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Preguntas de test de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Movimiento oscilatorio sobre circunferencia)
m (Pregunta 3)
 
(67 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
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==Posición de una partícula==
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La posición de una partícula se describe según las siguientes ecuaciones horarias
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<center><math>x=A \cos⁡(2\Omega t)-2A \cos^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad y=A\cos⁡(2\Omega t)-2A\,\mathrm{sen}^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad z=0</math></center>
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¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
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:* '''A''' Circular.
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:* '''B''' Parabólico.
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:* '''C''' Armónico simple.
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:* '''D''' Está en reposo.
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
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==Movimiento circular==
 +
Una partícula describe el movimiento circular de ecuación, en el SI,
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<center><math>\vec{r}(t)=5\cos⁡(5t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{\jmath}+4\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{k}</math></center>
 +
===Pregunta 1===
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La velocidad angular de este movimiento vale, en rad/s
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:* '''A''' <math>\vec{\omega}=-4\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>.
 +
:* '''B''' <math>\vec{\omega}=5\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+4\vec{k}</math>.
 +
:* '''C''' <math>\vec{\omega}=5</math>.
 +
:* '''D''' <math>\vec{\omega}=5\vec{k}</math>.
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
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===Pregunta 2===
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¿Cuánto vale el radio de este movimiento circular, en m?
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:* '''A''' <math>\sqrt{10}</math>.
 +
:* '''B''' <math>50</math>.
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:* '''C''' <math>5</math>.
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:* '''D''' No hay información suficiente para determinarlo.
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
 +
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==Vector tangente constante==
 +
De un movimiento de una partícula sabemos que el vector tangente es constante. Podemos asegurar que este movimiento es&hellip;
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:* '''A''' Uniforme.
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:* '''B''' Rectilíneo.
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:* '''C''' Circular.
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:* '''D''' Helicoidal.
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
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==Ángulo entre velocidad y aceleración==
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Una partícula se mueve de forma que en un instante dado su aceleración y su velocidad forman un ángulo de <math>3\pi/4</math>. En ese momento la partícula&hellip;
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:* '''A''' está cambiando su dirección pero manteniendo constante su rapidez.
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:* '''B''' esta frenando, pero manteniendo su dirección de movimiento.
 +
:* '''C''' está frenando y cambiando su dirección.
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:* '''D''' está acelerando mientras cambia su dirección.
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;Solución
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
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La aceleración normal no es nula
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<center><math>a_n=\left|\vec{a}\right|\mathrm{sen}(\alpha)=\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}</math></center>
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por lo que la dirección está cambiando.
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También es distinta de cero la aceleración tangencial
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<center><math>a_t=\left|\vec{a}\right|\mathrm{cos}(\alpha)=-\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}</math></center>
 +
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Al ser negativa, quiere decir que la rapidez está disminuyendo y por tanto la partícula está frenando.
 +
==Movimiento oscilatorio sobre circunferencia==
==Movimiento oscilatorio sobre circunferencia==
Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, &rho; = 1.00m, siguiendo la ley horaria
Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, &rho; = 1.00m, siguiendo la ley horaria
-
<center><math>\varphi = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t</math></center>
+
<center><math>\theta = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t</math></center>
-
con <math>\varphi</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.  
+
con <math>\theta</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.  
===Pregunta 1===
===Pregunta 1===
Línea 13: Línea 76:
* '''C''' <math>-15.5\vec{k}</math>
* '''C''' <math>-15.5\vec{k}</math>
* '''D''' <math>+8.54\vec{k}</math>
* '''D''' <math>+8.54\vec{k}</math>
-
====Solución====
+
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
-
En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo <math>\varphi</math> respecto al tiempo
+
En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo <math>\theta</math> respecto al tiempo
-
<center><math>\vec{\alpha}=\ddot{\varphi}\vec{k}</math></center>
+
<center><math>\vec{\alpha}=\ddot{\theta}\vec{k}</math></center>
En este caso
En este caso
-
<center><math>\vec{\omega} = \dot{\varphi}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}</math></center>
+
<center><math>\vec{\omega} = \dot{\theta}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}</math></center>
En <math>t = (1/3)\mathrm{s}</math>, su valor es
En <math>t = (1/3)\mathrm{s}</math>, su valor es
Línea 28: Línea 91:
<center><math>\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
<center><math>\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
===Pregunta 2===
===Pregunta 2===
-
Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por <math>\varphi=0</math> es&hellip;
+
Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por <math>\theta=0</math> es&hellip;
* '''A''' <math>\pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''A''' <math>\pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
Línea 34: Línea 97:
* '''C''' <math>\pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''C''' <math>\pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''D''' <math>(9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
* '''D''' <math>(9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>.
