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Problemas de inducción electromagnética (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Circuito con dos resistencias, un condensador y un solenoide)
(Circuito con resistencias, condensador y bobina)
Línea 170: Línea 170:
[[Máquina eléctrica lineal|Solución]]
[[Máquina eléctrica lineal|Solución]]
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=Problemas adicionales=
==Circuito con resistencias, condensador y bobina==
==Circuito con resistencias, condensador y bobina==
Se tiene el circuito de la figura, en el cual hay tres resistencias, un condensador y una bobina y autoinducción. Todo el conjunto está conectado a una diferencia de potencial <math>V_0=36\,\mathrm{V}</math>.  
Se tiene el circuito de la figura, en el cual hay tres resistencias, un condensador y una bobina y autoinducción. Todo el conjunto está conectado a una diferencia de potencial <math>V_0=36\,\mathrm{V}</math>.  

Revisión de 14:07 21 may 2022

Contenido

1 Barra que avanza en un campo uniforme

Una barra metálica de longitud b=10\,\mathrm{cm} se mueve en el interior de un campo magnético uniforme \vec{B}_0 (B_0=10\,\mathrm{mT}) con velocidad constante \vec{v}, siendo \vec{v} perpendicular tanto al eje de la varilla como al campo magnético y de módulo v=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

  1. Calcule la fuerza magnética sobre una carga q\, de la varilla.
  2. ¿Hacia donde se mueven las cargas positivas y negativas de la varilla?
  3. La separación de carga alcanza el equilibrio cuando la fuerza eléctrica debido a dicha separación compensa exactamente la fuerza magnética. Usando esto, halle el campo eléctrico en el interior de la varilla.
  4. Calcule el voltaje entre los extremos de la varilla.
  5. Calcule la f.e.m. inducida, de acuerdo con la ley de Faraday, a lo largo de una curva formada por la varilla y un cierre por el exterior del campo magnético. Compruebe que coincide con el voltaje calculado en el apartado anterior.

Solución

2 Espira cuadrada que gira en un campo magnético

Una espira cuadrada de lado a=2\,\mathrm{cm}, de hilo de cobre de sección A=0.5\,\mathrm{mm}^2 gira con frecuencia f=400\,\mathrm{Hz} en el interior de un campo magnético uniforme de módulo B_0=200\,\mathrm{mT}. El eje de giro es perpendicular al campo magnético.

  1. Determine la corriente que se induce en la espira.
  2. Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.
  3. Calcule el par que en cada instante ejerce el campo magnético sobre la espira.
  4. Para mantener la rotación constante, es necesario realizar un par opuesto al anterior. ¿Cuánto vale la potencia desarrollada por el par externo y el trabajo total realizado para mantener la rotación?

Solución

3 Frenado magnético de espira

Una espira cuadrada de lado b=10\,\mathrm{cm}, hecha de un hilo de cobre de sección A=1\,\mathrm{mm}^2 penetra en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira y de módulo B_0=30\,\mathrm{mT}. La espira se mueve inicialmente con velocidad v_0=0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} tangente a uno de sus lados y perpendicular al campo magnético. En t = 0 la espira entra en el campo.

Image:cuadradoenB.gif
  1. Calcule la corriente que se induce en la espira cuando la espira ha avanzado una distancia x\, y se está moviendo con velocidad v\,.
  2. Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre la espira.
  3. Si la velocidad de la espira se mantiene constante, halle la potencia disipada en la espira por efecto Joule. ¿De dónde proviene la energía disipada?
  4. Si se deja que la espira frene por acción del campo magnético, determine la evolución en el tiempo de la velocidad, así como la energía total disipada por efecto Joule.

Solución

4 Espira doble que penetra en campo magnético

Se tiene una espira doble de las dimensiones indicadas en la figura.

En este sistema de varillas todas son de un material de conductividad \sigma=5\times 10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m} y tienen sección transversal 2 mm². La espira está penetrando en un campo magnético uniforme \vec{B}=(300\,\mathrm{mT}) \vec{k} y es forzada a moverse con velocidad constante \vec{v}=(44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) \vec{\imath}. En un instante dado la espira ha penetrado una distancia x=10\,\mathrm{cm}. Para ese instante en concreto…

  1. ¿Qué circuito equivale a este sistema, incluyendo la polaridad de la fuente y el sentido de las corrientes?
  2. ¿Cuánto vale, en valor absoluto, la f.e.m. inducida en el circuito?
  3. ¿Qué intensidad de corriente circula por cada una de las tres barras verticales, en valor absoluto?
  4. ¿Qué potencia se está disipando por efecto Joule en el circuito?
  5. ¿Cuánto vale la fuerza magnética sobre la espira?

