Enunciado

Una partícula se mueve por el espacio de forma que su velocidad, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria

Inicialmente la partícula se encuentra en .

  1. Calcule la posición en función del tiempo y el desplazamiento entre y . ¿Cuánto vale la velocidad media en dicho intervalo?
  2. Halle la rapidez en cada instante, así como la distancia que recorre la partícula en el mismo intervalo de tiempo. ¿Cuánto vale la rapidez media en este intervalo?
  3. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en , como escalares y como vectores.
  4. Halle el triedro de Frenet en .
  5. Calcule el radio de curvatura en así como el centro de curvatura en ese instante.

Posición y desplazamiento

Posición instantánea

Calculamos la posición instantánea integrando la velocidad

lo que nos da

Desplazamiento

El desplazamiento lo da la diferencia (vectorial) entre la posición final y la inicial

Sustituyendo en la ecuación horaria

resulta el desplazamiento

El módulo de este desplazamiento vale

La velocidad media en este intervalo vale

siendo su módulo 4.69 m/s.

Rapidez y distancia

Rapidez

Para hallar la distancia recorrida debemos calcular en primer lugar la rapidez, ya que

Tenemos la velocidad

Y a partir de esta la rapidez

Simplificamos esta expresión si reconocemos en ella un cuadrado de un binomio

y por tanto

Distancia

La distancia recorrida la hallamos integrando la rapidez o celeridad entre el instante inicial y el final

La distancia recorrida es superior al módulo del desplazamiento, ya que la trayectoria es una curva, mientras que el módulo del desplazamiento se mide en línea recta, que siempre es una distancia más corta.

La rapidez media en este intervalo es

que también es mayor que el módulo de la velocidad media.

Componentes intrínsecas de la aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración en cada instante

En la velocidad, la rapidez y la aceleración valen

Aceleración tangencial

A partir de ellas podemos calcular la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre la velocidad

y, en forma vectorial

También podemos hallar la aceleración tangencial derivando la rapidez respecto al tiempo

que en produce el resultado ya conocido

Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando

La aceleración normal escalar es el módulo de este vector

De hecho, operando con las funciones del tiempo, sin sustituir t por 1 s, puede demostrarse que en todo instante.

La aceleración normal también puede hallarse sin pasar por la aceleración tangencial mediante la fórmula

Triedro de Frenet

Ya tenemos dos de los tres vectores que lo forman: el vector tangente

y el vector normal

El vector binormal lo hallamos como el producto vectorial de estos dos

Alternativamente, podemos hallar primero el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración

y a partir del tangente y del binormal determinar el normal

Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura en el mismo instante lo hallamos a partir de

Para el centro de curvatura usamos el vector normal, que es el unitario en la dirección de la aceleración normal

y obtenemos la posición del centro de curvatura como

donde hemos usado que