Aceleración de una partícula (CMR)

Definición

Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

${\vec {a}}={\dot {\vec {v}}}={\ddot {\vec {r}}}$

En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)

${\vec {a}}={\dot {v}}_{x}{\vec {\imath }}+{\dot {v}}_{y}{\vec {\jmath }}+{\dot {v}}_{z}{\vec {k}}={\ddot {x}}{\vec {\imath }}+{\ddot {y}}{\vec {\jmath }}+{\ddot {z}}{\vec {k}}$

Componentes intrínsecas

Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente

${\vec {v}}=\left|{\vec {v}}\right|{\vec {T}}$

queda

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}{\vec {T}}+|{\vec {v}}|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}$

El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a ${\vec {T}}$, por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.

${\vec {a}}_{t}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}{\vec {T}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{n}=|{\vec {v}}|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}$

Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad

${\vec {a}}_{t}={\frac {{\vec {v}}({\vec {a}}\cdot {\vec {v}})}{|{\vec {v}}|^{2}}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{n}={\vec {a}}-{\vec {a}}_{t}={\frac {{\vec {v}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {v}})}{|{\vec {v}}|^{2}}}$

Triedro de Frenet

Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria

${\vec {T}}={\frac {\vec {v}}{\left|{\vec {v}}\right|}}$

y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria

${\vec {N}}={\frac {{\vec {a}}_{n}}{|{\vec {a}}_{n}|}}$

Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.

Es fácil ver esta propiedad en el caso bidimensional. Si la partícula se mueve en el plano OXY el vector tangente se puede poner de la forma

${\vec {T}}=\cos(\phi ){\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\jmath }}$

siendo $\phi \,$ el ángulo que el vecyor tangente forma con el eje OX. Derivando esta expresión respecto al tiempo queda

${\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}=\left(-\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\imath }}+\cos(\phi ){\vec {\jmath }}\right){\dot {\phi }}$

El vector entre paréntesis es efectivamente ortogonal a ${\vec {T}}$ y forma un ángulo de 90° a la izquierda de éste. Si ${\dot {\phi }}>0$ la trayectoria se está curvando hacia la izquierda y hacia allí apunta la derivada. Si en cambio se curva hacia la derecha ${\dot {\phi }}<0$ y esta derivada forma un ángulo de −90° con ${\vec {T}}$. En ambos casos la derivada va hacia el interior de la curva, Normalizando este vector

$\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}\right|=\left|{\dot {\phi }}\right|\qquad \qquad {\vec {N}}=\left(-\mathrm {sen} (\phi ){\vec {\imath }}+\cos(\phi ){\vec {\jmath }}\right){\frac {\dot {\phi }}{|{\dot {\phi }}|}}$

donde el último factor no es más que el signo de la derivada ${\dot {\phi }}$

Completamos un triedro (denominado triedro de Frenet) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal

${\vec {B}}={\vec {T}}\times {\vec {N}}$

Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro

${\vec {A}}=A_{t}{\vec {T}}+A_{n}{\vec {N}}+A_{b}{\vec {B}}$

En particular

${\vec {v}}=|{\vec {v}}|{\vec {T}}\qquad \qquad {\vec {a}}=a_{t}{\vec {T}}+a_{n}{\vec {N}}$

A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.

Curvatura

La curvatura de una trayectoria mide como cambia la dirección de esta. Se define a partir de la derivada del vector tangente como

$\kappa ={\frac {1}{|{\vec {v}}|}}\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}\right|$

La inversa de la curvatura es el denominado radio de curvatura

$R={\frac {1}{\kappa }}$

de forma que la aceleración normal puede escribirse en la forma

${\vec {a}}_{n}={\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{R}}{\vec {N}}$

El centro de curvatura se define como el punto móvil

${\vec {r}}_{c}={\vec {r}}+R{\vec {N}}$

De nuevo, se puede dar una interpretación simple a este resultado en dos dimensiones. Antes se vio que

$\left|{\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}\right|=\left|{\dot {\phi }}\right|$

siendo $\phi \,$ el ángulo con el eje OX. Su derivada temporal es una velocidad angular, representa el ritmo con el que está girando el vector tangente. Esta velocidad angular se rleaciona con la velocidad lineal y el radio de giro como

$\left|{\dot {\phi }}\right|={\frac {|{\vec {v}}|}{R}}$

con lo que la derivada del vector tangente es

${\frac {\mathrm {d} {\vec {T}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {|{\vec {v}}|}{R}}{\vec {N}}$

y la aceleración

${\vec {a}}={\frac {\mathrm {d} |{\vec {v}}|}{\mathrm {d} t}}{\vec {T}}+{\frac {|{\vec {v}}|^{2}}{R}}{\vec {N}}$

Aceleración en polares, cilíndricas y esféricas

En otros sistemas de coordenadas, la aceleración se halla derivando la expresión de la velocidad, pero teniendo en cuenta la dependencia temporal de los vectores de la base.

El resultado en coordenadas polares, para el movimiento en el plano OXY, es

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}+\rho {\ddot {\theta }}){\vec {u}}_{\theta }$

En cilíndricas se añade la componente vertical de la aceleración:

${\vec {a}}=({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}_{\rho }+(2{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}+\rho {\ddot {\theta }}){\vec {u}}_{\theta }+{\ddot {z}}{\vec {u}}_{z}$

En esféricas la expresión es más complicada:

${\begin{array}{rcl}{\vec {a}}&=&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r\,\mathrm {sen} ^{2}(\theta ){\dot {\varphi }}^{2}\right){\vec {u}}_{r}\\&+&\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r\,\mathrm {sen} (\theta )\cos(\theta ){\dot {\varphi }}^{2}\right){\vec {u}}_{\theta }\\&+&\left(r\,\mathrm {sen} (\theta ){\ddot {\varphi }}+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\,\mathrm {sen} (\theta )+2r{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos(\theta )\right){\vec {u}}_{\varphi }\end{array}}$