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Tres placas conductoras paralelas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Primer caso)
 
(11 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 12: Línea 12:
* La placa central está a 24 V y las otras dos a tierra.
* La placa central está a 24 V y las otras dos a tierra.
* La primera está a −24 V, la central a +24 V y la tercera a tierra.
* La primera está a −24 V, la central a +24 V y la tercera a tierra.
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* La placa central almacena una carga de 4 nC y las dos placas exteriores están conectadas entre sí.
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==Solución general==
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Los tres casos pueden resolverse de una manera general por medio de la construcción de un circuito equivalente. En algunos casos puede hacerse una simplificación adicional mediante asociaciones en serie o paralelo de condensadores.
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Tenemos tres conductores, que identificaremos como “1”, “2” y “3”. En un circuito equivalente, a cada conductor le corresponde un nodo, que etiquetaremos de la misma forma.
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==Introducción==
 
Las tres placas cuadradas forman dos condensadores planos; uno que denotaremos “a” entre la placa 1 y la 2 y otro "b" entre la 2 y la 3. Las capacidades respectivas valen
Las tres placas cuadradas forman dos condensadores planos; uno que denotaremos “a” entre la placa 1 y la 2 y otro "b" entre la 2 y la 3. Las capacidades respectivas valen
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<center><math>C_a = \frac{\varepsilon_0S}{a}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{2\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=1.77\,\mathrm{nF}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_b =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{8\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=0.443\,\mathrm{nF}=\frac{C_1}{4}</math></center>
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<center><math>C_a = \frac{\varepsilon_0S}{a}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{2\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=1.77\,\mathrm{nF}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>C_b =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{8\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=0.443\,\mathrm{nF}=\frac{C_a}{4}</math></center>
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Estos condensadores están situados entre tres nodos (uno por cada placa), de los cuales podemos conocer su carga o su potencial.  
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Estos condensadores están situados entre los tres nodos (uno por cada placa), de los cuales podemos conocer su carga o su potencial.  
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En un condensador plano, la carga en una cara de una placa es proporcional a la diferencia de potencial
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<center>[[Archivo:circuito-equivalente-tres-placas.png|600px]]</center>
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<center><math>Q_1 = C(V_1-V_2)\,</math></center>
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En un condensador plano, la carga en una cara de una placa es proporcional a la diferencia de potencial entre esa placa y la de la placa enfrentada
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<center><math>Q_1 = C(V_1-V_2)\qquad\qquad Q_2 =C(V_2-V_1)=-Q_1 </math></center>
Para la placa central, que forma parte de dos condensadores, su carga total será la suma de la que tiene en sus dos caras.
Para la placa central, que forma parte de dos condensadores, su carga total será la suma de la que tiene en sus dos caras.
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El campo eléctrico que va de la placa 1 a la 2 de un condensador plano
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Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones para las cargas y los potenciales
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<center><math>\begin{array}{rcl}
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Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
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Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
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Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)
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\end{array}</math></center>
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Nótese el orden en que aparecen los potenciales en los paréntesis.
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Esto es un sistema de tres ecuaciones con seis incógnitas (las tres cargas y los tres potenciales). Para completarlo habrá que añadir tres ecuaciones más, que pueden ser tres datos (por ejemplo, los tres voltajes, o dos potenciales y una carga) o combinaciones de ellos (por ejemplo, que dos plcas están al mismo potencial)
