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Barra horizontal sobre un disco (G.I.A.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de un disco (sólido "0"), de centro O y radio R, que rueda sin deslizar sobre el eje horizontal O1X1 del triedro fijo O1X1Y1 (sólido "1"); y de una barra de longitud indefinida (sólido "2"), que se desplaza horizontalmente con velocidad constante v0, manteniéndose siempre en contacto tangente con el perímetro del disco (punto A) y sin deslizar sobre éste. Halla:

  1. Las reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {01} y {20} en el centro del disco (punto O), es decir: {\vec{\omega}_{21};\vec{v}_{21}^O}, {\vec{\omega}_{01};\vec{v}_{01}^O} y {\vec{\omega}_{20};\vec{v}_{20}^O}.
  2. La aceleración relativa barra-disco del punto de contacto A, es decir, \vec{a}_{20}^A.

2 Solución

Analicemos cada uno de los movimientos.

2.1 Movimiento {21}

Esta es una traslación pura, con velocidad uniforme \vec{v}_{21}=v_0\,\vec{\imath}_1. La reducción en cualquier punto es


  \vec{\omega}_{21}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{v}_{21}=v_0\,\vec{\imath}_1

En particular


  \vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^C=v_0\,\vec{\imath}_1

2.2 Movimiento {01}

El disco rueda sin deslizar sobre el eje O1X1. Por tanto el punto de contacto C es el CIR, y la reducción en él es


  \vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{01}^C=\vec{0}

Necesitaremos también las velocidades en O y A. Usando la ecuación del campo de velocidades


  \begin{array}{l}
    \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CO}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1)
    = -R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1\\ \\
    \vec{v}_{01}^A=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CA}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(2R\,\vec{\jmath}_1)
    = -2R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1
  \end{array}

2.3 Movimiento {20}

Como la barra no desliza sobre el disco, la velocidad relativa del punto de contacto es nula, por lo que A es el CIR del movimiento. La reducción en A es


  \vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{20}^A=\vec{0}

La velocidad en O sería


  \vec{v}_{20}^O = \vec{v}_{20}^A+\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AO}=(\omega_{20}\,\vec{k})\times(-R\,\vec{\jmath}_1)=R\,\omega_{20}\,\vec{\imath}_1

Aplicamos la composición de movimientos de velocidades en A para obtener el valor de ω01


  \vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{20}^A+\vec{v}_{01}^A\Rightarrow
  v_0\,\vec{\imath}_1=-2R\,\omega_{01}\,\vec{\imath}_1\Rightarrow \vec{\omega}_{01}=-\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}

Y ahora la composición de velocidades angulares para obtener ω20


  \vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\Rightarrow\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}

Y ahora ya podemos calcular las reducciones pedidas


  \begin{array}{lclcl}
    \{21\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{21}=\vec{0}&\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^O=v_0\,\vec{\imath}_1\\
     &&&&\\
    \{20\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{20}=\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^O=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1\\
     &&&&\\ 
    \{01\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{01}=-\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^O=\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1
  \end{array}

2.4 Aceleración aA20

Debido a que el movimiento {21} de la barra tiene velocidad constante, tenemos


  \vec{a}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0}

No particularizamos en un punto pues al ser una traslación es igual para todos. Por otro lado, el movimiento {01} del punto O del sólido "0" también es de velocidad constante. Y también es constante en el tiempo \vec{\omega}_{01}. Por tanto


  \vec{\alpha}_{01}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{a}_{01}^O=\vec{0}

Usando la ley de composición de aceleraciones


  \vec{a}_{21}^A =
  \vec{a}_{20}^A+\vec{a}_{01}^A+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^A\Rightarrow
  \vec{a}_{20}^A = \vec{a}_{21}^A-\vec{a}_{01}^A-2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}_{20}^A

Calculamos \vec{a}_{01}^A usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01}


  \vec{a}_{01}^A = \vec{a}_{01}^O+\vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA}-|\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA}=-\dfrac{v_0^2}{4R}\,\vec{\jmath}_1

El resultado final es


  \vec{a}_{20}^A=\dfrac{v_0^2}{4R}\,\vec{\jmath}_1

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