{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}_{01}\,{\vec {k}}\\\end{array}}$

El vector rotación ${\vec {\omega }}_{31}$ es

${\vec {\omega }}_{31}=({\dot {\theta }}_{32}-{\dot {\theta }}_{02}+{\dot {\theta }}_{01})\,{\vec {k}}$

Los ángulos interiores del triángulo deben sumar $\pi$ radianes, es decir

$\theta _{01}+\pi -\theta _{02}+\theta _{32}=\pi$

Por tanto

$\theta _{01}-\theta _{02}+\theta _{32}=0$

Esos ángulos son funciones del tiempo. Derivando respecto al tiempo tenemos

${\dot {\theta }}_{01}-{\dot {\theta }}_{02}+{\dot {\theta }}_{32}=0$

Pero esto es precisamente la componente de ${\vec {\omega }}_{31}$ sobre el vector ${\vec {k}}$. Es decir,

${\vec {\omega }}_{31}={\vec {0}}$

Por tanto, el movimiento {31} es una traslación. Como vemos, esta traslación puede verse como la composición de tres rotaciones.

Determinación gráfica de los C.I.R.

Vamos a usar el teorema de los tres centros y la dirección de la velocidad dada en el dibujo ${\vec {v}}_{21}^{B}$. Del análisis de los datos cinemáticos del problema conocemos los C.I.R. $I_{01}$, $I_{20}$ e $I_{23}$. Además, como el movimiento {31} es una traslación con velocidad paralela al eje $OX_{1}$, el C.I.R. $I_{31}$ está en el infinito en la dirección del eje $OY_{1}$. Sólo falta encontrar los C.I.R. $I_{30}$ y $I_{21}$.

Para determinar el $I_{30}$ usamos el teorema de los tres centros en las descomposiciones

$\{30\}=\{31\}+\{10\}\qquad \qquad \{30\}=\{32\}+\{20\}.$

Así, el punto $I_{30}$ está en el corte de las líneas que unen los puntos $I_{31}$ y $I_{10}\equiv I_{01}$, por un lado, y los puntos $I_{32}$ y $I_{20}$, por el otro. La primera de ellas es una línea paralela al eje $OY_{1}$ que pasa por el punto $O$ y la segunda es la prolongación hacia la izquierda de la línea $AB$.

Para determinar $I_{21}$ trazamos una línea perpendicular a ${\vec {v}}_{21}^{B}$ que pase por el punto $B$. Esta línea debe contener a $I_{21}$. Y de la descomposición {21}={20}+{01} el teorema de los tres centros no dice que la línea que une los puntos $O$ y $A$ también debe contener a $I_{21}$. El corte de estas dos líneas nos da el C.I.R. buscado. La figura muestra estas construcciones geométricas.

Vectores ${\vec {v}}_{21}^{B}$ y ${\vec {a}}_{21}^{B}$

Nos piden la velocidad y aceleración absolutas del punto $B$ perteneciente al sólido "2". En realidad, este punto también pertenece al sólido "3", este es, ${\vec {v}}_{32}^{B}={\vec {0}}$ y por tanto ${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{31}^{B}$. Para calcularlas vamos a encontrar el vector ${\vec {r}}_{21}^{B}(t)$ que nos da la posición del punto $B$ vista desde el sólido "1" para cualquier instante de tiempo.

Como el punto $B$ está siempre sobre el eje $OX_{1}$, el vector que buscamos es

${\vec {r}}_{21}^{B}(t)=c(t)\,{\vec {\imath }}_{1}$

donde $c(t)$ es la longitud del lado inferior del triángulo $OAB$.

Usando el teorema del coseno tenemos

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\,a\,c\,\cos \theta _{01}\Rightarrow c^{2}-(2\,a\,\cos \theta _{01})c-(b^{2}-a^{2})=0$

La solución de la ecuación de segundo grado nos da

$c=a\,\cos \theta _{01}\pm {\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta _{01}+b^{2}-a^{2}}}=a\,\cos \theta _{01}\pm {\sqrt {b^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta _{01}}}$

Supondremos que la biela es más larga que la manivela $(b>a)$. De este modo el radicando es siempre positivo. Hay que quedarse con una de las dos soluciones. Si nos fijamos en el caso $\theta _{01}=0$, para ese valor del ángulo la manivela y la biela son paralelas y se cumple $c=a+b$. Eso implica que en la solución de la ecuación de segundo grado debemos escoger la raíz positiva. Llegamos entonces a

${\vec {r}}_{21}^{B}(t)=\left(a\,\cos(\omega t)+{\sqrt {b^{2}-a^{2}\,\mathrm {sen} \,^{2}(\omega t)}}\right)\,{\vec {\imath }}_{1}$

Hemos utilizado que el enunciado dice que $\theta _{01}=\omega t$.

Esta expresión es válida en todo instante $t$ y está dada en la base del sólido "1". Podemos entonces derivarla respecto del tiempo y el sólido "1" para obtener la velocidad y aceleración pedidas. Tenemos

${\vec {v}}_{21}^{B}(t)=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {r}}_{21}^{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\dfrac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {\imath }}_{1}=-a\,\omega \,\sin(\omega t)\left[1+{\dfrac {a\,\cos(\omega t)}{\sqrt {b^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\omega t)}}}\right]\,{\vec {\imath }}_{1}$

La aceleración se obtiene derivando de nuevo

${\begin{array}{ll}{\vec {a}}_{21}^{B}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}^{B}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=&-{\dfrac {a\,\omega ^{2}}{4(b^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\omega t))^{3/2}}}\times \\&\left[4\,a\,b^{2}\cos ^{2}(\omega t)+{\sqrt {2}}\,\cos(\omega t)\left(-a^{2}+2\,b^{2}+a^{2}\cos(2\omega t)\right)^{3/2}-4\,a\,b^{2}\sin ^{2}(\omega t)+4\,a^{3}\sin ^{4}(\omega t)\right]\end{array}}$

La figura muestra cuatro posiciones del movimiento del sistema. El punto $B$ realiza un movimiento periódico, aunque no armónico simple. Las líneas de puntos verticales marcan los límites del movimiento del punto $B$. Este mecanismo se usa para convertir un movimiento de rotación (la manivela) en uno de traslación alternativo (el punto $B$) o bien al revés. Por ejemplo, en los motores de combustión interna de los automóviles, en cada cilindro el pistón realiza un movimiento de vaivén. En este caso, la biela está unida al pistón en el punto $B$ y la manivela se conecta a un eje (el cigüeñal), de modo que el movimiento de traslación del pistón se transforma en movimiento de rotación del cigüeñal.

En la parte inferior de la página se muestra la evolución en el tiempo de la distancia del punto $B$ al origen, su velocidad y su aceleración. Las gráficas corresponden a los valores $a=1\,\mathrm {cm}$, $b=4a=4\,\mathrm {cm}$ y $\omega =1\,\mathrm {s^{-1}}$.