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Una vez que se conocen los potenciales, el campo eléctrico que va de la placa 1 a la 2 de un condensador plano vacío es
<center><math>\vec{E}=\frac{V_1-V_2}{a}\,\vec{u}_{12}</math></center>
<center><math>\vec{E}=\frac{V_1-V_2}{a}\,\vec{u}_{12}</math></center>
-
La energía almacenada en cada condensador plano es proporcional al cuadrado de la diferencia de potencial
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La energía de un conjunto de conductores se puede calcular como
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<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2</math></center>
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<center><math>U_e = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3</math></center>
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Esto quiere decir que si el voltaje de las tres placas valen respectivamente <math>V_1</math>, <math>V_2</math> y <math>V_3</math>, las cargas respectivas valen
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Esta misma energía puede calcularse, aplicando que la energía almacenada en cada condensador plano es proporcional al cuadrado de la diferencia de potencial
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<center><math>Q_1 = C_a(V_1-V_2)\qquad\qquad Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)\qquad Q_3 = C_3(V_b-V_a)</math></center>
+
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2</math></center>
siendo la energía total del sistema
siendo la energía total del sistema
Línea 43: Línea 61:
==Primer caso==
==Primer caso==
-
En el primer caso, la placa central está aislada y descargada (<math>Q_2=0</math>). Esto implica que la carga en una de sus caras es igual y de signo opuesto a la de la otra cara, por lo que la carga de los dos condenadores es la misma. Esto equivale a una asociación en serie de dos condensadores, cumpliendo la capacidad equivalente
+
En el primer caso nos dice que la placa central está aislada y descargada
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<center><math>\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}=\left(\frac{1}{1.77}+\frac{1}{0.443}\right)\mathrm{nF}^{-1}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=0.354\,\mathrm{nF}</math></center>
+
<center><math>Q_2=0\,</math></center>
-
Nótese que la capacidad equivalente de una asociación en serie es menor que las dos individuales.
+
la placa 1 está a potencial fijado
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La diferencia de potencial en este condensador equivalente es la existente entre la primera placa y la tercera
+
<center><math>V_1 = V_0 = 24\,\mathrm{V}</math></center>
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<center><math>V_1 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V = 24\,\mathrm{V}</math></center>
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y la 3 está a tierra
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lo cual nos da las cargas en las tres placas
+
<center><math>V_3 = 0\,</math></center>
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<center><math>Q_1 = C_\mathrm{eq}\,\Delta V = 0.354\times 24\,\mathrm{nC}=8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 0\,\mathrm{nC}\qquad Q_3 = -Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}</math></center>
+
Con esto ya tenemos completo el sistema. Sustituyendo estos datos en las relaciones entre cargas y potenciales nos queda
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El voltaje de la placa central lo obtenemos de uno de los condensadores, a partir de la carga que acabamos de calcular
+
<center><math>\begin{array}{rcl}
 +
Q_1 & = & C_a(V_0-V_2) \\
 +
0 & = & C_a(V_2-V_0) + C_bV_2 \\
 +
Q_3 & = & C_b(0-V_2) = -C_bV_2
 +
\end{array}</math></center>
-
<center><math>\overbrace{V_3}^{=0}-V_2 = \frac{Q_3}{C_b}\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = -\frac{-8.50\,\mathrm{nC}}{0.443\,\mathrm{nF}}=19.2\,\mathrm{V}</math></center>
+
De aquí hallamos <math>V_2</math> despejando en la segunda
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<center><math>V_2 = \frac{C_a V_0}{C_a+C_b}</math></center>
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que para nuestro caso concreto es
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<center><math>V_2 = \frac{C_a}{C_a+C_a/4}V_0=\frac{4}{5}V_0 = 19.2\,\mathrm{V}</math></center>
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Una vez que tenemos el potencial de la placa central hallamos las cargas de las placas exteriores
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<center><math>Q_1 = C_a(V_0-V_2) = \frac{C_aC_b}{C_a+C_b}V_0\qquad\qquad Q_3 = -\frac{C_aC_b}{C_a+C_b}V_0</math></center>
 +
 
