Tubo con dos cámaras rígidas

Enunciado

Un tubo de sección S está dividido en dos cámaras de longitud L. Las paredes son adiabáticas y la pared central es inamovible y está forrada de aislante térmico. Inicialmente, en la cámara de la izquierda (“1”) hay aire a temperatura $T_{1}=T_{0}$ y presión $p_{0}$ y en la de la derecha (”2”) aire a $T_{2}=3T_{0}$ y la misma presión. Se retira el aislante del tabique central (sin eliminar el tabique).

1. ¿Cuál es la proporción entre las masas de aire de las dos cámaras?
2. ¿Cuál es la temperatura final del aire en cada cámara?
3. ¿Cuánto vale la fuerza sobre la pared central en el estado final?

Proporción entre masas

Para los dos cámaras se cumple la ley de los gases ideales

$pV=mR_{m}T\,$

siendo en este caso iguales en las dos cámaras la constante de los gases (aire en ambas cámaras), la presión a la que se encuentran y el volumen que ocupan. Por tanto, se cumple

$m_{1}T_{1}=m_{2}T_{2}\qquad \Rightarrow \qquad m_{1}T_{0}=m_{2}(3T_{0})\qquad \Rightarrow \qquad m_{1}=3m_{2}$

Temperatura final del aire

Puesto que el sistema completo está aislado térmicamente, no se intercambia calor con el exterior. Puesto que es rígido, tampoco hay trabajo. Por tanto, se conserva la energía interna. Lo que aumente la de uno de las cámaras será igual a lo que disminuya la de la otra.

$\Delta U_{1}+\Delta U_{2}=0\,$

Aplicando esta ecuación

$n_{1}c_{v}(T_{f}-T_{1})+n_{2}c_{v}(T_{f}-T_{2})=0\,$

lo que da

$T_{f}={\frac {n_{1}T_{1}+n_{2}T_{2}}{n_{1}+n_{2}}}$

La proporción entre moles es la misma que entre masas

$n_{1}=3n_{2}\qquad \qquad T_{1}=T_{0}\qquad \qquad T_{2}=3T_{0}$

y queda

$T_{f}={\frac {3n_{2}T_{0}+n_{2}(3T_{0})}{3n_{2}+n_{2}}}={\frac {3}{2}}T_{0}$

También puede llegarse a este resultado sin calcular previamente la proporción entre los números de moles observando que

$C_{1}=n_{1}c_{v}={\frac {p_{1i}V_{0}}{RT_{1}}}\,{\frac {R}{\gamma -1}}={\frac {p_{0}V_{0}}{T_{0}(\gamma -1)}}$

y

$C_{2}=n_{2}c_{v}={\frac {p_{2i}V_{0}}{RT_{2}}}\,{\frac {R}{\gamma -1}}={\frac {p_{0}V_{0}}{3T_{0}(\gamma -1)}}$

Por tanto

$T_{f}={\frac {C_{1}T_{1}+C_{2}T_{2}}{C_{1}+C_{2}}}={\dfrac {{\dfrac {p_{0}V_{0}}{T_{0}(\gamma -1)}}T_{0}+{\dfrac {p_{0}V_{0}}{3T_{0}(\gamma -1)}}3T_{0}}{{\dfrac {p_{0}V_{0}}{T_{0}(\gamma -1)}}+{\dfrac {p_{0}V_{0}}{3T_{0}(\gamma -1)}}}}={\frac {1+1}{{\dfrac {1}{T_{0}}}+{\dfrac {1}{3T_{0}}}}}={\frac {3}{2}}T_{0}$

Fuerza sobre la pared central

En el estado final, la presión de la cámara 1 cumple

${\frac {p_{1f}}{T_{1f}}}={\frac {p_{1i}}{T_{1i}}}\qquad \Rightarrow \qquad p_{1f}={\frac {p_{0}(3T_{0}/2)}{T_{0}}}={\frac {3}{2}}p_{0}$

mientras que la de la cámara 2 verifica

${\frac {p_{2f}}{T_{2f}}}={\frac {p_{2i}}{T_{2i}}}\qquad \Rightarrow \qquad p_{2f}={\frac {p_{0}(3T_{0}/2)}{3T_{0}}}={\frac {1}{2}}p_{0}$

Esto nos da la fuerza de la cámara 1 a la 2

$F=(p_{1}-p_{2})S=\left({\frac {3}{2}}p_{0}-{\frac {1}{2}}p_{0}\right)S=p_{0}S$

Al calentarse el gas de la cámara 1 aumenta su presión, mientras que al enfriarse el gas de la cámara 2 disminuye la suya. Por tanto en el estado final hay una fuerza que va de la cámara 1 (mayor presión) a la 2 (menor presión).

Esta fuerza debe ser resistida por la rigidez de la pared central. Si en lugar de una pared tuviéramos un émbolo, éste se desplazaría hasta que se alcanzara simultáneamente el equilibrio térmico y el mecánico.