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Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Esfera que se conecta a una fuente de tensión)
(Tres resistencias y un condensador)
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[[Sistema de cuatro hilos|Solución]]
[[Sistema de cuatro hilos|Solución]]
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==Transformación delta-estrella==
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Como en el caso de los condensadores existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.
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# Demuestre que, dadas las resistencias <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>, las valores de <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math> son
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# Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, <math>R_{12}</math>, <math>R_{13}</math> y <math>R_{23}</math>, las resistencias de la estrella, <math>R_1</math>, <math>R_2</math> y <math>R_3</math>. vienen dadas por
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# Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen <math>R_{12}=100\,\Omega</math>, <math>R_{13}=400\,\Omega</math>, <math>R_{23}=500\,\Omega</math>.
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# Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual <math>R_1=30\,\Omega</math>, <math>R_2=20\,\Omega</math>,<math>R_3=12\,\Omeg</math>a.
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# Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistencias de la figura.
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# Para los apartados (3) y (3), suponga que <math>V_1=10\,\mathrm{V}</math>, <math>V_2=5\,\mathrm{V}</math>, <math>V_3=0\,\mathrm{V}</math>. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.
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[Transformación delta-estrella|'''Solución''']
==Tres resistencias y un condensador==
==Tres resistencias y un condensador==

Revisión de 18:14 5 may 2022

Contenido

1 Densidad de corriente central

En una determinada región del espacio alrededor del origen de coordenadas existe una densidad de corriente dependiente de la distancia al origen como

\vec{J}(r)=Ar(b-r) \vec{u}_r

con A y b dos constantes positivas, r la distancia al origen de coordenadas y \vec{u}_r el vector unitario radial hacia afuera.

  1. ¿Cuánto vale la derivada respecto al tiempo de la carga contenida en una esfera de radio b / 2 con centro el origen? ¿Aumenta o disminuye?
  2. ¿Y si la esfera tiene radio b?
  3. ¿Y si tiene radio 2b?

Solución

2 Cable bimetálico

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de acero revestido de cobre. Está formado por un núcleo de acero de radio a (suponga a=2\,\mathrm{mm}), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior b (sea b= 3\,\mathrm{mm}).

  1. Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud h=10\,\mathrm{km}.
  2. Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial V_0=100\,\mathrm{V} al cable anterior.

Datos: \sigma_\mathrm{Cu} = 5.96\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}, \sigma_\mathrm{acero} = 7.0\times 10^6\,\mathrm{S}/\mathrm{m}

Image:cableconnucleo.gif

Solución

3 Paso de un pulso de corriente

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica R1 circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

I_1(t) = \begin{cases}I_0t(T-t)/T^2 & 0 < t < T \\ 0 & t<0\ \mathrm{o}\ t>T\end{cases}
  1. Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre t\to -\infty y t\to\infty.
  2. Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

Solución

4 Asociación de dos bombillas en serie

Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W a 240 V y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas dará más luz? ¿En qué proporción?

Solución

5 Conexión de tres bombillas

Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por ⊗) de potencia nominal 10W a 240V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 240V.

  • ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?
  • Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

Solución

6 Triángulo de resistencias

Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

Archivo:Tres-resistencias.png

Solución

7 Condensador con pérdidas

En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección S, separadas una distancia a entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad \varepsilon y con una pequeña conductividad σ. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m \mathcal{E}.

  1. Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
  2. Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
  3. Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
  4. Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. \mathcal{E} y resistencia interna r, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
  5. Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como V(t), ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
  6. ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?
Archivo:condensador-real.png

Solución

8 Condensador con dos capas no ideales

Entre dos placas perfectamente conductoras de sección S separadas una distancia a + b se encuentran dos capas de dieléctricos no ideales de espesores a y b respectivamente. Los dieléctricos tienen permitividades \varepsilon_1 y \varepsilon_2 y conductividades σ1 y σ2, respectivamente. Entre las placas se aplica una diferencia de potencial constante mediante de una fuente de f.e.m. \mathcal{E}.

  1. Diseñe el circuito equivalente a este sistema.
  2. Calcule la corriente que atraviesa el dispositivo.
  3. Halle la carga en cada una de las placas y en la interfaz central entre los dos dieléctricos.
  4. Calcule la potencia disipada y la energía almacenada en el sistema.
Archivo:condensador-real-dos-capas.png

Solución

9 Sistema de 5 resistencias

Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

  1. Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
    1. R_5=1\,\mathrm{M}\Omega
    2. R_5=1\,\mathrm{m}\Omega
    3. R_5 = 25\,\Omega
  2. Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?
Archivo:Circuito-cinco-resistencias.png

Solución

10 Cinco resistencias iguales

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

  1. En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
  2. En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
  3. En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
  4. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
  5. En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
  6. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

Solución

11 Circuito con dos mallas

Calcule las intensidades que circulan por cada una de las tres resistencias en el circuito de dos mallas de la figura.

Solución

12 4 resistencias y 1 condensador

Se tiene el circuito de la figura, formado por cuatro resistencias, un condensador y una fuente de tensión continua. En este estado de corriente continua,

Archivo:4-res-1-con.png
  1. ¿Cuál es la lectura del voltímetro de la figura?
  2. ¿Cuál sería la lectura de voltímetros situados en cada una de las otras resistencias y en el condensador?
  3. ¿Qué intensidades de corriente medirían amperímetros situados tras cada una de las resistencias?

Solución

13 Esfera conectada a resistencias

Una esfera metálica de radio b está conectada a tres resistencias iguales de valor R. Una de estas resistencias está conectada por su otro extremo a una fuente de tensión V0 > 0 y las otras dos resistencias tienen su otro extremo conectado a tierra. En un instante dado la tensión a la que se encuentra la esfera es 3V0 / 4. Para ese instante…

  1. ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera? ¿Cuánto valen Q y dQ⁄dt?
  2. ¿Cuánto vale la energía almacenada en ese instante en el sistema?
  3. ¿Cuánto vale la potencia que se disipa por efecto Joule?

