Barra que desliza en eje rotatorio (CMR)

Enunciado

El armazón de barras paralelas a los ejes $OX_{0}$ y $OZ_{0}$ (sólido “0”) rota alrededor del eje vertical fijo $OZ_{1}$, de tal modo que el eje $OX_{0}$ permanece siempre contenido en el plano horizontal fijo $OX_{1}Y_{1}$ (sólido “1”). Por otra parte, la varilla AB (sólido “2”), de longitud b, se mueve de forma que su extremo A desliza a lo largo del eje OX0, mientras que su extremo B desliza a lo largo del eje OZ0. Utilizando los ángulos θ y φ (definidos en la figura), así como sus derivadas temporales de primer y segundo orden, determine:

1. La velocidad de A, B y G (siendo G el punto medio de la barra) en los movimientos {01}, {20} y {21}, así como la velocidad angular ${\vec {\omega }}_{21}$.
2. ¿De qué tipo es el movimiento {21}? ¿Dónde está su EIRMD?
3. La aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}$ y las aceleraciones de A, B y G en los movimientos {01}, {20} y {21}

Velocidades

De B

En el movimiento {01}

Este es el cálculo más fácil. B se halla en el propio eje de rotación de este movimiento, por lo que

${\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {0}}$

En el movimiento {20}

Esta velocidad la calculamos conjuntamente con la de A, ya que el movimiento de la barra deslizando sobre le eje horizontal y el vertical es idéntico al del “problema de la escalera”.

La velocidad angular de este movimiento es

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

Para sacar el sentido de esta velocidad angular conviene ayudarse de la regla de la mano derecha y ver para donde apunta el pulgar si θ aumenta.

Las velocidades de A y B cumplen

${\vec {v}}_{20}^{A}=v_{20}^{A}{\vec {\imath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{B}=v_{20}^{B}{\vec {k}}_{0}$

Aplicando el campo de velocidades de un sólido rígido

${\vec {v}}_{20}^{B}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}$

donde

${\overrightarrow {AB}}=-b\,\mathrm {sen} (\theta ){\vec {\imath }}_{0}+b\cos(\theta ){\vec {k}}_{0}=-b\,S{\vec {\imath }}_{0}+b\,C{\vec {k}}_{0}$

Introducimos las abreviaturas usuales $S=\mathrm {sen} (\theta )$ y $C=\cos(\theta )$. Queda

$v_{20}^{B}{\vec {k}}_{0}=v_{20}^{A}{\vec {\imath }}_{0}+(-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})\times (-b\,S{\vec {\imath }}_{0}+b\,C{\vec {k}}_{0})=\left(v_{20}^{A}-b{\dot {\theta }}\,C\right){\vec {\imath }}_{0}-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}$

Igualando componente a componente nos queda

$v_{20}^{B}=-b{\dot {\theta }}\,S\qquad \qquad v_{20}^{A}=b{\dot {\theta }}\,C$

En forma vectorial

${\vec {v}}_{20}^{B}=-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}$

En el movimiento {21}

Una vez que tenemos las dos anteriores, la tercera es inmediata

${\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {v}}_{20}^{B}+{\vec {v}}_{01}^{B}=-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}+{\vec {0}}=-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}$

De A

En el movimiento {20}

Esta ya le hemos calculado en el apartado anterior

${\vec {v}}_{20}^{A}=b{\dot {\theta }}\,C{\vec {\imath }}_{0}$

En el movimiento {01}

Esta corresponde a un movimiento de rotación alrededor de ${OZ}_{1}$

${\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}=({\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0})\times (b\,S{\vec {\imath }}_{0})=b{\dot {\phi }}\,S{\vec {\jmath }}_{0}$

En el movimiento {21}

Por composición de velocidades

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{A}=b{\dot {\theta }}\,C{\vec {\imath }}_{0}+b{\dot {\phi }}\,S{\vec {\jmath }}_{0}$

De G

El punto G es el central entre A y B. Al ser el campo de velocidades una función lineal de la posición el valor en el punto medio es igual a la media de los valores en los extremos. Así tenemos

En el movimiento {01}

${\vec {v}}_{01}^{G}={\frac {{\vec {v}}_{01}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{B}}{2}}={\frac {b}{2}}{\dot {\phi }}\,S{\vec {\jmath }}_{0}$

En el movimiento {20}

${\vec {v}}_{20}^{G}={\frac {{\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {v}}_{20}^{B}}{2}}={\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}\left(\,C{\vec {\imath }}_{0}-S{\vec {k}}_{0}\right)$

En el movimiento {21}

O bien calculamos de nuevo la media o bien, directamente,

${\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {v}}_{20}^{G}+{\vec {v}}_{01}^{G}={\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}\,C{\vec {\imath }}_{0}+{\frac {b}{2}}{\dot {\phi }}\,S{\vec {\jmath }}_{0}-{\frac {b}{2}}{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}$

Velocidad angular

Las velocidades angulares de las dos rotaciones {20} y {01} ya las hemos usado y valen

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

por lo que la de la composición es

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0}$

Clasificación del movimiento

Para clasificar el movimiento necesitamos la velocidad angular y la velocidad de un punto. Por ejemplo,

$\left\{{\vec {\omega }}_{21},{\vec {v}}_{21}^{B}\right\}=\left\{-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0},-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0}\right\}$

La velocidad angular no es nula. Tampoco es perpendicular a la velocidad lineal, en general, ya que

${\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{B}=-b{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\,S$

Solo cuando una de las dos velocidades angulares se anula o la barra está completamente vertical el movimiento se reduce a una rotación.