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con los valores numéricos
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<center><math>Q_1 = 8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3=-8.50\,\mathrm{nC}</math></center>
El campo eléctrico en cada región lo hallamos a partir de cada diferencia de potencial. Si tomamos como eje Z el perpendicular a las placas y en el sentido de la 1 a la 3, queda en el primer condensador
El campo eléctrico en cada región lo hallamos a partir de cada diferencia de potencial. Si tomamos como eje Z el perpendicular a las placas y en el sentido de la 1 a la 3, queda en el primer condensador
Línea 70: Línea 106:
No es casual que el resultado sea el mismo. Dado que la placa central está descargada, la densidad de carga en una cara es igual a la de la otra, cambiada de signo, y por tanto el campo a los dos lados de la placa (que es igual a <math>\sigma_s/\varepsilon_0</math>) debe tener el mismo valor.
No es casual que el resultado sea el mismo. Dado que la placa central está descargada, la densidad de carga en una cara es igual a la de la otra, cambiada de signo, y por tanto el campo a los dos lados de la placa (que es igual a <math>\sigma_s/\varepsilon_0</math>) debe tener el mismo valor.
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La energía del sistema la podemos calcular a partir de las cargas y potenciales de los tres conductores
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<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2 +\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_3}^{=0} = \frac{1}{2}Q_1V_0 = \frac{1}{2}8.50\,\mathrm{nC}\times  24\,\mathrm{V}=0.10\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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o por la suma de la de los condensadores
La energía almacenada la podemos hallar sumando las de los dos condensadores
La energía almacenada la podemos hallar sumando las de los dos condensadores
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<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(24-19.2)^2 + \frac{1}{2}0.443(19.2-0)^2\right)\mathrm{nJ}=0.102\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+
<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(24-19.2)^2 + \frac{1}{2}0.443(19.2-0)^2\right)\mathrm{nJ}=0.10\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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o directamente a partir del condensador equivalente
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===Asociación en serie===
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En el primer caso, la placa central está aislada y descargada (<math>Q_2=0</math>). Esto implica que la carga en una de sus caras es igual y de signo opuesto a la de la otra cara, por lo que la carga de los dos condenadores es la misma.
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<center>[[Archivo:circuito-equivalente-tres-placas-02.png|300px]]</center>
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Esto equivale a una asociación en serie de dos condensadores, cumpliendo la capacidad equivalente
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<center><math>\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}=\left(\frac{1}{1.77}+\frac{1}{0.443}\right)\mathrm{nF}^{-1}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=0.354\,\mathrm{nF}</math></center>
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Nótese que la capacidad equivalente de una asociación en serie es menor que las dos individuales.
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La diferencia de potencial en este condensador equivalente es la existente entre la primera placa y la tercera
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<center><math>V_1 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V = 24\,\mathrm{V}</math></center>
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lo cual nos da las cargas en las tres placas
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<center><math>Q_1 = C_\mathrm{eq}\,\Delta V = 0.354\times 24\,\mathrm{nC}=8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 0\,\mathrm{nC}\qquad Q_3 = -Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}</math></center>
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El voltaje de la placa central lo obtenemos de uno de los condensadores, a partir de la carga que acabamos de calcular
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<center><math>\overbrace{V_3}^{=0}-V_2 = \frac{Q_3}{C_b}\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = -\frac{-8.50\,\mathrm{nC}}{0.443\,\mathrm{nF}}=19.2\,\mathrm{V}</math></center>
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El uso del condensador equivalente nos permite hallar la energía de manera directa
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{e}(V_1-V_3)^2=0.102\,\mu\mathrm{J}</math></center>
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{e}(V_1-V_3)^2=0.102\,\mu\mathrm{J}</math></center>
Línea 82: Línea 147:
En el segundo caso, se nos dice que los voltajes de cada una de las placas valen
En el segundo caso, se nos dice que los voltajes de cada una de las placas valen
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<center><math>V_1 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}</math></center>
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<center><math>V_1 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = V_0 =24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}</math></center>
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Llevando esto al sistema de ecuaciones, el cálculo de las cargas es inmediato
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<center><math>\begin{array}{rcl}
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Q_1 & = & C_a(0-V_0) =-C_aV_0 \\
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Q_2 & = & C_aV_0 + C_bV_0 = (C_a+C_b)V_0 \\
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Q_3 & = & -C_bV_0
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\end{array}</math></center>
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con valores numéricos
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<center><math>Q_1 = -4.25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 5.31\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -1.06\,\mathrm{nC}</math></center>
 +
 
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El campo entre las placas es ahora diferente en cada condensador
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<center>
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<math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-120\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
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La energía acumulada se puede hallar a partir de las cargas y potenciales
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<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1\overbrace{V_1}^{=0}+\frac{1}{2}Q_2V_2 +\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_3}^{=0} = \frac{1}{2}Q_2V_0 = \frac{1}{2}8.50\,\mathrm{nC} 24\,\mathrm{V}=0.638\,\mu\mathrm{J}</math></center>
 +
 