Solución

14 Esfera que se conecta a una fuente de tensión

Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga Q_1=10\,\mathrm{nC}. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

Archivo:esfera-fuente.png
  1. Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
  2. Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
  3. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
  4. ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
  5. Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial V(t) de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de V(t) frente al tiempo.

Dato: 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9\times 10^9\,\mathrm{m}/\mathrm{F}

Solución

15 Potencia de un generador real

El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica \dot{W}_\mathrm{out} sale del generador real?

Solución

16 Sistema de cuatro hilos

Se tiene un sistema de cuatro hilos rectilíneos de sección circular, todos ellos de longitud \ell_0=10\,\mathrm{cm} y hechos de un material de conductividad \sigma=(4/\pi)\times10^{4} \mathrm{S}/\mathrm{m}. Los diámetros de los cables son respectivamente d_1=4\,\mathrm{mm}, d_2=2\,\mathrm{mm}, d_3=2\,\mathrm{mm} y d_4=1\,\mathrm{mm}. Los cuatro hilos están unidos a un nodo común, mientras que sus otros extremos están conectados a fuentes de tensión de voltajes V_1=1.26\,\mathrm{V}, V_2=210\,\mathrm{V} o a tierra, tal como indica la figura. Inicialmente el interruptor A está cerrado.

  1. Calcule la resistencia eléctrica de cada hilo.
  2. Determine el voltaje al que se encuentra el nodo central, así como la intensidad de corriente que entra por cada uno de los cables (una o varias de ellas serán negativas).
  3. ¿Cuánto vale la densidad de corriente en cada cable? Si el primer cable en fundirse es por el que circule una mayor densidad de corriente, ¿cuál de los cuatro será?
  4. Calcule la potencia que se disipa en el sistema por efecto Joule.

Suponga ahora que se abre el interruptor A.

  1. ¿Cuáles son las nuevas intensidades de corriente y el voltaje en el nodo central?
  2. ¿Cuánto vale la nueva potencia disipada? ¿Ha aumentado o disminuido respecto a la que se disipaba antes de abrir el interruptor?

Solución

17 Transformación delta-estrella

Como en el caso de los condensadores existe una transformación Δ-Y (delta-estrella) para resistencias (que, de hecho, es la más usual). Se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres resistores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres resistores unidos a un nodo central sin conexión exterior.

[Archivo:circuito-estrella.png|400px]   [Archivo:circuito-delta.png|400px]
  1. Demuestre que, dadas las resistencias R1, R2 y R3, las valores de R12, R13 y R23 son
R_{12}=\frac{P}{R_3}\qquad\qquad R_{13}=\frac{P}{R_2}\qquad\qquad R_{23}=\frac{P}{R_1}
donde
P = R1R2 + R1R3 + R2R3
  1. Demuestre las relaciones inversas: dadas las resistencias de la delta, R12, R13 y R23, las resistencias de la estrella, R1, R2 y R3. vienen dadas por
R_1=\frac{R_{12} R_{13}}{S}\qquad\qquad R_2=\frac{R_{12} R_{23}}{S}\qquad\qquad R_3=\frac{R_{13} R_{33}}{S}
donde
S = R12 + R13 + R23
  1. Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las resistencias valen R_{12}=100\,\Omega, R_{13}=400\,\Omega, R_{23}=500\,\Omega.
  2. Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual R_1=30\,\Omega, R_2=20\,\Omega,No se pudo entender (función desconocida\Omeg): R_3=12\,\Omeg

a.

  1. Calcule la resistencia equivalente al sistema de 5 resistencias de la figura.
[Archivo:caso-circuito-estrella.png|400px]
  1. Para los apartados (3) y (3), suponga que V_1=10\,\mathrm{V}, V_2=5\,\mathrm{V}, V_3=0\,\mathrm{V}. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la potencia disipada por efecto Joule y compruebe que se llega al mismo resultado.

[Transformación delta-estrella|Solución]

18 Tres resistencias y un condensador

Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

  1. ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
  2. ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
  3. ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

Solución

19 Circuito en forma de H

Un circuito integrado está constituido por una pista de cobre (\sigma\simeq 6.0\times 10^7\,\mathrm{S}/\mathrm{m}) de espesor e=0.1 mm montada sobre un dieléctrico. La pista tiene en todos sus tramos un ancho d = 1.0 mm. La pista tiene forma de H, en la que cada tramo mide b = 6.0 cm, salvo el travesaño central, que mide 3cm. Supongamos en primer lugar, que tres de las patas están a tierra (el interruptor A está cerrado) y la cuarta conectada a un voltaje V_0= 2.4\,\mathrm{mV}.

  1. Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.
  2. Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios, donde se unen los diferentes tramos.
  3. Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

Supongamos ahora que, en la situación anterior, se abre el interruptor A, dejando la pata 2 en circuito abierto. Responda a las mismas preguntas:

  1. Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.
  2. Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios.
  3. Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

Puede suponerse cada tramo como un conductor filiforme.

Solución

20 Circuito en forma de cuadrado

Se construye un cuadrado mediante un cable de material conductor de 5mm² de sección y 8m de largo, de constantán, una aleación que tiene una conductividad eléctrica \sigma=2\times 10^6\mathrm{S}/\mathrm{m}. Entre dos vértices contiguos se aplica una diferencia de potencial de 1.2 V.

Calcule

  1. la intensidad de corriente en cada lado del cuadrado.
  2. la potencia disipada en el sistema por efecto Joule.

Solución

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