-
====Solución====
+
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
Línea 41: Línea 104:
Al pasar por el origen la velocidad no es nula, sino máxima como ocurre siempre en el punto de equilibrio de un movimiento oscilatorio. Esto descarta la respuesta B.  
Al pasar por el origen la velocidad no es nula, sino máxima como ocurre siempre en el punto de equilibrio de un movimiento oscilatorio. Esto descarta la respuesta B.  
-
Asimismo, la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria. En <math>\varphi=0</math> la circunferencia tiene tangente vertical, que es la dirección de <math>\vec{\jmath}</math>. Por lo tanto no puede ser correcta la respuesta C ni la D (perpendiculares ambas a la circunferencia).  
+
Asimismo, la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria. En <math>\theta=0</math> la circunferencia tiene tangente vertical, que es la dirección de <math>\vec{\jmath}</math>. Por lo tanto no puede ser correcta la respuesta C ni la D (perpendiculares ambas a la circunferencia).  
Esto nos deja solo con la opción A, que es la correcta.
Esto nos deja solo con la opción A, que es la correcta.
Línea 51: Línea 114:
<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>
<center><math>\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}</math></center>
-
Cuando la partícula pasa por <math>\varphi=0</math> su posición es
+
Cuando la partícula pasa por <math>\theta=0</math> su posición es
<center><math>\vec{r}=R\vec{\imath}</math></center>
<center><math>\vec{r}=R\vec{\imath}</math></center>
Línea 61: Línea 124:
La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.
La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.
-
<center><math>\omega = \dot{\varphi}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)</math></center>
+
<center><math>\omega = \dot{\theta}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)</math></center>
-
La partícula pasa por <math>\varphi=0</math> cuando
+
La partícula pasa por <math>\theta=0</math> cuando
<center><math>\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}</math></center>
<center><math>\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}</math></center>
Línea 75: Línea 138:
<center><math>\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
<center><math>\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
-
[[Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif|right]]
+
<center>[[Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif]]</center>
-
Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada <math>\varphi</math>, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto <math>\varphi=0</math> corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.
+
Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada <math>\theta</math>, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto <math>\theta=0</math> corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.
===Pregunta 3===
===Pregunta 3===
Línea 86: Línea 149:
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-01.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-01.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png]]
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|-
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! A
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! B
|-
|-
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-03.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-03.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-04.png]]
| [[Archivo:va-circular-oscilatorio-04.png]]
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|-
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! C
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! D
|}
|}
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
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En principio las cuatro figuras corresponden a situaciones posibles del movimiento circular, por lo que sería necesario hallar cuánto vale la velocidad y la aceleración en el instante indicado para discernir entre las cuatro posibilidades.
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Sin embargo, no es necesario. Nos basta con determinar la posición en el instante indicado. Cuando <math>t = (1/3)\,\mathrm{s}</math>
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<center><math>\theta=\pi\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}</math></center>
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es decir, la partícula se encuentra en
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<center><math>\vec{r}=R\cos(\theta)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}=(1.00\,\vec{\jmath})\,\mathrm{m}</math></center>
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y hay una sola figura correspondiente a esta posición:
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<center>[[Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png]]</center>
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Podemos, no obstante, hallar la velocidad y la aceleración para este punto. Usando las expresiones en coordenadas polares se llega a que
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<center><math>\vec{v}=8.55\,\mathrm{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad \vec{a}=\left(15.5\vec{\imath}-73.1\,\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
Este punto corresponde al primer cuarto de periodo. En él la rapidez está aumentando, y por tanto la aceleración tangencial es positiva. La aceleración normal es no nula y va hacia adentro de la circunferencia. Ello nos da el resultado de la figura.
==Lanzamiento horizontal desde una torre==
==Lanzamiento horizontal desde una torre==
Línea 95: Línea 187:
la gravedad.
la gravedad.