Suponga ahora un instante posterior, en el que x=20\,\mathrm{cm}. Para este nuevo instante…

  1. ¿Qué circuito equivale a este sistema, incluyendo la polaridad de la fuente y el sentido de las corrientes?
  2. ¿Qué intensidad de corriente circula por cada una de las tres barras verticales, en valor absoluto?
  3. ¿Cuánto vale la fuerza magnética sobre la espira?

Solución

5 Espira cuadrada girada que penetra en campo

Una espira cuadrada cuya diagonal mide 2a y que posee una resistencia eléctrica R penetra con velocidad \vec{v}=v_0\vec{\imath} constante en un campo magnético uniforme \vec{B}=B_0\vec{k} que se aplica en el semiespacio x>0. La espira está girada 45° respecto a la dirección de movimiento.

  1. Determine la corriente que circula por la espira como función del tiempo.
  2. Calcule la potencia disipada en la espira por efecto Joule en cada instante y la energía total disipada desde que comienza a penetrar hasta que se encuentra completamente inmersa en el campo magnético.
  3. Calcule la fuerza magnética que actúa sobre la espira como función del tiempo.
  4. Halle la potencia mecánica realizada por la fuerza magnética y el trabajo total realizado por esta fuerza desde que la espira comienza a entrar hasta que penetra por completo.

Solución

6 Espira doble que entra en campo

Una espira doble como la ilustrada en la figura, está formada por varillas de 4 mm² de sección transversal y de un material de conductividad \sigma=2.5\times 10^5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}. Las longitudes de las varillas son las indicadas en la figura. Esta espira se halla en el plano OXY y penetra en un campo magnético uniforme de valor \vec{B}=(100\,\mathrm{mT}) \vec{k}, que se extiende en la región x>0. La espira es obligada a moverse con velocidad constante \vec{v}=(6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}) \vec{\imath}.

  1. Calcule la resistencia de cada una de las tres ramas que unen los puntos A y C
  2. Calcule la fuerza electromotriz que se induce en cada una de las dos mallas de la espira.
  3. Halle la intensidad de corriente que circula por cada una de las varillas.
  4. Calcule la potencia disipada por efecto Joule en el sistema.

Solución

7 Pulso gaussiano a través de espira

Una espira circular de radio b, resistencia R y autoinducción despreciable, situada en el plano XY, se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme que varía en el tiempo como un pulso gaussiano

\vec{B}=B_0\mathrm{e}^{-(t/T)^2}\vec{k}
Archivo:corriente-inducida-espira.png
  1. ¿Qué corriente circula por la espira como función del tiempo?
  2. ¿Cuánta carga pasa por un punto de la espira entre t→-∞ y t→+∞?

Solución

8 Circuito alrededor de un solenoide

Se tiene un solenoide largo de radio a, y densidad de espiras n por el cual circula una corriente variable en el tiempo I0(t). Dos voltímetros miden el voltaje entre dos puntos A\, y B\,, diametralmente opuestos, de un circuito formado por dos resistencias R_1\, y R_2\,, tal como se ve en la figura. Halle las lecturas de los voltímetros. ¿Coincidirán éstas? ¿Por qué?

Solución

9 Comportamiento de una bobina real

Con 20 m de hilo de cobre de 1 mm de diámetro se construye una bobina, arrollándola sobre un cilindro de cartón de 26 mm de diámetro. El hilo se enrolla densamente, sin dejar espacio entre vuelta y vuelta.

  1. Halle la resistencia de la bobina (conductividad del cobre: 5.96\times 10^{7}\mathrm{S}/\mathrm{m}).
  2. Calcule el coeficiente de autoinducción de la bobina.
  3. Suponga que se conecta la bobina a una fuente de continua de 1 V. ¿Qué campo magnético produce esta bobina en su interior?
  4. Calcule la energía magnética almacenada en la bobina y la potencia que disipa en cada instante por efecto Joule.
  5. Suponga que la bobina se conecta a la fuente anterior empleando un interruptor que se cierra en t = 0. ¿Cuánto tiempo tarda aproximadamente en establecerse la corriente continua?

Solución

10 Autoinducción e inducción mutua de bobinas

Dos solenoides cilíndricos muy largos se disponen concentricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud h\, y número de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).

Image:dosbobinas.png
  1. Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
  2. Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas. ¿En qué caso es igual a la unidad? ¿Cuándo puede ser igual a −1?

Solución

11 Dos solenoides ccuadrados

El campo magnético debido a un solenoide largo paralelo al eje OZ tiene la expresión general aproximada

\vec{B}=\begin{cases}\dfrac{\mu_0NI}{h}\vec{k}&\mbox{en el interior} \\ & \\ \vec{0}&\mbox{en el exterior}\end{cases}

incluso aunque no sea de sección circular. Aquí N es el número de espiras del solenoide, h su longitud e I la intensidad de corriente que circula por el solenoide.