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sumando la de cada condensador o a partir de la capacidad equivalente
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<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}\,\Delta V^2 = \frac{1}{2}2.21\times 24^2\,\mathrm{nJ}=0.638\,\mu\mathrm{J}</math></center>
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===Asociación en paralelo===
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Alternativamente, los dos condensadores tienen uno de sus nodos al mismo potencial, el de la placa central y el otro a tierra.
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<center>[[Archivo:circuito-equivalente-tres-placas-03.png|300px]]</center>
-
Los dos condensadores tienen uno de sus nodos al mismo potencial, el de la placa central y el otro a tierra. Por tanto los dos condensadores se encuentran en paralelo, siendo equivalentes a un solo condensador de capacidad
+
Por tanto los dos condensadores se encuentran en paralelo, siendo equivalentes a un solo condensador de capacidad
<center><math>C_\mathrm{eq}=C_a+C_b = 2.21\,\mathrm{nF}</math></center>
<center><math>C_\mathrm{eq}=C_a+C_b = 2.21\,\mathrm{nF}</math></center>
Línea 100: Línea 194:
<center><math>Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3) = (C_a+C_b)V_2=+5.31\,\mathrm{nC}</math></center>
<center><math>Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3) = (C_a+C_b)V_2=+5.31\,\mathrm{nC}</math></center>
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El campo entre las placas es ahora diferente en cada condensador
+
==Tercer caso==
 +
En el último caso, la placa central no está aislada y descargada. Tampoco la diferencia de potencial es la misma en los dos condensadores. Por tanto, éstos no están ni en serie ni en paralelo, por lo que deben ser tratados separadamente.
 +
 
 +
<center><math>V_1 = -V_0=-24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = V_0= 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}</math></center>
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Llevando esto al sistema de ecuaciones, el cálculo de las cargas es inmediato
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<center><math>\begin{array}{rcl}
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Q_1 & = & C_a(-V_0-V_0) =-2C_aV_0 \\
 +
Q_2 & = & C_a(V_0-(-V_0)) + C_bV_0 = (2C_a+C_b)V_0 \\
 +
Q_3 & = & -C_bV_0
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\end{array}</math></center>
 +
 
 +
con los valores
 +
 
 +
<center><math>Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 9.56\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -1.06\,\mathrm{nC}</math></center>
 +
 
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El campo entre las placas es ahora
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<center>
<center>
-
<math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-120\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
+
<math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-240\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
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La energía acumulada se puede hallar sumando la de cada condensador o a partir de la capacidad equivalente
+
y la energía almacenada
-
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}\,\Delta V^2 = \frac{1}{2}2.21\times 24^2\,\mathrm{nJ}=0.638\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+
<center><math>U_e =\frac{1}{2}Q_1V_1 +\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_2}^{=0}=-\frac{1}{2}Q_1V_0+\frac{1}{2}Q_2V_0 = 2.17\,\mu\mathrm{J}</math></center>
-
==Tercer caso==
+
Empleando los condensadores,
-
En el último caso, la placa central no está aislada y descargada. Tampoco la diferencia de potencial ees la misma en los dos condensadores. Por tanto, éstos no están ni en serie ni en paralelo, por lo que deben ser tratados separadamente.
+
 
 +
<center>[[Archivo:circuito-equivalente-tres-placas-04.png|300px]]</center>
-
Tenemos que los voltajes en cada placa valen
+
tenemos que los voltajes en cada placa valen
<center><math>V_1 = -24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}</math></center>
<center><math>V_1 = -24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}</math></center>
-
La carga en cada una de las placas valen ahora
+
Las carga en cada una de las placas valen ahora
<center><math>Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(-24-24)\,\mathrm{nC}=-8.50\,\mathrm{nC}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}</math></center>
<center><math>Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(-24-24)\,\mathrm{nC}=-8.50\,\mathrm{nC}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}</math></center>
Línea 123: Línea 236:
<center><math>Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)=+9.56\,\mathrm{nC}</math></center>
<center><math>Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)=+9.56\,\mathrm{nC}</math></center>
-
El campo entre las placas es ahora
+
siendo al energía calculada a partir de los condensadores
 +
 