 +
===Pregunta 1 ===
¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?
¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?
Línea 101: Línea 194:
* '''C''' 1.4&thinsp;s y 11&thinsp;m
* '''C''' 1.4&thinsp;s y 11&thinsp;m
* '''D''' 2.0&thinsp;s y 16&thinsp;m
* '''D''' 2.0&thinsp;s y 16&thinsp;m
 +
;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
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El movimiento de una partícula sometida exclusivamente a la acción de la gravedad es un movimiento parabólico, cuya ecuación horaria es
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<center><math>\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2</math></center>
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donde
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<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k}\qquad \vec{g}=-g\vec{k}\qquad\vec{r}_0 = h\vec{k}\qquad\vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}</math></center>
 +
 +
lo que nos da
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<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k} = h\vec{k}+v_0t\vec{\imath}-\frac{1}{2}gt^2\vec{k}</math></center>
 +
 +
Separando por componentes
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<center><math>x = v_0 t\qquad\qquad z = h -\frac{1}{2}gt^2</math></center>
 +
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El movimiento es una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal con uno uniformemente acelerado en la vertical.
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El impacto se produce cuando la altura se hace igual a 0.
 +
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<center><math>0 = z = h - \frac{1}{2}gt^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}= \sqrt{\frac{2\cdot 20\,\mathrm{m}}{9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{m}^2}} = 2.0\,\mathrm{s}</math></center>
 +
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La distancia de la torre a la cual impacta la da el desplazamiento horizontal en el mismo tiempo
 +
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<center><math>x_i = v_0 t_i = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}=16\,\mathrm{m}</math></center>
 +
 +
===Pregunta 2===
¿Con qué rapidez impacta con el suelo?
¿Con qué rapidez impacta con el suelo?
Línea 108: Línea 230:
* '''C''' 19.8&thinsp;m/s
* '''C''' 19.8&thinsp;m/s
* '''D''' -19.8&thinsp;m/s
* '''D''' -19.8&thinsp;m/s
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
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La velocidad con la que se mueve la partícula en cada instante es
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<center><math>\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = v_0\vec{\imath}-gt\vec{k}</math></center>
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En el momento del impacto esta velocidad vale
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<center><math>\vec{v}_i = v_0\vec{\imath}-g\sqrt{\frac{2h}{g}}\vec{k}=v_0\vec{\imath}-\sqrt{2gh}\vec{k}=\left(8.0\vec{\imath}-19.8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 +
 +
La rapidez con la que impacta la masa es el módulo de esta velocidad
 +
 +
<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{8.0^2+19.8^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 21.4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
==Estudio de magnitudes instantáneas==
==Estudio de magnitudes instantáneas==
En un instante dado, una partícula ocupa la posición <math>\vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}</math>, tiene una velocidad <math>\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y una aceleración <math>\vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.
En un instante dado, una partícula ocupa la posición <math>\vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}</math>, tiene una velocidad <math>\vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y una aceleración <math>\vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.
 +
===Pregunta 1===
¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s&sup2;?
¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s&sup2;?
Línea 119: Línea 256:
* '''D''' <math>a_t=-1.50</math> y <math>a_n=2.00</math>
* '''D''' <math>a_t=-1.50</math> y <math>a_n=2.00</math>
 +
;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
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No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección sobre la velocidad. En forma escalar
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<center><math>a_t = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}</math></center>
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Siendo la rapidez
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<center><math>|\vec{v}| = \sqrt{4.00^2+3.00^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 +
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y
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 +
<center><math>\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(0\cdot 0+0\cdot 4.00+(-2.50)\cdot 3.00\right)\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=-7.50\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</math></center>
 +
 +
Así obtenemos
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<center><math>a_t = -\frac{7.50}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
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Con esto ya tenemos la respuesta correcta, pues hay solo una con este valor, la D.
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No obstante, podemos hallar la aceleración normal escalar
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<center><math>a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{2.50^2-(1.50)^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=2.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
===Pregunta 2===
¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?
¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?
