Aproximación del valor de g en la ISS

Enunciado

La estación espacial internacional (ISS) se halla a unos 400 km de la superficie de la Tierra. Estima el valor de la aceleración de la gravedad en el interior de la ISS. ¿Cómo explicas que los astronautas parezcan estar flotando en el interior de la estación?

Solución

Valor de g

La altura de la ISS respecto de la superficie de la Tierra es, aproximadamente, $h=400\,\mathrm {km}$. Por tanto, la distancia al centro de la Tierra es $r=R_{T}+h=$, con $R_{T}\simeq 6.37\times 10^{3}\,\mathrm {km}$. Usando la expresión que da la aceleración de la gravedad terrestre tenemos

$g_{ISS}={\dfrac {GM_{T}}{(R_{T}+h)^{2}}}={\dfrac {GM}{R_{T}^{2}}}\,\left(1+{\dfrac {h}{R_{T}}}\right)^{-2}.$

El factor delante del paréntesis es la aceleración de la gravedad cuando $h=0$, es decir, $g$. Entonces tenemos

$g_{ISS}=g\,\left(1+{\dfrac {h}{R_{T}}}\right)^{-2}.$

Sustituyendo los valores numéricos tenemos

$g_{ISS}=8.69\,\mathrm {m/s^{2}} .$

Se cumple que $h/R_{T}\simeq 0.06\ll 1$. Entonces podemos aproximar el paréntesis en la expresión de la gravedad con un desarrollo de Taylor. El desarrollo que conviene es

$(1+\varepsilon )^{n}=1+n\varepsilon +O(\varepsilon ^{2}).$

Este desarrollo aproxima la función cuando $\varepsilon$ es pequeño. Para aplicarlo a $g_{ISS}$ hacemos las sustituciones

$\varepsilon \to h/R_{T},\qquad n\to 2.$

Obtenemos así

$g'_{ISS}\simeq g\,\left(1-{\dfrac {2h}{R_{T}}}\right)=8.58\,\mathrm {m/s^{2}} .$

El error relativo que se cometería al usar esta aproximación es

$\epsilon ={\dfrac {|g_{ISS}-g'_{ISS}|}{g_{ISS}}}=0.013=1.3\%.$

Vemos que si usamos la aproximación de Taylor el error es muy pequeño.

¿Por qué flotan los astronautas?

A veces se oye decir que los astronautas en la ISS flotan porque no hay gravedad. Esto no es cierto. Acabamos de calcular el valor de $g$ en la ISS y es sólo un 12% menor que el valor en la superficie. La ISS está sometida a la acción de la gravedad. De hecho, está cayendo hacia la Tierra debido a la acción de la gravedad. Lo que ocurre es que tiene una componente de velocidad horizontal tal que, a la vez que cae, avanza paralelamente a la supeficie, de modo que la distancia a ésta se mantiene constante. Se dice que está en caída libre. La situación es similar a lo que pasaría si el cable de un ascensor se rompiese y cayera libremente. Los objetos dentro del ascensor parecerían estar flotando a un observador que esté dentro.

¿Hasta que altura se puede considerar que $g$ es constante?

La expresión aproximada que hemos obtenido de $g$ nos permite estimar hasta que altura respecto al suelo podemos suponer que la aceleración de la gravedad es constante e igual a $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$. Para una altura cualquiera tenemos

$g'(h)=g\,\left(1-{\dfrac {2h}{R_{T}}}\right).$

Para $h=0$ tenemos $g'=g$. Si asumimos que esto cierto para un valor de $h$ mayor que cero, lo que hacemos es despreciar el segundo sumando del paréntesis. El error que cometemos es, por tanto, el cociente entre el segundo sumando y el primero, es decir

$\epsilon ={\dfrac {2h/R_{T}}{1}}={\dfrac {2h}{R_{T}}}.$

Si el el error máximo que podemos aceptar es, por ejemplo, del 10% ($\epsilon =0.01$), entonces la altura máxima sería

${\dfrac {2h}{R_{T}}}\leq 0.01\longrightarrow h\leq 0.005R_{T}\simeq 30\,\mathrm {km} .$