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Producto por el vector normal al plano (GIOI)

De Laplace

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Antonio (Discusión | contribuciones)
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1 Enunciado

Sea \vec{F} un vector del plano OXY. ¿Cuál es el módulo, dirección y sentido del vector \vec{k}\times\vec{F}? ¿Y el del vector \vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{F})?

2 Solución

El vector \vec{F} se puede escribir de la forma

\vec{F}=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}

de manera que el producto vectorial \vec{k}\times\vec{F} es igual a

\vec{k}\times\vec{F}=F_x(\vec{k}\times\vec{\imath})+F_y(\vec{k}\times\vec{\jmath})=F_x\vec{\jmath}+F_y(-\vec{\imath})=-F_y\vec{\imath}+F_x\vec{\jmath}

Ahora bien, ¿para adónde apunta este vector? ¿Cuál su módulo?

El módulo de \vec{k}\times\vec{F} es igual al de \vec{F}

\left|\vec{k}\times\vec{F}\right| = \left|\vec{k}\right|\,\left|\vec{F}\right|\,\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)=\left|\vec{F}\right|

El producto vectorial \vec{k}\times\vec{F} es ortogonal al vector \vec{k} y, por tanto, estará también contenido en el plano OXY. Dado que también es ortogonal a \vec{F} debe estar en la recta del plano OXY perpendicular a \vec{F}. El sentido lo da la regla de la mano derecha. El resultado es que el producto \vec{k}\times\vec{F} es una rotación de +90° de \vec{F}.

De la misma manera, el doble producto vectorial \vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{F}) es un giro de +90° respecto de \vec{k}\times\vec{F}, es decir, es un giro de +180° de \vec{F} o, lo que es lo mismo, es el vector opuesto a \vec{F}

\vec{k}\times(\vec{k}\times\vec{F})=\overbrace{(\vec{k}\cdot\vec{F})}^{=0}\vec{k}-\overbrace{(\vec{k}\cdot\vec{k})}^{=1}\vec{F}=-\vec{F}

Más en general, si queremos girar en el plano OXY un vector \vec{F} un cierto ángulo θ que no sea recto, ¿cuál sería la expresión? Es fácil ver que este vector girado \vec{G} es igual a

\vec{G}=\cos(\theta)\vec{F}+\,\mathrm{sen}(\theta)(\vec{k}\times\vec{F})

El producto vectorial por el vector normal es equivalente al producto por la unidad imaginaria en el plano complejo.

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