La posición del un punto del EIRMD la calculamos como

${\overrightarrow {BE}}_{0}={\frac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{B}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\frac {b{\dot {\theta }}^{2}\,S{\vec {\imath }}_{0}}{{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}}}$

y respecto al origen de coordenadas

${\overrightarrow {OE}}_{0}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {BE}}_{0}=b\left({\frac {{\dot {\theta }}^{2}}{{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}}}\,S{\vec {\imath }}_{0}+\,C{\vec {k}}_{0}\right)$

La ecuación del eje es

${\overrightarrow {OE}}={\overrightarrow {OE}}_{0}+\lambda {\vec {\omega }}_{21}$

Aceleraciones

Aceleración angular

Para los movimientos {20} y {01}, que tienen ejes permanentes

${\vec {\alpha }}_{01}={\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{0}\qquad \qquad {\vec {\alpha }}_{20}=-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

y para el movimiento compuesto {21}

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{0}+({\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0})\times (-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})={\dot {\phi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{0}$

Aceleración de B

En el movimiento {01}

Como ocurre con la velocidad, al estar en el eje permanente de rotación

${\vec {a}}_{01}^{B}={\vec {0}}$

En el movimiento {20}

La calculamos conjuntamente con la de A, como hicimos para la velocidad. En este movimiento se cumple

${\vec {a}}_{20}^{A}=a_{20}^{A}{\vec {\imath }}_{0}\qquad \qquad {\vec {a}}_{20}^{B}=a_{20}^{B}{\vec {k}}_{0}$

y por la ecuación del campo de aceleraciones

${\vec {a}}_{20}^{B}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}+{\vec {\omega }}_{20}\times \left({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AB}}\right)$

Sustituimos aquí y queda

$a_{20}^{B}{\vec {k}}_{0}=a_{20}^{A}{\vec {\imath }}_{0}-b{\ddot {\theta }}\left(\,C{\vec {\imath }}_{0}+S{\vec {k}}_{0}\right)-b{\dot {\theta }}^{2}\left(-S{\vec {\imath }}_{0}+\,C{\vec {k}}_{0}\right)$

Igualamos componente a componente y resulta

$a_{20}^{A}=b{\ddot {\theta }}\,C-b{\dot {\theta }}^{2}S\qquad \qquad a_{20}^{B}=-b{\ddot {\theta }}\,S-b{\dot {\theta }}^{2}\,C$

y, en forma vectorial,

${\vec {a}}_{20}^{B}=-b\left({\ddot {\theta }}\,S+{\dot {\theta }}^{2}\,C\right){\vec {k}}_{0}$

En el movimiento {21}

Por el teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{21}^{B}={\vec {a}}_{20}^{B}+{\vec {a}}_{01}^{B}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{B}$

Sustituimos cada término y queda

${\vec {a}}_{21}^{B}=-b\left({\ddot {\theta }}\,S+{\dot {\theta }}^{2}\,C\right){\vec {k}}_{0}+2({\ddot {\phi }}{\vec {k}}_{0})\times (-b{\dot {\theta }}\,S{\vec {k}}_{0})=-b\left({\ddot {\theta }}\,S+{\dot {\theta }}^{2}\,C\right){\vec {k}}_{0}$

El término de Coriolis se anula por tratarse del producto vectorial de dos vectores paralelos.

Aceleración de A

En el movimiento {20}

Esta ya la hemos calculado

${\vec {a}}_{20}^{A}=\left(b{\ddot {\theta }}\,C-b{\dot {\theta }}^{2}S\right){\vec {\imath }}_{0}$

En el movimiento {01}

Esta es la correspondiente a un movimiento de rotación en torno a ${OZ}_{1}$

${\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}+{\vec {\omega }}_{01}\times \left({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}\right)=b{\ddot {\phi }}S{\vec {\jmath }}_{0}-b{\dot {\phi }}^{2}S{\vec {\imath }}_{0}$

En el movimiento {21}

Aplicamos el teorema de Coriolis

${\vec {a}}_{21}^{A}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {a}}_{01}^{A}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}$

lo que nos da

${\vec {a}}_{21}^{A}=\left(b{\ddot {\theta }}\,C-b{\dot {\theta }}^{2}S\right){\vec {\imath }}_{0}+\left(b{\ddot {\phi }}S{\vec {\jmath }}_{0}-b{\dot {\phi }}^{2}S{\vec {\imath }}_{0}\right)+2({\dot {\phi }}{\vec {k}}_{0})\times (b{\dot {\theta }}\,C{\vec {\imath }}_{0})$ $=\left(b{\ddot {\theta }}\,C-b{\dot {\theta }}^{2}S-b{\dot {\phi }}^{2}S\right){\vec {\imath }}_{0}+\left(b{\ddot {\phi }}S+2{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\,C\right){\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración de G

Como con la velocidad, la aceleración en el punto medio es igual a la media de las aceleraciones, por lo que para los tres movimientos se cumple

${\vec {a}}_{ik}^{G}={\frac {{\vec {a}}_{ik}^{A}+{\vec {a}}_{ik}^{B}}{2}}$