Aceleración dependiente de la posición (GIOI)

Enunciado

Una partícula se mueve sobre una recta partiendo desde $x_{0}=-5\,\mathrm {m}$ con velocidad $v_{0}=+3\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$. En su movimiento, experimenta la aceleración

$a={\begin{cases}+2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}&|x|\leq 2\,\mathrm {m} \\0&|x|>2\,\mathrm {m} \end{cases}}$

1. ¿Qué velocidad tiene cuando llega al punto $x=+7\,\mathrm {m}$?
2. ¿Cuál es la velocidad media en todo el trayecto?
3. Indique cómo cambian los resultados de los dos apartados anteriores si la aceleración es de la forma

$a={\begin{cases}-2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}&|x|\leq 2\,\mathrm {m} \\0&|x|>2\,\mathrm {m} \end{cases}}$

Velocidad en x = 7 m

Esta pregunta (y la siguiente) se puede resolver empleando la ecuación del movimiento uniforme y del movimiento uniformemente acelerado, pero también empleando otras que evitan el cálculo en función del tiempo.

La aceleración en un movimiento uniformemente acelerado cumple

$a={\frac {v_{3}^{2}-v_{1}^{2}}{2(x_{3}-x_{1})}}$

La zona donde hay aceleración va de $x_{1}=-2\,\mathrm {m}$ a $x_{3}=+2\,\mathrm {m}$, siendo la velocidad de entrada $v_{1}=+3\mathrm {m} /\mathrm {s}$ y la aceleración +2m/s². Esto nos da, en el SI

$2={\frac {v_{3}^{2}-3^{2}}{2\cdot 4}}\qquad \Rightarrow \qquad v_{3}^{2}=9+2\times 8=25\qquad \Rightarrow \qquad v_{3}=5\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

A partir de ahí y hasta $x=7\,\mathrm {m}$ la velocidad es constante e igual a $v_{3}=5\,{\mathrm {m} }/{\mathrm {s} }$

Velocidad media

El movimiento se compone de tres tramos, siendo el desplazamiento total

$\Delta x=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}+\Delta x_{3}=3\,\mathrm {m} +4\,\mathrm {m} +5\,\mathrm {m} =12\,\mathrm {m}$

El primer tramo mide 3m y se recorre a una velocidad constante de 3m/s, por lo que

$\Delta t_{1}={\frac {\Delta x_{1}}{v_{1}}}=1\,\mathrm {s}$

El primer tramo mide 5m y se recorre a una velocidad constante de 5m/s, por lo que

$\Delta t_{3}={\frac {\Delta x_{3}}{v_{3}}}=1\,\mathrm {s}$

El segundo tramo se recorre con un movimiento uniformemente acelerado. Para este movimiento la velocidad media es

$v_{m2}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}=4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

y por tanto, el tiempo que se tarda en recorrer esta zona es

$\Delta t_{2}={\frac {\Delta x_{2}}{v_{m2}}}=1\,\mathrm {s}$

Por tanto, el intervalo total dura

$\Delta t=(1+1+1)\mathrm {s} =3\,\mathrm {s}$

lo que nos da la velocidad media

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {12\,\mathrm {m} }{3\,\mathrm {s} }}=4\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Caso de aceleración negativa

Cuando se aplica la misma lógica del primer apartado al nuevo caso, obtenemos

$-2={\frac {v_{3}^{2}-3^{2}}{2\cdot 4}}\qquad \Rightarrow \qquad v_{3}^{2}=9+2\times 8=-7$

pero este resultado no tiene sentido, ya que sale un cuadrado negativo.

¿Qué ocurre aquí? Que, en este caso, la partícula nunca llega a $x=+2\,\mathrm {m}$ y, por tanto, tampoco a $x=+7\,\mathrm {m}$.

Al ser la aceleración negativa, lo que ocurre es que la velocidad de la partícula empieza a disminuir hasta hacerse 0 en un punto de retorno, y a partir de ahí la velocidad se hace negativa, con lo que la partícula vuelve a salir por donde había venido.

El punto de retorno es aquél para el cual la velocidad es cero.

$-2={\frac {0^{2}-3^{2}}{2\cdot (x_{\mathrm {max} }-(-2)}}))\qquad \Rightarrow \qquad x_{\mathrm {max} }=-2+{\frac {9}{4}}=0.25\,\mathrm {m}$