1.6. Dependencias de la fuerza viscosa (Ex.Nov/11)

Enunciado

El poise (P), que es la unidad de viscosidad dinámica en el sistema CGS, se define como 1 P = 1 gError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cdot} (sError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cdot} cm)Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^{-1}} . ¿Cuál es la unidad de viscosidad dinámica en el SI?

Según la denominada ley de Stokes, el módulo de la fuerza viscosa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F\,} ejercida sobre una esfera que se mueve en un fluido depende exclusivamente de tres magnitudes: el radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} de la esfera, la celeridad $v\,$ con que ésta se mueve y la viscosidad dinámica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} del fluido. Deduzca, mediante análisis dimensional, los exponentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q\,} con los que aparecen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} , respectivamente, en la fórmula del módulo de la fuerza viscosa según Stokes, y así podrá responder a las dos siguientes preguntas.

a) Si en un mismo fluido se mueven dos esferas, ambas con igual celeridad, pero el radio de la segunda es el doble que el radio de la primera (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_2=2\,r_1\,} ), ¿qué relación existe entre los módulos de las fuerzas viscosas soportadas por la primera y la segunda esfera?

b) Si, al pasar de un instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_1\,} a otro posterior Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_2\,} , la celeridad de una esfera en el seno de un fluido se ha reducido conforme a la relación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2=0.80\,v_1\,} , ¿cómo habrá cambiado el módulo de la fuerza viscosa sobre ella ejercida?

Dimensiones y unidad SI de la viscosidad dinámica

Se nos presenta el poise (P) como la unidad de viscosidad dinámica (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} ) en cierto sistema de unidades (CGS, cegesimal). Obsérvese que, aunque no hayamos oído nunca hablar de la viscosidad dinámica, la definición de 1 poise que se nos da en el enunciado permite de inmediato deducir la ecuación dimensional de dicha magnitud física, así como su unidad en el SI. En efecto:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{P} = 1\,\mathrm{g}\cdot(\mathrm{s}\cdot\mathrm{cm})^{-1} \,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, [\eta]=MT^{-1}L^{-1}\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\, \mathrm{unidad}\,\, \mathrm{SI}\,\, \mathrm{de}\,\, \eta = 1\,\mathrm{kg}\cdot(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m})^{-1}}

Pero es más frecuente expresar la unidad SI de viscosidad dinámica de este otro modo equivalente:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}} = 1\,\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^2}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}\cdot \mathrm{m}} = 1\,\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{m}^2} = 1\,\mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}}

donde se ha tenido en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\, \mathrm{kg}=1\, (\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}^2)/\mathrm{m}\,} , y también que la unidad de presión en el SI es el pascal (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1\,\mathrm{Pa}=1\, \mathrm{N}/\mathrm{m}^2\,} ).

Ley de Stokes

Se nos dice que, según la ley de Stokes, el módulo de la fuerza viscosa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F\,} que sufre una esfera móvil en el seno de un fluido sólo es función de tres magnitudes: el radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} de la esfera, la celeridad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} de la esfera, y la viscosidad dinámica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} del fluido, es decir:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = f(r,v,\eta)\,}

Pero esta ecuación ha de ser dimensionalmente homogénea. Por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f\,} no puede ser una función arbitraria, sino que debe ser un producto de potencias de sus tres variables cuyo resultado tenga dimensiones de fuerza:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F=K\,r^nv^p\eta^q\,}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} es un factor numérico adimensional que no seremos capaces de determinar mediante análisis dimensional, pero que no nos hace falta para poder responder a las preguntas que se nos plantean.

Será, pues, la exigencia de homogeneidad dimensional sobre la anterior ecuación la que nos permita deducir cuáles son los valores de los exponentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle q\,} . Tomando dimensiones en la anterior ecuación, se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [F] = [r]^n[v]^p[\eta]^q \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,MLT^{-2} = L^n\left(LT^{-1}\right)^p\left(ML^{-1}T^{-1}\right)^q\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, MLT^{-2} = M^{q}L^{n+p-q}T^{-p-q}\,}

Igualando entre sí los exponentes de cada magnitud básica en ambos miembros, obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 = q \,\,;\qquad\qquad 1 = n + p - q \,\,;\qquad\qquad -2 = -p - q }

de donde:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n = 1\,\,;\qquad\qquad p = 1\,\,;\qquad\qquad q = 1}

y por tanto el módulo de la fuerza viscosa responde a la expresión:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F = K\,r\, v\,\eta}

Esta expresión no nos dice cuánto vale el módulo de la fuerza viscosa, ya que desconocemos el valor del factor numérico adimensional Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} . Sin embargo, nos proporciona una información muy interesante: el tipo de dependencia existente entre el módulo de la fuerza viscosa y las variables Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\,} . De hecho, observamos que se trata de una relación de proporcionalidad directa, de tal modo que la multiplicación de cualquiera de las tres variables por un cierto factor (manteniéndose las demás constantes) se traduce en la multiplicación de la fuerza viscosa exactamente por el mismo factor. Y esto es justo lo que necesitábamos saber para poder responder a las dos cuestiones finales que se nos plantean.

No obstante, para no dejar a nadie con la curiosidad, diremos que en la ley de Stokes el factor adimensional Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K\,} vale 6Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi\,} .

Respuesta a las dos cuestiones finales

a) Al tratarse de dos esferas moviéndose con igual celeridad en un mismo fluido, la única variable que cambia de una a otra es el radio, que se nos dice ser el doble en la segunda que en la primera. Por tanto, es inmediato deducir la relación entre los módulos de las fuerzas viscosas soportadas por una y otra esfera:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_2=2\,r_1 \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, F_2=K\, r_2\, v\,\eta=2\,K\,r_1\, v\,\eta= 2\,F_1}

b) En este caso, se trata de una única esfera móvil en el seno de un fluido, y la variable que se modifica de un instante a otro es simplemente su celeridad. Deduciremos, pues, cuál es la modificación sufrida por el módulo de la fuerza viscosa que soporta la esfera al pasar del primer al segundo instante:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2=0.80\,v_1 \,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, F_2=K\, r\, v_2\,\eta=0.80\,K\,r\, v_1\,\eta= 0.80\,F_1}