Enunciado
La estación espacial internacional (ISS) se halla a unos 400 km de la superficie de la Tierra. Estima el valor de la aceleración de la gravedad en el interior de la ISS. ¿Cómo explicas que los astronautas parezcan estar flotando en el interior de la estación?
Solución
Valor de g
La altura de la ISS respecto de la superficie de la Tierra es, aproximadamente, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = 400\,\mathrm{km}} . Por tanto, la distancia al centro de la Tierra es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=R_T+h = } , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_T\simeq 6.37\times10^3\,\mathrm{km}} . Usando la expresión que da la aceleración de la gravedad terrestre tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_{ISS} = \dfrac{G M_T}{(R_T+h)^2} = \dfrac{GM}{R_T^2}\,\left(1+\dfrac{h}{R_T}\right)^{-2}. }
El factor delante del paréntesis es la aceleración de la gravedad cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h=0} , es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} . Entonces tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_{ISS} = g\,\left(1+\dfrac{h}{R_T}\right)^{-2}. }
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_{ISS} = 8.69\,\mathrm{m/s^2}. }
Se cumple que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h/R_T\simeq 0.06\ll 1}
. Entonces podemos aproximar el paréntesis en la expresión de la gravedad con un desarrollo de Taylor. El desarrollo que conviene es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1 + \varepsilon)^n = 1 + n\varepsilon + O(\varepsilon^2). }
Este desarrollo aproxima la función cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon} es pequeño. Para aplicarlo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g_{ISS}} hacemos las sustituciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon \to h/R_T, \qquad n \to 2. }
Obtenemos así
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g'_{ISS} \simeq g\,\left(1 - \dfrac{2h}{R_T}\right) = 8.58 \,\mathrm{m/s^2}. }
El error relativo que se cometería al usar esta aproximación es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon = \dfrac{|g_{ISS} - g'_{ISS}|}{g_{ISS}} = 0.013 = 1.3\%. }
Vemos que si usamos la aproximación de Taylor el error es muy pequeño.
¿Por qué flotan los astronautas?
A veces se oye decir que los astronautas en la ISS flotan porque no hay gravedad. Esto no es cierto. Acabamos de calcular el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} en la ISS y es sólo un 12% menor que el valor en la superficie. La ISS está sometida a la acción de la gravedad. De hecho, está cayendo hacia la Tierra debido a la acción de la gravedad. Lo que ocurre es que tiene una componente de velocidad horizontal tal que, a la vez que cae, avanza paralelamente a la supeficie, de modo que la distancia a ésta se mantiene constante. Se dice que está en caída libre. La situación es similar a lo que pasaría si el cable de un ascensor se rompiese y cayera libremente. Los objetos dentro del ascensor parecerían estar flotando a un observador que esté dentro.
¿Hasta que altura se puede considerar que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} es constante?
La expresión aproximada que hemos obtenido de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g} nos permite estimar hasta que altura respecto al suelo podemos suponer que la aceleración de la gravedad es constante e igual a . Para una altura cualquiera tenemos
Para tenemos . Si asumimos que esto cierto para un valor de mayor que cero, lo que hacemos es despreciar el segundo sumando del paréntesis. El error que cometemos es, por tanto, el cociente entre el segundo sumando y el primero, es decir
Si el el error máximo que podemos aceptar es, por ejemplo, del 10% (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \epsilon=0.01} ), entonces la altura máxima sería
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{2h}{R_T}\leq 0.01 \longrightarrow h\leq 0.005R_T \simeq 30\,\mathrm{km}. }
