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Puntos medios de un cuadrilátero

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
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Línea 31: Línea 31:
y el polígono PQRS es un paralelogramo.
y el polígono PQRS es un paralelogramo.
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Obsérvese que el razonamiento es válido incluso si ABCD no son puntos coplanarios, es decir, que ese cuadrilátero puede estar doblado en el “espacio”, por así decirlo.
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Obsérvese que el razonamiento es válido incluso si ABCD no son puntos coplanarios, es decir, que ese cuadrilátero puede estar “doblado en el espacio”, por así decirlo.

última version al 08:11 29 sep 2022

1 Enunciado

Sea un cuadrilátero ABCD arbitrario. Demuestre que el cuadrilátero que une los puntos medios de los lados de ABCD es un paralelogramo.

2 Solución

Este es un resultado clásico conocido como teorema de Varignon y puede demostrarse de múltiples maneras.Empleando álgebra vectorial sería de la siguiente forma. En primer lugar, observemos que un cuadrilátero PQRS es un paralelogramo si y solo sí

\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}

Con esta igualdad ya tenemos dos lados paralelos y de la misma longitud. De ella se deduce también que los otros dos lados son paralelos y de la misma longitud

\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QS}+\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{QS}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PS}

Veamos ahora el caso de un cuadrilátero general ABCD. Si consideramos sus posiciones respecto a un punto O, las posiciones de los puntos medios de los lados son

\overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\qquad\qquad
\overrightarrow{OQ}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}\qquad\qquad
\overrightarrow{OR}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}\qquad\qquad
\overrightarrow{OS}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}

El vector de posición relativa entre dos puntos medios consecutivos

\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}\right)-
\left(\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}\right)=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\frac{\overrightarrow{AC}}{2}

Si hacemos lo mismo con los puntos S y R queda

\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OS}=\left(\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}\right)-
\left(\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}\right)=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\frac{\overrightarrow{AC}}{2}

Por tanto, tenemos que

\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}

y el polígono PQRS es un paralelogramo.

Obsérvese que el razonamiento es válido incluso si ABCD no son puntos coplanarios, es decir, que ese cuadrilátero puede estar “doblado en el espacio”, por así decirlo.

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