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Varilla en eje giratorio (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
 
Línea 34: Línea 34:
==Ecuación del EIRMD==
==Ecuación del EIRMD==
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El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por el punto de posición respecto a G
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El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por un punto cuya posición respecto a G es
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<center><math>\overrightarrow{GE}_0=\frac{\vec{\omega}_{31}\times\vec{v}^G_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|^2}=\frac{(\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2)\times(-\Omega b\vec{\imath}_2)}{2\Omega^2}=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2</math></center>
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y respecto al origen
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<center><math>\overrightarrow{OE}_0=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GE}_0=\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2</math></center>
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siendo la ecuación del eje
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<center><math>\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OE}_0+\lambda\vec{\omega}_{21}= \frac{b}{2}\vec{\jmath}_2+\lambda\Omega(\vec{\imath}_2+\vec{k}_2)</math></center>
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o, separando por componentes,
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<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\lambda\Omega\\ y &=& (b/2) \\ z &=& \lambda\Omega\end{array}\right.</math></center>
==Aceleración angular==
==Aceleración angular==
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La aceleración angular la obtenemos por la ley de composición correspondiente
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<center><math>\vec{\alpha}_{31}=\vec{\alpha}_{32}+\vec{\alpha}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}</math></center>
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<center><math>\vec{\alpha}_{32}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_2)\right|_2=\vec{0}
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\qquad\qquad \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_1)\right|_1=\vec{0}</math></center>
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y, por tanto,
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<center><math>\vec{\alpha}_{31}=\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}=\Omega^2\vec{\jmath}_2</math></center>

última version al 20:35 1 dic 2020

Contenido

1 Enunciado

Una varilla “3” está articulada en el punto b\vec{\jmath}_2 de un eje OY2. La varilla gira con velocidad angular \Omega\vec{\imath}_2 (Ω=cte.) alrededor de su articulación. El eje OY2 gira a su vez con velocidad angular \Omega\vec{k}_2 respecto a un eje OZ1 de un sistema exterior fijo.

  1. ¿Qué tipo de movimiento es el {31}, que realiza la varilla “3” respecto al sistema exterior fijo “1” (helicoidal, rotación,…)?
  2. ¿Cuál es la ecuación del Eje Instantáneo de Rotación (y Mínimo Deslizamiento, en su caso), del movimiento {31}?
  3. ¿Cuánto vale la aceleración angular del movimiento {31}?

2 Clasificación del movimiento

Para caracterizar el movimiento necesitamos la velocidad angular del sólido y la velocidad de un punto.

La velocidad angular la obtenemos por la ley de composición

\vec{\omega}_{31}=\vec{\omega}_{32}+\vec{\omega}_{21}=\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2

Para la velocidad de un punto, el más simple es el centro de la varilla, por tratarse de una articulación

\vec{v}^G_{31}=\overbrace{\vec{v}^G_{32}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^G_{21}

A su vez, la velocidad de G en el movimiento {21} corresponde a una rotación en torno al eje OZ1

\vec{v}^G_{21}=\overbrace{\vec{v}^O_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OG}=\Omega\vec{k}_2\times(b\vec{\jmath}_2)=-\Omega b\vec{\imath}_2

La reducción cinemática en G es entonces

\left\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^G_{31}\right\}=\left\{\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2,-\Omega b\vec{\imath}_2\right\}

La velocidad angular no es nula, por lo que el estado no es de reposo ni de traslación.

Si calculamos el producto escalar de las dos velocidades

\vec{v}^G_{31}\cdot\vec{\omega}_{31}=-\Omega^2 b\neq 0

Por tanto el movimiento es helicoidal, siendo la velocidad de deslizamiento

v_d=\frac{\vec{v}^G_{31}\cdot\vec{\omega}_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|}=-\frac{\Omega b}{\sqrt{2}}

3 Ecuación del EIRMD

El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por un punto cuya posición respecto a G es

\overrightarrow{GE}_0=\frac{\vec{\omega}_{31}\times\vec{v}^G_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|^2}=\frac{(\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2)\times(-\Omega b\vec{\imath}_2)}{2\Omega^2}=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2

y respecto al origen

\overrightarrow{OE}_0=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GE}_0=\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2

siendo la ecuación del eje

\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OE}_0+\lambda\vec{\omega}_{21}= \frac{b}{2}\vec{\jmath}_2+\lambda\Omega(\vec{\imath}_2+\vec{k}_2)

o, separando por componentes,

\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\lambda\Omega\\ y &=& (b/2) \\ z &=& \lambda\Omega\end{array}\right.

4 Aceleración angular

La aceleración angular la obtenemos por la ley de composición correspondiente

\vec{\alpha}_{31}=\vec{\alpha}_{32}+\vec{\alpha}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}

siendo

\vec{\alpha}_{32}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_2)\right|_2=\vec{0}
\qquad\qquad \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_1)\right|_1=\vec{0}

y, por tanto,

\vec{\alpha}_{31}=\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}=\Omega^2\vec{\jmath}_2

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