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Transformación delta-estrella

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Caso de una configuración en delta)
(Caso de una configuración en estrella)
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\end{array}
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==Circuito de cinco resistencias==
==Circuito de cinco resistencias==

Revisión de 00:37 6 may 2022

Contenido

1 Enunciado

Como en el caso de los condensadores existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

      
  1. Demuestre que, dadas las resistencias R1, R2 y R3, las valores de R12, R13 y R23 son
R_{12}=\frac{P}{R_3}\qquad\qquad R_{13}=\frac{P}{R_2}\qquad\qquad R_{23}=\frac{P}{R_1}
donde
P = R1R2 + R1R3 + R2R3
  1. Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, R12, R13 y R23, las resistencias de la estrella, R1, R2 y R3. vienen dadas por
R_1=\frac{R_{12} R_{13}}{S}\qquad\qquad R_2=\frac{R_{12} R_{23}}{S}\qquad\qquad R_3=\frac{R_{13} R_{33}}{S}
donde
S = R12 + R13 + R23
  1. Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen R_{12}=100\,\Omega, R_{13}=400\,\Omega, R_{23}=500\,\Omega.
  2. Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual R_1=30\,\Omega, R_2=20\,\Omega y R_3=12\,\Omega.
  3. Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistencias de la figura.
  1. Para los apartados (3) y (3), suponga que V_1=10\,\mathrm{V}, V_2=5\,\mathrm{V}, V_3=0\,\mathrm{V}. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.

2 Introducción

La transformación delta-estrella (Δ-Y) es una técnica que puede emplearseen teoría de circuitos para transformar sistemas de resistencias (y otros dispositivos) en circuitos equivalentes que pueden ser más fáciles de analizar.

Esta transformación también se conoce como &\Pi-T, ya que los dos circuitos equivalentes pueden dibujarse de la siguiente forma:

      

Los dos primeros apartados de este problema son puramente teóricos, para demostrar las relaciones. El resto son aplicaciones prácticas de estas.

3 Paso de la estrella a la delta

Puesto que los dos circuitos son equivalentes, deben comportarse exactamente igual sean cuales sean los voltajes aplicados. Es decir, si suponemos voltajes V1, V2 y V3 cualesquiera en los nodos, las intensidades de corriente que entran por cada uno deben ser las mismas en los dos circuitos. Comparando las expresiones resultantes en cada uno podemos hallar las resistencias que hacen equivalentes ambas configuraciones.

Suponemos entonces un voltaje V1 en el nodo 1 y análogamente en los otros dos.

En la configuración en delta tenemos corrientes en cada rama debidas a la diferencia de potencial entre cada par de nodos. La intensidad total que entra por cada nodo es la suma de las de las dos ramas que parten de él.

I_1=I_{12}+I_{13}=\frac{V_1-V_2}{R_{12}}+\frac{V_1-V_3}{R_{13}}

De la misma manera se halla la intensidad de corriente que entra por los otros dos nodos.

En el caso de la estrella, la intensidad de corriente que entra por el nodo 1 la da la d.d.p. entre este nodo y el nodo central. Para hallar esta diferencia de potencial necesitamos calcular el voltaje V0 al que se encuentra este nodo. Lo hacemos mediante la primera ley de Kirchhoff

I_1+I_2+I_3=0\qquad\Rightarrow\qquad \frac{V_1-V_0}{R_1}+\frac{V_3-V_0}{R_2}+\frac{V_3-V_0}{R_3}=0

Esta es una ecuación de primer grado en V_0, con solución

V_0=\dfrac{\dfrac{V_1}{R_1}+\dfrac{V_2}{R_2}+\dfrac{V_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}}

Podemos sumar las fracciones. Observamos que

\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}=\frac{R_2R_3+R_1R_3+R_1R_2}{R_1R_2R_3}=\frac{P}{R_1R_2R_3}

donde llamamos P a la suma de los productos de dos resistencias. Por tanto,

V_0=\frac{V_1 R_2R_3 + V_2 R_1 R_3+ V_3 R_1 R_2}{P}

La corriente que entra por el nodo 1 es, según esto,

I_1=\frac{V_1-V_0}{R_1}=\frac{1}{R_1}\left(V_1-\frac{V_1 R_2R_3 + V_2 R_1 R_3+ V_3 R_1 R_2}{R_2R_3 + R_1 R_3+ R_1 R_2}\right)=\frac{(V_1-V_2)R_3}{P}+\frac{(V_1-V_3)R_2}{P}

Puesto que esta intensidad debe ser la misma que en la delta, deben cumplirse las igualdades

\frac{1}{R_{12}}=\frac{R_3}{P}\qquad\qquad \frac{1}{R_{13}}=\frac{R_2}{P}

y, dándoles la vuelta

R_{12}=\frac{P}{R_3}\qquad\qquad R_{13}=\frac{P}{R_2}\qquad\qquad R_{23}=\frac{P}{R_1}

4 Paso de la delta a la estrella

Se trata hora de invertir las relaciones anteriores. Al no ser relaciones triviales, no es trivial esta inversión. No obstante, dado que el enunciado contiene el resultado que buscamos, podemos ir buscando éste directamente.

