Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

Enunciado

Determine todos los vectores libres que cumplen simultáneamente las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de $14$ m.

2) Ser ortogonal al vector $(3\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}}\,)\,$ m.

3) Formar junto a los vectores $\,{\vec {\imath }}\,\,$ m y $\,{\vec {k}}\,$ m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m³

Solución

Exigiremos a un vector genérico ${\vec {a}}=a_{x}\,{\vec {\imath }}+a_{y}\,{\vec {\jmath }}+a_{z}\,{\vec {k}}\,$ las tres condiciones dadas. Por comodidad, prescindiremos de las unidades hasta llegar a la solución final (son todas unidades del SI).

La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de ${\vec {a}}$ debe ser:

$a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}=(14)^{2}=196\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:

$(a_{x}\,{\vec {\imath }}+a_{y}\,{\vec {\jmath }}+a_{z}\,{\vec {k}})\cdot (3\,{\vec {\imath }}+{\vec {k}})=3a_{x}+a_{z}=0\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,a_{z}=-3a_{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:

$\left|(a_{x}\,{\vec {\imath }}+a_{y}\,{\vec {\jmath }}+a_{z}\,{\vec {k}})\cdot ({\vec {\imath }}\wedge {\vec {k}})\right|=|a_{y}|=6\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,a_{y}=\pm \,6\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y resolviendo la ecuación resultante, se obtienen dos soluciones para $a_{x}\,$. Y a cada una de esas dos soluciones de $a_{x}\,$ le corresponde mediante (2) una solución en $a_{z}\,$:

$a_{x}^{2}+36+9a_{x}^{2}=196\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,10\,a_{x}^{2}=160\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,a_{x}^{2}=16\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\left\{{\begin{array}{l}a_{x}=4\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,a_{z}=-12\\a_{x}=-4\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,a_{z}=12\end{array}}\right.$

Atendiendo a la duplicidad de signo en la solución obtenida para la componente $a_{y}\,$ en (3), podemos finalmente concluir que existen cuatro vectores que satisfacen las tres condiciones dadas, a saber:

$(4\,{\vec {\imath }}+6\,{\vec {\jmath }}-12\,{\vec {k}})\,\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4\,{\vec {\imath }}-6\,{\vec {\jmath }}-12\,{\vec {k}})\,\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(-4\,{\vec {\imath }}+6\,{\vec {\jmath }}+12\,{\vec {k}})\,\,\mathrm {m} \,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(-4\,{\vec {\imath }}-6\,{\vec {\jmath }}+12\,{\vec {k}})\,\,\mathrm {m}$