 +
<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(-24-24)^2 + \frac{1}{2}0.443(24-0)^2\right)\mathrm{nJ}=2.17\,\mu\mathrm{J}</math></center>
 +
 
 +
==Cuarto caso==
 +
Por último, nos dan la carga de la placa central
 +
 
 +
<center><math>Q_2 = Q_0=4\,\mathrm{nC}</math></center>
 +
 
 +
y nos dicen que las dos placas exteriores están conectadas entre
 +
 
 +
<center><math>V_1 = V_3\,</math></center>
 +
 
 +
Dado que solo nos dan dos ecuaciones adicionales, nos queda un sistema de 5 ecuaciones con 6 incógnitas. Por tanto, no vamos a poder determinar todas las variables.
 +
 
 +
No obstante, veremos que se puede resolver la mayor parte del problema. Sustituyendo en las ecuaciones que ligan las cargas y los potenciales queda
 +
 
 +
<center><math>\begin{array}{rcl}
 +
Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
 +
Q_0 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_1) =(C_a+C_b)(V_2-V_1)\\
 +
Q_3 & = & C_b(V_1-V_2)
 +
\end{array}</math></center>
 +
 
 +
Vemos que no se puede determinar el potencial de cada placa, pero sí las diferencias de potencial entre ellas
 +
 
 +
<center><math>V_2-V_1 = V_2-V_3 =  \frac{Q_0}{C_a+C_b}=1.81\,\mathrm{V}</math></center>
 +
 
 +
y esto nos da las cargas en las placas exteriores
 +
 
 +
<center><math>Q_1 = C_a(V_1-V_2) = -\frac{C_a}{C_a+C_b}Q_0 = -3.2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -\frac{C_b}{C_a+C_b}Q_0=-0.8\,\mathrm{nC}</math></center>
 +
 
 +
los campos eléctricos en las dos regiones
<center>
<center>
-
<math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-240\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
+
<math>\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-9.04\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+2.26\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}</math></center>
y la energía almacenada
y la energía almacenada
-
<center><math>U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(-24-24)^2 + \frac{1}{2}0.443(24-0)^2\right)\mathrm{nJ}=2.17\,\mu\mathrm{J}</math></center>
+
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_2-V_3)^2 = \frac{1}{2}(C_a+C_b)(V_1-V_2)^2 = \frac{Q_0^2}{2(C_a+C_b)}=3.62\,\mathrm{nJ}</math></center>
 +
En realidad, este sistema es similar al del segundo apartado, ya que los dos condensadores están en paralelo. La diferencia es que aquí lo que nos dan es la carga del condensador equivalente. De esta podemos hallar la d.d.p. pero no el potencial en sí. No obstante, para el cálculo del campo eléctrico (y de la energía, que se deduce de éste) basta con la diferencia de potencial, ya que el origen de potencial no influye.
[[Categoría:Problemas de electrostática en medios materiales (GIE)]]
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última version al 11:56 22 ago 2019

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1 Enunciado

Se colocan paralelamente tres placas metálicas cuadradas de 20 cm de lado y espesor despreciable, estando la primera separada de la segunda una distancia de 0.2 mm y ésta de la tercera 0.8 mm. Halle:

  1. La carga almacenada en cada placa.
  2. El potencial al que se encuentra cada una.
  3. El campo eléctrico entre las placas.
  4. La energía almacenada en el sistema.

para los siguientes casos:

  • La placa central está aislada y descargada, la primera a 24 V y la tercera a tierra.
  • La placa central está a 24 V y las otras dos a tierra.
  • La primera está a −24 V, la central a +24 V y la tercera a tierra.
  • La placa central almacena una carga de 4 nC y las dos placas exteriores están conectadas entre sí.

2 Solución general

Los tres casos pueden resolverse de una manera general por medio de la construcción de un circuito equivalente. En algunos casos puede hacerse una simplificación adicional mediante asociaciones en serie o paralelo de condensadores.

Tenemos tres conductores, que identificaremos como “1”, “2” y “3”. En un circuito equivalente, a cada conductor le corresponde un nodo, que etiquetaremos de la misma forma.

