Aceleración dependiente de la posición (GIOI)

Enunciado

Una partícula se mueve sobre una recta partiendo desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=-5\,\mathrm{m}} con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=+3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} . En su movimiento, experimenta la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=\begin{cases}+2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2 & |x| \leq 2\,\mathrm{m} \\ 0 & |x| > 2\,\mathrm{m}\end{cases} }

1. ¿Qué velocidad tiene cuando llega al punto $x=+7\,\mathrm {m}$?
2. ¿Cuál es la velocidad media en todo el trayecto?
3. Indique cómo cambian los resultados de los dos apartados anteriores si la aceleración es de la forma

$a={\begin{cases}-2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}&|x|\leq 2\,\mathrm {m} \\0&|x|>2\,\mathrm {m} \end{cases}}$

Velocidad en x = 7 m

Esta pregunta (y la siguiente) se puede resolver empleando la ecuación del movimiento uniforme y del movimiento uniformemente acelerado, pero también empleando otras que evitan el cálculo en función del tiempo.

La aceleración en un movimiento uniformemente acelerado cumple

$a={\frac {v_{3}^{2}-v_{1}^{2}}{2(x_{3}-x_{1})}}$

La zona donde hay aceleración va de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = -2\,\mathrm{m}} a $x_{3}=+2\,\mathrm {m}$, siendo la velocidad de entrada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1=+3\mathrm{m}/\mathrm{s}} y la aceleración +2m/s². Esto nos da, en el SI

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2 = \frac{v_3^2-3^2}{2\cdot 4}\qquad\Rightarrow\qquad v_3^2 = 9+2\times 8 = 25\qquad\Rightarrow\qquad v_3 = 5\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

A partir de ahí y hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=7\,\mathrm{m}} la velocidad es constante e igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_3 = 5\,{\mathrm{m}}/{\mathrm{s}}}

Velocidad media

El movimiento se compone de tres tramos, siendo el desplazamiento total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \Delta x_3 = 3\,\mathrm{m}+4\,\mathrm{m}+5\,\mathrm{m}=12\,\mathrm{m}}

El primer tramo mide 3m y se recorre a una velocidad constante de 3m/s, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t_1 = \frac{\Delta x_1}{v_1}=1\,\mathrm{s}}

El primer tramo mide 5m y se recorre a una velocidad constante de 5m/s, por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t_3 = \frac{\Delta x_3}{v_3}=1\,\mathrm{s}}

El segundo tramo se recorre con un movimiento uniformemente acelerado. Para este movimiento la velocidad media es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{m2}=\frac{v_1+v_2}{2}=4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

y por tanto, el tiempo que se tarda en recorrer esta zona es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t_2 = \frac{\Delta x_2}{v_{m2}}= 1\,\mathrm{s}}

Por tanto, el intervalo total dura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t = (1+1+1)\mathrm{s}=3\,\mathrm{s}}

lo que nos da la velocidad media

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{12\,\mathrm{m}}{3\,\mathrm{s}}=4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Caso de aceleración negativa

Cuando se aplica la misma lógica del primer apartado al nuevo caso, obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2 = \frac{v_3^2-3^2}{2\cdot 4}\qquad\Rightarrow\qquad v_3^2 = 9+2\times 8=-7}

pero este resultado no tiene sentido, ya que sale un cuadrado negativo.

¿Qué ocurre aquí? Que, en este caso, la partícula nunca llega a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=+2\,\mathrm{m}} y, por tanto, tampoco a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=+7\,\mathrm{m}} .

Al ser la aceleración negativa, lo que ocurre es que la velocidad de la partícula empieza a disminuir hasta hacerse 0 en un punto de retorno, y a partir de ahí la velocidad se hace negativa, con lo que la partícula vuelve a salir por donde había venido.

El punto de retorno es aquél para el cual la velocidad es cero.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -2 = \frac{0^2-3^2}{2\cdot (x_\mathrm{max}-(-2)}))\qquad\Rightarrow\qquad x_\mathrm{max} = -2+\frac{9}{4}=0.25\,\mathrm{m}}