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Barras articuladas, Enero 2016 (F1 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La barra OA tiene longitud L y esta articulada en el punto O. La barra AC está articulada en A y tiene longitud 2L. Además tiene un pasador en su punto medio B, de modo que esté punto está siempre sobre el eje OX. La barra OA gira de modo que el ángulo θ(t) es una función del tiempo.

  1. Determina los vectores de posición de los puntos A, B, C
  2. Si el punto B se mueve con velocidad uniforme \vec{v}_B=v_0\,\vec{\imath}, determina la función θ(t) si θ(0) = π / 2.
  3. Supón ahora que el ángulo varía como θ(t) = ω0t, con ω0 constante. En estas condiciones, calcula la velocidad y aceleración del punto C, así como su aceleración tangencial.


2 Solución

2.1 Vectores de posición

Observando la figura tenemos


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = L\cos\theta\,\vec{\imath} + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\\ \\
\overrightarrow{OB} = 2L\cos\theta\,\vec{\imath}
\\ \\
\overrightarrow{BC} = L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\\ \\
\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BC}
= 3L\cos\theta\,\vec{\imath} - L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}
\end{array}

2.2 El punto B se mueve con velocidad uniforme

La velocidad del punto B es


\vec{v}_B = \dot{\overrightarrow{OB}} = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}

Según el enunciado tenemos


-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0

Esto es una ecuación diferencial para θ(t) que podemos resolver fácilmente, pues es de variables separables. Podemos escribir la expresión como


-2L\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{sen}\,\theta = v_0
\Longrightarrow
\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t

Integramos, imponiendo la condición inicial en los límites de intagración


\int\limits_{\pi/2}^{\theta(t)}\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{d}\theta = -\int\limits_0^t\dfrac{v_0}{2L}\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\cos\theta(t) = \dfrac{v_0}{2L}\,t

Por tanto el ángulo como función del tiempo es


\theta(t) = \arccos\left(\dfrac{v_0}{2L}\,t\right)

2.3 Movimiento con ángulo dado

Suponemos ahora que el ángulo varía en el tiempo como

θ(t) = ω0t

con ω0 constante. Para calcular la velocidad del punto C volvemos al vector de posición obtenido en el primer apartado y lo derivamos en el tiempo


\vec{v}_C = \dot{\overrightarrow{OC}}
=
-3L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} - L\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}
=
-L\omega_0(3\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + \cos\theta\,\vec{\jmath})

Aquí hemos usado que, con la ley dada, \dot{\theta}=\omega_0 . Para calcular la aceleración derivamos otra vez


\vec{a}_C = \dot{\vec{v}}_C
=
-L\omega_0^2(3\cos\theta\,\vec{\imath} - \,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath})

La forma más rápida de calcular la aceleración tangencial es derivando el módulo de la velocidad, pues se cumple


a_T = \dfrac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}

Para el punto C


|\vec{v}_C| = L\omega_0\,\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}

Por tanto


a_{CT} = 
L\omega_0\dfrac{8\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}
=
8L\omega_0^2\dfrac{\mathrm{sen}\,\theta\cos\theta}{\sqrt{1+8\,\mathrm{sen}^2\,\theta}}

con θ = ω0t. Otra forma de hacer el mismo cálculo es


a_{CT} = \dfrac{\vec{a}_C\cdot\vec{v}_C}{|\vec{v}_C|}

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