Las tres placas cuadradas forman dos condensadores planos; uno que denotaremos “a” entre la placa 1 y la 2 y otro "b" entre la 2 y la 3. Las capacidades respectivas valen

C_a = \frac{\varepsilon_0S}{a}=\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{2\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=1.77\,\mathrm{nF}        C_b =\frac{8.85\times 10^{-12}\times 0.20^2}{8\times 10^{-4}}\,\mathrm{F}=0.443\,\mathrm{nF}=\frac{C_a}{4}

Estos condensadores están situados entre los tres nodos (uno por cada placa), de los cuales podemos conocer su carga o su potencial.

En un condensador plano, la carga en una cara de una placa es proporcional a la diferencia de potencial entre esa placa y la de la placa enfrentada

Q_1 = C(V_1-V_2)\qquad\qquad Q_2 =C(V_2-V_1)=-Q_1

Para la placa central, que forma parte de dos condensadores, su carga total será la suma de la que tiene en sus dos caras.

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones para las cargas y los potenciales

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)
\end{array}

Nótese el orden en que aparecen los potenciales en los paréntesis.

Esto es un sistema de tres ecuaciones con seis incógnitas (las tres cargas y los tres potenciales). Para completarlo habrá que añadir tres ecuaciones más, que pueden ser tres datos (por ejemplo, los tres voltajes, o dos potenciales y una carga) o combinaciones de ellos (por ejemplo, que dos plcas están al mismo potencial)

Una vez que se conocen los potenciales, el campo eléctrico que va de la placa 1 a la 2 de un condensador plano vacío es

\vec{E}=\frac{V_1-V_2}{a}\,\vec{u}_{12}

La energía de un conjunto de conductores se puede calcular como

U_e = \frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3V_3

Esta misma energía puede calcularse, aplicando que la energía almacenada en cada condensador plano es proporcional al cuadrado de la diferencia de potencial

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C(V_1-V_2)^2

siendo la energía total del sistema

U_e = \frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_2-V_3)^2

3 Primer caso

En el primer caso nos dice que la placa central está aislada y descargada

Q_2=0\,

la placa 1 está a potencial fijado

V_1 = V_0 = 24\,\mathrm{V}

y la 3 está a tierra

V_3 = 0\,

Con esto ya tenemos completo el sistema. Sustituyendo estos datos en las relaciones entre cargas y potenciales nos queda

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(V_0-V_2) \\
0 & = & C_a(V_2-V_0) + C_bV_2 \\
Q_3 & = & C_b(0-V_2) = -C_bV_2
\end{array}

De aquí hallamos V2 despejando en la segunda

V_2 = \frac{C_a V_0}{C_a+C_b}

que para nuestro caso concreto es

V_2 = \frac{C_a}{C_a+C_a/4}V_0=\frac{4}{5}V_0 = 19.2\,\mathrm{V}

Una vez que tenemos el potencial de la placa central hallamos las cargas de las placas exteriores

Q_1 = C_a(V_0-V_2) = \frac{C_aC_b}{C_a+C_b}V_0\qquad\qquad Q_3 = -\frac{C_aC_b}{C_a+C_b}V_0

con los valores numéricos

Q_1 = 8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3=-8.50\,\mathrm{nC}

El campo eléctrico en cada región lo hallamos a partir de cada diferencia de potencial. Si tomamos como eje Z el perpendicular a las placas y en el sentido de la 1 a la 3, queda en el primer condensador

\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=\frac{(24.0-19.2)}{2\times 10^{-4}}\vec{k}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=24.0\,\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

y en el segundo

\vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=\frac{(19.2-0.0)}{8\times 10^{-4}}\vec{k}\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}=24.0\,\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

No es casual que el resultado sea el mismo. Dado que la placa central está descargada, la densidad de carga en una cara es igual a la de la otra, cambiada de signo, y por tanto el campo a los dos lados de la placa (que es igual a \sigma_s/\varepsilon_0) debe tener el mismo valor.

