Barra deslizando sobre apoyo vertical (Ene. 2021)

Enunciado

Una barra de masa $m$ y longitud 4h (sólido "2") está articulada en un extremo (punto $A$) en un pasador que puede deslizar sobre el eje fijo $OY_{1}$. El otro extremo de la barra se apoya en un apoyo vertical, de modo que el punto $C$ de la barra puede deslizar sin rozamiento sobre el apoyo. Un muelle de constante elástica $k$ y longitud natural $2h$ conecta el extremo $A$ de la barra con el punto $O$. La gravedad actúa como se indica en la figura.

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} expresada en la base del sólido "1" y en función de las coordenadas $\{s,\theta \}$ y sus derivadas temporales. ¿Como es la ligadura cinemática que relaciona estas coordenadas?
2. Calcula las siguientes magnitudes cinéticas del sólido "2": ${\vec {C}}$, ${\vec {L}}_{G}$, $T$, $U$. Expresa los resultados usando las coordenadas $\{s,\theta \}$ y sus derivadas temporales.
3. Supongamos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático tienen esta forma ( $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ son constantes dadas)

$L=A{\dot {s}}^{2}+B{\dot {\theta }}^{2}+C{\dot {s}}\,{\dot {\theta }},\qquad g=D{\dot {s}}\cos {\theta }+E{\dot {\theta }}=0.$

Aplicando la técnica de los multiplicadores de Lagrange, encuentra las ecuaciones de movimiento.

Solución

Reducción cinemática

Observando el dibujo vemos que

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Al ser un movimiento plano el vector rotación sólo tiene componente en el eje $Z$.

La barra desliza sobre el apoyo vertical en $C$. Esto implica que ${\vec {v}}_{21}^{\,C}$ debe ser paralela a la propia barra

${\vec {v}}_{21}^{\,C}\parallel {\overrightarrow {AB}}\parallel {\overrightarrow {AC}}.$

Así pues el sistema tiene un grado de libertad. Aplicamos Chasles para encontrar la expresión matemática del vínculo

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,C}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=-2h{\dot {\theta }}\tan \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {s}}-2h{\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\&\\&{\overrightarrow {AC}}=2h\,{\vec {\imath }}_{i}-2h\tan \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Aplicamos la ligadura en $C$

${\vec {v}}_{21}^{\,C}\times {\overrightarrow {AC}}=0\Longrightarrow {\dot {s}}\cos ^{2}\theta -2h{\dot {\theta }}=0.$

Otra forma de llegar a esta ligadura es de forma geométrica. Observando el dibujo vemos que

$\tan \theta ={\dfrac {s-h}{2h}}\Longrightarrow s-h-2h\tan \theta =0.$

Derivando respecto al tiempo obtenemos la ligadura cinemática anterior.

Cinética

Cantidad de movimiento

La velocidad del centro de masas de la barra es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-2h{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {s}}-2h{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}.\\&\\&{\overrightarrow {AG}}=2h\cos \theta {\vec {\imath }}_{i}-2h\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}.\end{array}}$

Y la cantidad de movimiento es

${\vec {C}}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=-2mh{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+m({\dot {s}}-2h{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Momento angular en el centro de masas

Como es un movimiento plano y es el centro de masas de la barra podemos usar la expresión

${\vec {L}}_{G}=I_{G}{\vec {\omega }}_{21}=-{\dfrac {4}{3}}mh^{2}{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}.\qquad \qquad (I_{G}=m(4h)^{2}/12=4mh^{2}/3)$

Energía cinética

La calculamos pasando por el centro de masas. Al ser un movimiento plano

$T={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}m{\dot {s}}^{2}+{\dfrac {8}{3}}mh^{2}{\dot {\theta }}^{2}-2mh{\dot {s}}{\dot {\theta }}\cos \theta .$

Energía potencial

La energía potencial elástica del muelle es

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k\,(s-2h)^{2}.$

La energía potencial gravitatoria es (tomando como referencia la altura del eje $X_{1}$)

$U_{g}=mg(s-2h\,\mathrm {sen} \,\theta ).$

La energía potencial total es

$U=U_{g}+U_{k}=mg(s-2h\,\mathrm {sen} \,\theta )+{\dfrac {1}{2}}k\,(s-2h)^{2}.$

Multiplicadores de Lagrange

Siguiendo el enunciado suponemos que la función de Lagrange y el vínculo cinemático son

$L=A{\dot {s}}^{2}+B{\dot {\theta }}^{2}+C{\dot {s}}\,{\dot {\theta }},\qquad g=D{\dot {s}}\cos {\theta }+E{\dot {\theta }}=0.$

Como hay un vínculo cinemático hay que introducir un multiplicador de Lagrange. De este modo podemos seguir trabajando con las coordenadas $\{s,\theta \}$, aunque el sistema tenga sólo un grado de libertad. Las ecuaciones de Lagrange son como sigue

Ecuación para $s$

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial s}}=\mu \,{\dfrac {\partial g}{\partial {\dot {s}}}}\Longrightarrow 2A{\ddot {s}}+C{\ddot {\theta }}=\mu D\cos \theta .\qquad (1)$

Ecuación para $\theta$

${\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)-{\dfrac {\partial L}{\partial \theta }}=\mu \,{\dfrac {\partial g}{\partial {\dot {\theta }}}}\Longrightarrow 2B{\ddot {\theta }}+C{\ddot {s}}=\mu E.\qquad (2)$

Ecuación del vínculo

La tercera ecuación es el propio vínculo

$D{\dot {s}}\cos \theta +E{\dot {\theta }}=0.\qquad (3)$