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Barra articulada rotando en un plano (MR G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Barra articulada rotando en un plano

Se tiene una barra homogénea de longitud L y masa M. La barra tiene un extremo fijo en el punto O y gira únicamente en el plano OX1Y1. La posición de la barra viene determinada por el ángulo θ que forma con el eje OY1.

  1. Encuentra la expresión del momento cinético \vec{L}_O de la barra y de su energía cinética T.
  2. Aplica el T.M.C. en O para obtener una ecuación diferencial del movimiento.
  3. Obtén una integral primera del movimiento. ¿Es equivalente a la ecuación anterior?

3 Solución

3.1 Momento cinético y energía cinética

La barra rota alrededor del punto fijo O. Entonces el momento angular y la energía cinética se pueden calcular usando las expresiones


\vec{L}_O = \overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega},
\qquad
T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}

El eje de rotación es paralelo al eje OZ_1\equiv OZ_2 . Con el sentido del ángulo indicado en la figura el vector rotación es


\vec{\omega} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1 = -\dot{\theta}\,\vec{k}_2

Expresamos el tensor de inercia de la barra en el punto O en la base del sólido solidario con la barra


\overset\leftrightarrow{I}_O 
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]_2

con


I = \dfrac{1}{3}ML^2

El momento angular es


\vec{L}_O = 
\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}
\right]_2
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
-\dot{\theta}
\end{array}
\right]_2
=
-I\dot{\theta}
\left[
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right]_2
=
-I\dot{\theta}\,\vec{k}_{1,2}

La energía cinética es


T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
\dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_O
=
\dfrac{1}{2}\,I\dot{\theta}^2=
\dfrac{1}{6}ML2\dot{\theta}^2

3.2 Aplicación del T.M.C.

La barra está sometida a dos fuerzas, el peso aplicado en el punto G y la fuerza de reacción vincular en O. Aplicando el T.M.C. en el punto O tenemos


\dot{\vec{L}}_O = \vec{M}^{\mathrm{ext}}_O

La fuerza aplicada en O no ejerce momento respecto a O. El momento neto es


\vec{M}^{\mathrm{ext}}_O = \overrightarrow{OG}\times\vec{P}
=
\left(\dfrac{L}{2}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + \dfrac{L}{2}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1\right)\times(-Mg\,\vec{\jmath}_1)
=
-\dfrac{1}{2}MgL\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}_1

Por otro lado, la derivada respecto del tiempo del momento cinético es


\dot{\vec{L}}_O
=
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1=
\left.\dfrac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(-I\dot{\theta}\,\vec{k}_1\right)\right|_1=
-I\ddot{\theta}\,\vec{k}_1

Visto desde el sólido "1", el vector \vec{k}_2=\vec{k}_1 no cambia, y la constante I tampoco. La ecuación de movimiento es


-I\ddot{\theta} = -\dfrac{1}{2}MgL\,\mathrm{sen}\,\theta
\Longrightarrow
\ddot{\theta} = \dfrac{3g}{2L}\,\mathrm{sen}\,\theta

3.3 Integral primera del movimiento

La fuerza de reacción vincular en O no hace trabajo, pues el punto O no se mueve. El peso es una fuerza conservativa, y podemos asociarle una energía potencial gravitatoria. Tomando como referencia de energía potencial y1 = 0, la energía potencial gravitatoria de la barra es


U = Mgy_G = \dfrac{1}{2}MgL\cos\theta

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial gravitatoria


E = T + U = \dfrac{1}{6}ML^2\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}MgL\cos\theta

Al ser constante, la energía mecánica en cada instante es igual a la que tenía en el instante inicial. Si las condiciones iniciales son θ(0) = θ0 y \dot{\theta}(0)=\dot{\theta}_0 la energía mecánica en el instante inicial es


E = \dfrac{1}{6}ML^2\dot{\theta}_0^2 + \dfrac{1}{2}MgL\cos\theta_0 = E_0

Con esto obtenemos la ecuación diferencial del movimiento


\dfrac{1}{6}ML^2\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}MgL\cos\theta = E_0

donde E0 es constante en el tiempo.

A diferencia de la ecuación obtenida en el apartado anterior, esta es una ecuación diferencial de primer orden. Sin embargo, ambas ecuaciones son equivalentes. Si derivamos respecto al tiempo tenemos


\dfrac{1}{3}ML^2\dot{\theta}\ddot{\theta} - \dfrac{1}{2}MgL\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta = 0
\Longrightarrow
\ddot{\theta} = \dfrac{3g}{2L}\,\mathrm{sen}\,\theta

Reobtenemos la ecuación diferencial de segundo orden. Por esto la ecuación obtenida de la conservación de la energía se llama integral primera. Es equivalente a integrar una vez la ecuación diferencial de segundo orden obtenida de aplicar el T.M.C.

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