La energía del sistema la podemos calcular a partir de las cargas y potenciales de los tres conductores

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}\overbrace{Q_2}^{=0}V_2 +\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_3}^{=0} = \frac{1}{2}Q_1V_0 = \frac{1}{2}8.50\,\mathrm{nC}\times  24\,\mathrm{V}=0.10\,\mu\mathrm{J}

o por la suma de la de los condensadores

La energía almacenada la podemos hallar sumando las de los dos condensadores

U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(24-19.2)^2 + \frac{1}{2}0.443(19.2-0)^2\right)\mathrm{nJ}=0.10\,\mu\mathrm{J}

3.1 Asociación en serie

En el primer caso, la placa central está aislada y descargada (Q2 = 0). Esto implica que la carga en una de sus caras es igual y de signo opuesto a la de la otra cara, por lo que la carga de los dos condenadores es la misma.

Esto equivale a una asociación en serie de dos condensadores, cumpliendo la capacidad equivalente

\frac{1}{C_\mathrm{eq}}=\frac{1}{C_a}+\frac{1}{C_b}=\left(\frac{1}{1.77}+\frac{1}{0.443}\right)\mathrm{nF}^{-1}\qquad\Rightarrow\qquad C_\mathrm{eq}=0.354\,\mathrm{nF}

Nótese que la capacidad equivalente de una asociación en serie es menor que las dos individuales.

La diferencia de potencial en este condensador equivalente es la existente entre la primera placa y la tercera

V_1 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad \Delta V = 24\,\mathrm{V}

lo cual nos da las cargas en las tres placas

Q_1 = C_\mathrm{eq}\,\Delta V = 0.354\times 24\,\mathrm{nC}=8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 0\,\mathrm{nC}\qquad Q_3 = -Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}

El voltaje de la placa central lo obtenemos de uno de los condensadores, a partir de la carga que acabamos de calcular

\overbrace{V_3}^{=0}-V_2 = \frac{Q_3}{C_b}\qquad\Rightarrow\qquad V_2 = -\frac{-8.50\,\mathrm{nC}}{0.443\,\mathrm{nF}}=19.2\,\mathrm{V}

El uso del condensador equivalente nos permite hallar la energía de manera directa

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{e}(V_1-V_3)^2=0.102\,\mu\mathrm{J}

4 Segundo caso

En el segundo caso, se nos dice que los voltajes de cada una de las placas valen

V_1 = 0\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = V_0 =24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}

Llevando esto al sistema de ecuaciones, el cálculo de las cargas es inmediato

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(0-V_0) =-C_aV_0 \\
Q_2 & = & C_aV_0 + C_bV_0 = (C_a+C_b)V_0 \\
Q_3 & = & -C_bV_0
\end{array}

con valores numéricos

Q_1 = -4.25\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 5.31\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -1.06\,\mathrm{nC}

El campo entre las placas es ahora diferente en cada condensador

\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-120\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}        \vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

La energía acumulada se puede hallar a partir de las cargas y potenciales

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1\overbrace{V_1}^{=0}+\frac{1}{2}Q_2V_2 +\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_3}^{=0} = \frac{1}{2}Q_2V_0 = \frac{1}{2}8.50\,\mathrm{nC} 24\,\mathrm{V}=0.638\,\mu\mathrm{J}

sumando la de cada condensador o a partir de la capacidad equivalente

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_\mathrm{eq}\,\Delta V^2 = \frac{1}{2}2.21\times 24^2\,\mathrm{nJ}=0.638\,\mu\mathrm{J}

4.1 Asociación en paralelo

Alternativamente, los dos condensadores tienen uno de sus nodos al mismo potencial, el de la placa central y el otro a tierra.

Por tanto los dos condensadores se encuentran en paralelo, siendo equivalentes a un solo condensador de capacidad

C_\mathrm{eq}=C_a+C_b = 2.21\,\mathrm{nF}

La carga de cada placa la da la diferencia de potencial en cada condensador: para la placa 1

Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(0-24)\,\mathrm{nC}=-4.25\,\mathrm{nC}

Para la 3

Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}

y para la placa central

Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3) = (C_a+C_b)V_2=+5.31\,\mathrm{nC}

5 Tercer caso

En el último caso, la placa central no está aislada y descargada. Tampoco la diferencia de potencial es la misma en los dos condensadores. Por tanto, éstos no están ni en serie ni en paralelo, por lo que deben ser tratados separadamente.