Supongamos dos solenoides largos de sección cuadrada de lado b, de la misma longitud h y con N1 y N2 vueltas respectivamente. Los centros de los solenoides se encuentran a una cierta distancia, de forma que solapan parcialmente en un cuadrado de lado a, como indica la figura.

Archivo:Dosbobinascuadradas.gif  Archivo:Interseccioncuadrados.gif
  1. Calcule razonadamente los coeficientes de autoinducción de ambos solenoides.
  2. Halle el coeficiente de inducción mutua entre ambos solenoides, suponiendo que el sentido de la corriente es el mismo en los dos.
  3. Calcule el coeficiente de acoplamiento entre ellos.
  4. Supongamos que por la bobina 1 (el primario) circula una corriente I1 = Acos(Ωt), mientras que los extremos de la bobina 2 (el secundario) se conectan por una resistencia R. ¿Qué ecuación diferencial gobierna la corriente I2(t) que circula por el secundario?

Solución

12 Transformador ideal

Un transformador ideal está formado por dos bobinas (el primario y el secundario) arrolladas alrededor de un núcleo de alta permeabilidad. Se supone que las bobinas no tienen resistencia y que el flujo magnético para cualquier sección del núcleo es el mismo. El primario tiene N1 espiras y el secundario N2.

  1. Si entre los extremos del primario se establece un voltaje ΔV1 = V0cos(ωt), ¿qué voltaje se mide si se pone un voltímetro entre los extremos del secundario, estando éste en circuito abierto?
  2. Si por el primario circula una corriente I1cos(ωt), ¿qué corriente circula por un amperímetro conectado a los extremos del secundario, estando este en cortocircuito?

Solución

13 Circuito con tres resistencias y un solenoide

Sea el circuito de corriente continua de la figura.

  1. ¿Qué intensidad de corriente circula por cada uno de los cuatro elementos?
  2. ¿Qué lectura daría un voltímetro situado en paralelo de cada uno de los 4 elementos (tomando siempre el positivo a la izquierda y el negativo a la derecha)?

Solución

14 Circuito con dos resistencias, un condensador y un solenoide

Sea el circuito de corriente continua de la figura. Suponga que en el brazo vertical central existe un interruptor que inicialmente está abierto (en la imagen se ve ya cerrado)

  1. ¿Qué intensidad de corriente circula por cada uno de los cuatro elementos?
  2. ¿Qué lectura daría un voltímetro situado en paralelo de cada uno de los 4 elementos (tomando siempre el positivo a la izquierda y el negativo a la derecha)?

Suponga ahora que el interruptor está cerrado de forma que el circuito queda como en la figura.

  1. ¿Cuál es en ese caso la intensidad de corriente que circula por cada elemento?
  2. ¿Cuál será en ese caso la lectura de voltímetro colocado en paralelo a cada elemento?

Solución

15 Máquina eléctrica lineal

Un modelo sencillo de máquina eléctrica sería el siguiente. Se tiene un campo magnético uniforme \vec{B}=B_0\vec{k}. En el interior de este campo se halla un circuito formado por una fuente de corriente continua, de fuerza electromotriz \mathcal{E}_0 y resistencia r, dos raíles perfectamente conductores, situados paralelamente a una distancia b, y una barra de masa m, también perfectamente conductora, que desliza sin rozamiento por los raíles (ver figura).

Archivo:maquina-electrica-lineal.png
  1. Suponga que en un instante dado la barra se mueve con velocidad v alejándose de la fuente. ¿Qué intensidad de corriente circula por ella? ¿Qué fuerza se ejerce sobre ella? ¿Para qué valor de la velocidad, v0, esta intensidad de corriente es nula?
  2. Demuestre que si la velocidad de la barra es v < v0, la barra tiende a acelerarse, mientras que si es mayor tiende a frenarse, por lo que la barra tiende a moverse con velocidad constante.
  3. Suponga que inicialmente el circuito está abierto, la barra en reposo, y en t = 0 se cierra el interruptor. Aplicando los resultados del primer apartado, determine la ecuación de movimiento para la barra. Resuelva esta ecuación mostrando que la barra sale disparada con una velocidad que tiende a ser constante. Este sería un cañón electromagnético railgun.

Solución

16 Problemas adicionales

16.1 Circuito con resistencias, condensador y bobina

Se tiene el circuito de la figura, en el cual hay tres resistencias, un condensador y una bobina y autoinducción. Todo el conjunto está conectado a una diferencia de potencial V_0=36\,\mathrm{V}.

En el sistema hay situados dos amperímetros y dos voltímetros. ¿Qué marcará cada uno de estos aparatos de medida?

Solución

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