Enunciado
Una partícula se mueve por el espacio de forma que su velocidad, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=t^2\vec{\imath}+2t\vec{\jmath}+2\vec{k}}
Inicialmente la partícula se encuentra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}}
.
- Calcule la posición en función del tiempo y el desplazamiento entre
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=3\,\mathrm{s}}
. ¿Cuánto vale la velocidad media en dicho intervalo?
- Halle la rapidez en cada instante, así como la distancia que recorre la partícula en el mismo intervalo de tiempo. ¿Cuánto vale la rapidez media en este intervalo?
- Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=1\,\mathrm{s}}
, como escalares y como vectores.
- Halle el triedro de Frenet en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=1\,\mathrm{s}}
.
- Calcule el radio de curvatura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=1\,\mathrm{s}}
así como el centro de curvatura en ese instante.
Posición y desplazamiento
Posición instantánea
Calculamos la posición instantánea integrando la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\vec{r}_0+\int_0^t\vec{v}\,\mathrm{d}t}
lo que nos da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}=\left(-1+t^3/3\right)\vec{\imath}+(t^2+1)\vec{\jmath}+2t\vec{k}}
Desplazamiento
El desplazamiento lo da la diferencia (vectorial) entre la posición final y la inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{r}=\vec{r}(3\,\mathrm{s})-\vec{r}(0\,\mathrm{s})}
Sustituyendo en la ecuación horaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(0\,\mathrm{s})=\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\,\mathrm{m}\qquad\qquad \vec{r}(3\,\mathrm{s})=(8\vec{\imath}+10\vec{\jmath}+6\vec{k})\,\mathrm{m}}
resulta el desplazamiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{r}=\left(9\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}\right)\mathrm{m}}
El módulo de este desplazamiento vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\Delta\vec{r}\right|=\sqrt{198}\mathrm{m}=14.1\,\mathrm{m}}
La velocidad media en este intervalo vale
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_m=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{9\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}}{3}=\left(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+2\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
siendo su módulo 4.69 m/s.
Rapidez y distancia
Rapidez
Para hallar la distancia recorrida debemos calcular en primer lugar la rapidez, ya que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta s = \int_{t_i}^{t_f}\left|\vec{v}\right|\mathrm{d}t}
Tenemos la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=t^2\vec{\imath}+2t\vec{\jmath}+2\vec{k}}
Y a partir de esta la rapidez
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{v}\right| = \sqrt{t^4+4t^2+4} }
Simplificamos esta expresión si reconocemos en ella un cuadrado de un binomio
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t^4+4t^2+4 = (t^2)^2 + 2(t^2)\cdot 2 + 2^2 = (t^2+2)^2\,}
y por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{(t^2+2)^2} =t^2+2}
Distancia
La distancia recorrida la hallamos integrando la rapidez o celeridad entre el instante inicial y el final
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta s=\int_0^3 (t^2+2)\mathrm{d}t=\left.\left(\frac{1}{3}t^3+2t\right)\right|_0^3 = 15\,\mathrm{m}}
La distancia recorrida es superior al módulo del desplazamiento, ya que la trayectoria es una curva, mientras que el módulo del desplazamiento se mide en línea recta, que siempre es una distancia más corta.
La rapidez media en este intervalo es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{v}|_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}=5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}
que también es mayor que el módulo de la velocidad media.
Componentes intrínsecas de la aceleración
Derivando de nuevo hallamos la aceleración en cada instante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2t\vec{\imath}+2\vec{\jmath}}
En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=1\,\mathrm{s}}
la velocidad, la rapidez y la aceleración valen
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}(1\,\mathrm{s})=(1\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad |\vec{v}| = 3\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad \vec{a}(1\,\mathrm{s})=(2\vec{\imath}+2\vec{\jmath})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
Aceleración tangencial
A partir de ellas podemos calcular la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t = \frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|}=\frac{1\cdot 2+2\cdot 2+2\cdot 0}{3}=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
y, en forma vectorial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{|\vec{v}|^2}= \frac{2}{3}(\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
También podemos hallar la aceleración tangencial derivando la rapidez respecto al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(t^2+2) = 2t}
que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=1\,\mathrm{s}}
produce el resultado ya conocido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_t=2\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
Aceleración normal
Una vez que tenemos la aceleración completa y la tangencial, podemos hallar la normal restando
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n = \vec{a}-\vec{a}_t = \left(2-\frac{2}{3}\right)\vec{\imath}+\left(2-\frac{4}{3}\right)\vec{\jmath}+\left(0-\frac{4}{3}\right)\vec{k}=\frac{4\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-4\vec{k}}{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
La aceleración normal escalar es el módulo de este vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = |\vec{a}_n|= \frac{\sqrt{4^2+2^2+4^2}}{3}=2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}
De hecho, operando con las funciones del tiempo, sin sustituir t por 1 s, puede demostrarse que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}
en todo instante.
La aceleración normal también puede hallarse sin pasar por la aceleración tangencial mediante la fórmula
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Triedro de Frenet
Ya tenemos dos de los tres vectores que lo forman: el vector tangente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}}
y el vector normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}}
El vector binormal lo hallamos como el producto vectorial de estos dos
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Alternativamente, podemos hallar primero el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración
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y a partir del tangente y del binormal determinar el normal
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Radio y centro de curvatura
El radio de curvatura en el mismo instante lo hallamos a partir de
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Para el centro de curvatura usamos el vector normal, que es el unitario en la dirección de la aceleración normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}}
y obtenemos la posición del centro de curvatura como
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donde hemos usado que
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