Barra horizontal sobre un disco (G.I.A.)

Enunciado

El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro $O$ y radio $R$, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal $O_{1}X_{1}$ del triedro fijo $O_{1}X_{1}Y_{1}$ (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante $v_{0}$, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto $A$) y sin deslizar sobre éste. Halla:

1. Las reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto $O$), es decir: ${{\vec {\omega }}_{21};{\vec {v}}_{21}^{O}}$, ${{\vec {\omega }}_{01};{\vec {v}}_{01}^{O}}$ y ${{\vec {\omega }}_{20};{\vec {v}}_{20}^{O}}$.
2. La aceleración relativa barra-disco del punto de contacto $A$, es decir, ${\vec {a}}_{20}^{A}$.

Solución

Analicemos cada uno de los movimientos.

Movimiento {21}

Esta es una traslación pura, con velocidad uniforme ${\vec {v}}_{21}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$. La reducción en cualquier punto es

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{21}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

En particular

${\vec {v}}_{21}^{O}={\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{C}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Movimiento {01}

El disco rueda sin deslizar sobre el eje $O_{1}X_{1}$. Por tanto el punto de contacto $C$ es el CIR, y la reducción en él es

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}\,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{01}^{C}={\vec {0}}$

Necesitaremos también las velocidades en $O$ y $A$. Usando la ecuación del campo de velocidades

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{O}={\vec {v}}_{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CO}}=(\omega _{01}\,{\vec {k}})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-R\,\omega _{01}\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{01}^{A}={\vec {v}}_{01}^{C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CA}}=(\omega _{01}\,{\vec {k}})\times (2R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-2R\,\omega _{01}\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Movimiento {20}

Como la barra no desliza sobre el disco, la velocidad relativa del punto de contacto es nula, por lo que $A$ es el CIR del movimiento. La reducción en $A$ es

${\vec {\omega }}_{20}=\omega _{20}\,{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {v}}_{20}^{A}={\vec {0}}$

La velocidad en $O$ sería

${\vec {v}}_{20}^{O}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AO}}=(\omega _{20}\,{\vec {k}})\times (-R\,{\vec {\jmath }}_{1})=R\,\omega _{20}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Aplicamos la composición de movimientos de velocidades en $A$ para obtener el valor de $\omega _{01}$

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{20}^{A}+{\vec {v}}_{01}^{A}\Rightarrow v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}=-2R\,\omega _{01}\,{\vec {\imath }}_{1}\Rightarrow {\vec {\omega }}_{01}=-{\dfrac {v_{0}}{2R}}\,{\vec {k}}$

Y ahora la composición de velocidades angulares para obtener $\omega _{20}$

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Rightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}={\dfrac {v_{0}}{2R}}\,{\vec {k}}$

Y ahora ya podemos calcular las reducciones pedidas

${\begin{array}{lclcl}\{21\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{21}={\vec {0}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{21}^{O}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}\\&&&&\\\{20\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{20}={\dfrac {v_{0}}{2R}}\,{\vec {k}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{20}^{O}={\dfrac {v_{0}}{2}}\,{\vec {\imath }}_{1}\\&&&&\\\{01\}&\longrightarrow &{\vec {\omega }}_{01}=-{\dfrac {v_{0}}{2R}}\,{\vec {k}}&\qquad \qquad &{\vec {v}}_{01}^{O}={\dfrac {v_{0}}{2}}\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Aceleración a^A₂₀

Debido a que el movimiento {21} de la barra tiene velocidad constante, tenemos

${\vec {a}}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}$

No particularizamos en un punto pues al ser una traslación es igual para todos. Por otro lado, el movimiento {01} del punto $O$ del sólido "0" también es de velocidad constante. Y también es constante en el tiempo ${\vec {\omega }}_{01}$. Por tanto

${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{01}^{O}={\vec {0}}$

Usando la ley de composición de aceleraciones

${\vec {a}}_{21}^{A}={\vec {a}}_{20}^{A}+{\vec {a}}_{01}^{A}+2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}\Rightarrow {\vec {a}}_{20}^{A}={\vec {a}}_{21}^{A}-{\vec {a}}_{01}^{A}-2\,{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{A}$

Calculamos ${\vec {a}}_{01}^{A}$ usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}

${\vec {a}}_{01}^{A}={\vec {a}}_{01}^{O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OA}}-|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}{\overrightarrow {OA}}=-{\dfrac {v_{0}^{2}}{4R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

El resultado final es

${\vec {a}}_{20}^{A}={\dfrac {v_{0}^{2}}{4R}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$