Una pequeña anilla Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P}
se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. \ellos extremos fijos de las barras distan una cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell}
y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega}
de forma que describen los ángulos indicados en la figura:
¿Cuáles son las ecuaciones horarias de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P}
?
¿Qué clase de trayectoria describe?
¿Qué tipo de movimiento realiza?
Ecuaciones horarias
Método 1: ángulo en P
La forma más directa de obtener las ecuaciones horarias es observando que el ángulo que forman las dos varillas en P es recto.
Para ver que es así, notamos que el ángulo que la varilla de la derecha forma con el sentido negativo del eje OX es el complementario de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}
, esto es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi=90^\circ-\theta}
Por otro lado, como los ángulos de un triángulo suman , el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta}
que forman las varillas en P es igual a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta = 180^\circ-\theta-\phi = 180^\circ - \theta - \left(90^\circ-\theta\right) = 90^\circ}
Una vez que sabemos que se trata de un triángulo rectángulo, la obtención de las ecuaciones horarias es inmediata.
La distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = |\overrightarrow{OP}|}
es el cateto contiguo del triángulo, respecto al ángulo en O, por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = |\overrightarrow{OP}| = \ell\cos(\theta)=\ell\cos(\Omega t)}
Una vez que tenemos esta distancia, proyectamos sobre los ejes cartesianos, para obtener las dos coordenadas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = r\cos(\theta) = \ell\cos^2(\Omega t)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = \ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)}
o, en forma vectorial,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \ell\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}}
Método 2: cálculo de las coordenadas
Supongamos que la idea de medir el ángulo en P no es inmediata, ¿no pueden hallarse las ecuaciones horarias de una manera más sistemática? Por supuesto que sí. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x}
e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y}
las coordenadas cartesianas del punto P, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(t)}
la distancia entre O y P (variable) y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
la distancia entre A y P (también variable). Se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = r \cos(\theta) = r \cos(\Omega t)\qquad\qquad y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = r\,\mathrm{sen}(\Omega t)}
Si tomamos la base y la altura del triángulo se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\cos(\Omega t)+b\,\mathrm{sen}(\Omega t)=\ell\qquad\qquad r\,\mathrm{sen}(\Omega t) = b\cos(\Omega t) }
Multiplicando la primera ecuación por el coseno, la segunda por el seno y sumando queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = \ell\cos(\Omega t)}
y una vez que tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r(t)}
tenemos las ecuaciones horarias:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = \ell\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}}
Trayectoria
Una vez que tenemos las ecuaciones horarias, ya poseemos una parametrización de la trayectoria (usando el tiempo como variable). No obstante, es de interés el determinar si esta trayectoria posee una ecuación reconocible.
Método 1: Arco capaz
Una vez que se sabe que el ángulo que forman las varillas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P}
es recto, es inmediato que la trayectoria es circular. Tal como se ve en el problema del arco capaz, cuando tenemos dos segmentos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OP}}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AP}}
que son siempre perpendiculares en P, entonces, si C es el punto medio entre O y A, la distancia entre C y P cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\overrightarrow{CP}|=\frac{\ell}{2} = \mathrm{cte}}
y por tanto P describe un movimiento circular sobre una circunferencia de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ell/2}
centrada en C, el punto medio de O y A
Método 2: Ecuaciones implícitas
Si no se conocen las propiedades de un arco capaz, puede identificarse la trayectoria obteniendo unas ecuaciones implícitas de ella a partir de las ecuaciones horarias
Tenemos en primer lugar que la trayectoria es plana, ya que la anilla se encuentra en todo momento en el plano OXY, esto es,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = 0\,}
Vimos anteriormente que la distancia OP cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}= r = |\overrightarrow{OP}| = \ell\cos(\Omega t)}
y que las coordenadas cartesianas del punto P valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \ell \cos^2(\Omega t)\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = \ell\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\,}
Entonces es inmediato que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 +y^2 = r^2 = \ell^2\cos^2(\Omega t) = \ell x\,}
La ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 - \ell x + y^2 = 0\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=0\,}
representa una circunferencia en el plano OXY en el que se encuentra la partícula. Obtenemos su centro y su radio completando cuadrados
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 - \ell x + \frac{\ell^2}{4}+y^2 = \frac{\ell^2}{4}}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left(x-\frac{\ell}{2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{\ell}{2}\right)^2}
por lo que el centro de la circunferencia y su radio son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \frac{\ell}{2}\vec{\imath}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{\ell}{2}}
Por tanto, como dijimos, el punto P describe un movimiento circular de centro C y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\ell}{2}}
.
Método 3: Radio de curvatura
Si no se conocen ni las propiedades del arco capaz, ni se han hallado ecuaciones implícitas, puede también determinarse que el movimiento es circular estableciendo que el movimiento es plano y que su radio de curvatura es constante.
Que la trayectoria es plana es inmediato de que la anilla se encuentre limitada al plano OXY
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = 0\,}
Para hallar el radio de curvatura, según la fórmula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}}
calculamos en primer lugar la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}}
Usando las funciones trigonométricas del ángulo doble esto se simplifica a
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}= \ell\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)}
La rapidez de este movimiento es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=|\vec{v}| = \ell\Omega}
que es una cantidad constante, por lo que el movimiento es uniforme.
Hallamos la aceleración derivando la velocidad respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega^2\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)}
Calculamos el producto vectorial de la velocidad y la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -\ell\Omega\,\mathrm{sen}(2\Omega t) & \ell\Omega\cos(2\Omega t) & 0 \\ -2\ell\Omega^2\cos(2\Omega t) & -2\ell\Omega^2\mathrm{sen}(2\Omega t) & 0 \end{matrix}\right| = 2\ell^2\Omega^3\vec{k}}
lo que nos da el radio de curvatura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{v^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|} = \frac{\ell^3\Omega^3}{2\ell^2\Omega^3}=\frac{\ell}{2}=\mathrm{cte}}
Tenemos entonces que la partícula describe una trayectoria plana con radio de curvatura constante. Por tanto, su movimiento es circular.
Tipo de movimiento
Según hemos dicho, la velocidad la calculamos derivando el vector de posición respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\ell\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\imath}+\ell\Omega\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)\vec{\jmath}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\ell\Omega\left(-\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}\right)}
La rapidez de este movimiento es
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que por ser constante, define este movimiento como uniforme.
Por tanto, la anilla describe un movimiento circular uniforme en el plano OXY, con centro en el punto medio entre los puntos de anclaje de las dos varillas y radio la mitad de la distancia entre estos dos puntos
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A partir de la expresión para la velocidad en un movimiento circular
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se obtiene que la velocidad angular de este movimiento es
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