Enunciado
Una partícula se mueve por el espacio de forma que su velocidad, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria
Inicialmente la partícula se encuentra en .
- Calcule la posición en función del tiempo y el desplazamiento entre y . ¿Cuánto vale la velocidad media en dicho intervalo?
- Halle la rapidez en cada instante, así como la distancia que recorre la partícula en el mismo intervalo de tiempo. ¿Cuánto vale la rapidez media en este intervalo?
- Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en , como escalares y como vectores.
- Halle el triedro de Frenet en .
- Calcule el radio de curvatura en así como el centro de curvatura en ese instante.
Posición y desplazamiento
Posición instantánea
Calculamos la posición instantánea integrando la velocidad
lo que nos da
Desplazamiento
El desplazamiento lo da la diferencia (vectorial) entre la posición final y la inicial
Sustituyendo en la ecuación horaria
resulta el desplazamiento
El módulo de este desplazamiento vale
La velocidad media en este intervalo vale
siendo su módulo 4.69 m/s.
Rapidez y distancia
Rapidez
Para hallar la distancia recorrida debemos calcular en primer lugar la rapidez, ya que
Tenemos la velocidad
Y a partir de esta la rapidez
Simplificamos esta expresión si reconocemos en ella un cuadrado de un binomio
y por tanto
Distancia
La distancia recorrida la hallamos integrando la rapidez o celeridad entre el instante inicial y el final
La distancia recorrida es superior al módulo del desplazamiento, ya que la trayectoria es una curva, mientras que el módulo del desplazamiento se mide en línea recta, que siempre es una distancia más corta.
La rapidez media en este intervalo es
que también es mayor que el módulo de la velocidad media.
Componentes intrínsecas de la aceleración
Derivando de nuevo hallamos la aceleración en cada instante
En la velocidad, la rapidez y la aceleración valen
Aceleración tangencial
A partir de ellas podemos calcular la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre la velocidad
y, en forma vectorial
También podemos hallar la aceleración tangencial derivando la rapidez respecto al tiempo
que en produce el resultado ya conocido
Aceleración normal
Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando
La aceleración normal escalar es el módulo de este vector
De hecho, operando con las funciones del tiempo, sin sustituir t por 1 s, puede demostrarse que en todo instante.
La aceleración normal también puede hallarse sin pasar por la aceleración tangencial mediante la fórmula
Triedro de Frenet
Ya tenemos dos de los tres vectores que lo forman: el vector tangente
y el vector normal
El vector binormal lo hallamos como el producto vectorial de estos dos
Alternativamente, podemos hallar primero el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración
y a partir del tangente y del binormal determinar el normal
Radio y centro de curvatura
El radio de curvatura en el mismo instante lo hallamos a partir de
Para el centro de curvatura usamos el vector normal, que es el unitario en la dirección de la aceleración normal
y obtenemos la posición del centro de curvatura como
donde hemos usado que