Si sumamos las tres relaciones anteriores queda

S = R_{23}+R_{13}+R_{12}=P\left(\dfrac{1}{R_1}+\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{1}{R_3}\right)=\frac{P^2}{R_1R_2R_3}

Si ahora multiplicamos dos de las resistencias de la delta

R_{12}R_{13}=\frac{P^2}{R_3R_2}=R_1 S\qquad\Rightarrow\qquad R_1 = \frac{R_{12}R_{13}}{S}

y de la misma manera para las otras dos

R_1=\frac{R_{12} R_{13}}{S}\qquad\qquad R_2=\frac{R_{12} R_{23}}{S}\qquad\qquad R_3=\frac{R_{13} R_{33}}{S}

5 Caso de una configuración en delta

Como ejemplo concreto tenemos una delta en la que R_{12}=100\,\Omega, R_{13}=400\,\Omega, R_{23}=500\,\Omega.

Calculamos en primer lugar la suma S

S=R_{12}+R_{13}+R_{23}=1000\,\Omega

Las resistencias de las estrella valen entonces

\begin{array}{rcl}
R_1&=&\dfrac{R_{12}R_{13}}{S}=\dfrac{100\times 400}{1000}\,\Omega=40\,\Omega \\
&& \\
R_2&=&\dfrac{R_{12}R_{23}}{S}=\dfrac{100\times 500}{1000}\,\Omega=50\,\Omega \\
&& \\
R_3&=&\dfrac{R_{13}R_{23}}{S}=\dfrac{400\times 500}{1000}\,\Omega=200\,\Omega 
\end{array}
      

6 Caso de una configuración en estrella

De manera similar hallamos la delta correspondiente a la estrella de resistencias R_1=30\,\Omega, R_2=20\,\Omega y R_3=12\,\Omega. Hallamos primero la suma de los productos

P=R_1R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = (30\times 20+30\times 12+ 20\times 12)\,\Omega^2 = 1200\,\Omega^2

y luego calculamos las resistencias de la delta


\begin{array}{rcl}
R_{12}&=&\dfrac{P}{R_3}=\dfrac{1200}{12}\,\Omega = 100\,\Omega \\
&& \\
R_{13}&=&\dfrac{P}{R_2}=\dfrac{1200}{20}\,\Omega = 60\,\Omega \\
&& \\
R_{23}&=&\dfrac{P}{R_1}=\dfrac{1200}{30}\,\Omega = 40\,\Omega \\
\end{array}
      

7 Circuito de cinco resistencias

En el circuito de cinco resistencias la resistencia equivalente no se puede calcular mediante asociaciones en serie y en paralelo, ya que en este sistema no hay ninguna asociación de este tipo. Puede hallarse aplicando las leyes de Kirchhoff, pero también mediante la transformación Δ-Y.

Puede que a la primera no se vea que la malla de la izquierda (y la de la derecha) es un triángulo. Probablmente se vea más claro si dibujamos el circuito en la forma

o bien, en vez de denominar esta malla como una Δ, decimos que es una configuración en Π (recordemos que la transformación Δ-Y es lo mismo que la transformación Π-T).

La utilidad de realizar esta transformación es que el circuito equivalente sí se compone de resistencias en serie y en paralelo, por lo que se puede aplicar las reglas correspondientes.

Para hallar la estrella equivalente a la malla de la izquierda calculamos primero la suma

S=R_{12}+R_{13}+R_{23}=(30+30+50)\,\Omega=100\,\Omega

Las resistencias de las estrella valen entonces

\begin{array}{rcl}
R_1&=&\dfrac{R_{12}R_{13}}{S}=\dfrac{30\times 50}{100}\,\Omega=15\,\Omega \\
&& \\
R_2&=&\dfrac{R_{12}R_{23}}{S}=\dfrac{30\times 20}{100}\,\Omega=6\,\Omega \\
&& \\
R_3&=&\dfrac{R_{13}R_{23}}{S}=\dfrac{50\times 20}{100}\,\Omega=10\,\Omega 
\end{array}

Por tanto, el circuito equivale al siguiente:

Las resistencias de la rama superior e inferior valen

R_\mathrm{sup}=\left(6+24\right)\,\Omega=30\,\Omega\qquad\qquad  R_\mathrm{inf}=\left(10+10\right)\,\Omega=20\,\Omega

La resistencia equivalente al conjunto completo es, entonces,

R_\mathrm{eq}=R_1 + \frac{R_{sup}R_{inf}}{R_{sup}+R_{inf}}=15+\frac{30\times 20}{30+20}=27\,Omega

No es la única manera de aplicar aquí esta transformación. En lugar de la malla de la izquierda se puede aplicar a la de la derecha. También podemos observar que en los nodos tenemos sendas estrellas (o T's) que se pueden transformar en las deltas correspondientes. El circuito equivalente también se reduce a asociaciones en serie y en paralelo.

8 Potencia disipada por efecto Joule

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