V_1 = -V_0=-24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = V_0= 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}

Llevando esto al sistema de ecuaciones, el cálculo de las cargas es inmediato

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(-V_0-V_0) =-2C_aV_0 \\
Q_2 & = & C_a(V_0-(-V_0)) + C_bV_0 = (2C_a+C_b)V_0 \\
Q_3 & = & -C_bV_0
\end{array}

con los valores

Q_1 = -8.50\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_2 = 9.56\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -1.06\,\mathrm{nC}

El campo entre las placas es ahora

\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-240\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}        \vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+30\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

y la energía almacenada

U_e =\frac{1}{2}Q_1V_1 +\frac{1}{2}Q_2V_2+\frac{1}{2}Q_3\overbrace{V_2}^{=0}=-\frac{1}{2}Q_1V_0+\frac{1}{2}Q_2V_0 = 2.17\,\mu\mathrm{J}

Empleando los condensadores,

tenemos que los voltajes en cada placa valen

V_1 = -24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_2 = 24\,\mathrm{V}\qquad\qquad V_3 = 0\,\mathrm{V}

Las carga en cada una de las placas valen ahora

Q_1 = C_a(V_1-V_2) = 1.77(-24-24)\,\mathrm{nC}=-8.50\,\mathrm{nC}        Q_3 = C_b(V_3-V_2) = 0.443(0-24)\,\mathrm{nC}=-1.06\,\mathrm{nC}

y en la placa central

Q_2 = C_a(V_2-V_1)+C_b(V_2-V_3)=+9.56\,\mathrm{nC}

siendo al energía calculada a partir de los condensadores

U_\mathrm{e}=\left(\frac{1}{2}1.77(-24-24)^2 + \frac{1}{2}0.443(24-0)^2\right)\mathrm{nJ}=2.17\,\mu\mathrm{J}

6 Cuarto caso

Por último, nos dan la carga de la placa central

Q_2 = Q_0=4\,\mathrm{nC}

y nos dicen que las dos placas exteriores están conectadas entre sí

V_1 = V_3\,

Dado que solo nos dan dos ecuaciones adicionales, nos queda un sistema de 5 ecuaciones con 6 incógnitas. Por tanto, no vamos a poder determinar todas las variables.

No obstante, veremos que se puede resolver la mayor parte del problema. Sustituyendo en las ecuaciones que ligan las cargas y los potenciales queda

\begin{array}{rcl}
Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
Q_0 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_1) =(C_a+C_b)(V_2-V_1)\\
Q_3 & = & C_b(V_1-V_2)
\end{array}

Vemos que no se puede determinar el potencial de cada placa, pero sí las diferencias de potencial entre ellas

V_2-V_1 = V_2-V_3 =  \frac{Q_0}{C_a+C_b}=1.81\,\mathrm{V}

y esto nos da las cargas en las placas exteriores

Q_1 = C_a(V_1-V_2) = -\frac{C_a}{C_a+C_b}Q_0 = -3.2\,\mathrm{nC}\qquad\qquad Q_3 = -\frac{C_b}{C_a+C_b}Q_0=-0.8\,\mathrm{nC}

los campos eléctricos en las dos regiones

\vec{E}_a=\frac{V_1-V_2}{a}\vec{k}=-9.04\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}        \vec{E}_b=\frac{V_2-V_3}{b}\vec{k}=+2.26\vec{k}\,\frac{\mathrm{kV}}{\mathrm{m}}

y la energía almacenada

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}C_a(V_1-V_2)^2+\frac{1}{2}C_b(V_2-V_3)^2 = \frac{1}{2}(C_a+C_b)(V_1-V_2)^2 = \frac{Q_0^2}{2(C_a+C_b)}=3.62\,\mathrm{nJ}

En realidad, este sistema es similar al del segundo apartado, ya que los dos condensadores están en paralelo. La diferencia es que aquí lo que nos dan es la carga del condensador equivalente. De esta podemos hallar la d.d.p. pero no el potencial en sí. No obstante, para el cálculo del campo eléctrico (y de la energía, que se deduce de éste) basta con la diferencia de potencial, ya que el origen de potencial no influye.

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