* '''A''' R = 10.0&thinsp;m
* '''A''' R = 10.0&thinsp;m
-
* '''B''' R &rarr;&infin;
+
* '''B''' R <math>\to\infty\,</math>
* '''C''' R = 16.7&thinsp;m
* '''C''' R = 16.7&thinsp;m
* '''D''' R = 12.5&thinsp;m
* '''D''' R = 12.5&thinsp;m
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
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Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura
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<center><math>R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}= \frac{(5.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{m}</math></center>
 +
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===Pregunta 3===
¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo &Delta;t = 10&thinsp;s más tarde?
¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo &Delta;t = 10&thinsp;s más tarde?
Línea 132: Línea 302:
* '''C''' <math>\vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k}</math> y <math>\vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>.
* '''C''' <math>\vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k}</math> y <math>\vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}</math>.
* '''D''' No hay información suficiente para calcularlas.
* '''D''' No hay información suficiente para calcularlas.
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
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Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.
==Caso de aceleración tangencial constante==
==Caso de aceleración tangencial constante==
Línea 141: Línea 315:
* '''C''' es constante.
* '''C''' es constante.
* '''D''' aumenta linealmente con el tiempo, <math>a_n = At+B</math>
* '''D''' aumenta linealmente con el tiempo, <math>a_n = At+B</math>
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
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 +
Si la aceleración tangencial es constante, quiere decir que la rapidez varía linealmente con el tiempo
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<center><math>\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t =\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}| = v_0+ a_t t</math></center>
 +
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y por tanto la aceleración normal aumenta cuadráticamente con el tiempo
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<center><math>a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \frac{(v_0+a_tt)^2}{R}=\frac{a_t^2}{R}t^2+\frac{2v_0a_t}{R}t+\frac{v_0^2}{R} = At^2+B t + C</math></center>
==Varillas que giran en sentidos opuestos==
==Varillas que giran en sentidos opuestos==
Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular &Omega;; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX
Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular &Omega;; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX
 +
<center>[[Archivo:varillas-rotatorias-simetricas.png]]</center>
 +
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===Pregunta 1===
¿Qué trayectoria sigue la anilla?
¿Qué trayectoria sigue la anilla?
Línea 151: Línea 339:
* '''C''' Rectilínea
* '''C''' Rectilínea
* '''D''' Helicoidal
* '''D''' Helicoidal
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;Solución:
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La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
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Las dos varillas giran con la misma velocidad angular pero en sentidos opuestos, partiendo ambas del valor 0. Esto quiere decir que en todo instante, los ángulos en O y en A son iguales y el triángulo OPA es isósceles. Por tanto, el punto P se encuentra siempre sobre el punto medio de la base y su movimiento es estrictamente vertical.
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<center>[[Archivo:varillas-opuestas.gif]]</center>
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Analíticamente podemos ver que si la partícula se encuentra en
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<center><math>\vec{r} = x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}</math></center>
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debe cumplirse
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<center><math>\frac{y}{x}=\mathrm{tg}(\Omega t)\qquad\qquad \frac{y}{L-x}=\mathrm{tg}(\Omega t)</math></center>
 +
 +
y por tanto
 +
 +
<center><math>\frac{y}{x}=\frac{y}{L-x}\qquad \Rightarrow\qquad x = \frac{L}{2}\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)</math></center>
 +
 +
Vemos que efectivamente la anilla asciende por la recta x = L/2. Su ecuación horaria es
 +
 +
<center><math>\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>
 +
 +
===Pregunta 2===
¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?
¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?
-
* '''A''' <math>\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \varphi = \Omega t</math>
+
* '''A''' <math>\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t</math>
-
* '''B''' <math>\rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \varphi = \Omega t</math>
+
* '''B''' <math>\rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \theta = \Omega t</math>
-
* '''C''' <math>\rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \varphi = \Omega t</math>
+
* '''C''' <math>\rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \theta = \Omega t</math>
-
* '''D''' <math>\rho = L/2\qquad \varphi = \Omega t</math>
+
* '''D''' <math>\rho = L/2\qquad \theta = \Omega t</math>
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
 +
Para pasar de cartesianas a polares tenemos las relaciones
 +
 +
<center><math>x = \rho\cos(\theta)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta)</math></center>
 +
 +
y sus opuestas
 +
 +
<center><math>\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math></center>
 +
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<center>[[Archivo:varilla-rotatoria-triangulo.png]]</center>
 +
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En este caso evidentemente el ángulo <math>\theta</math> coincide con el ángulo <math>\theta</math>
 +
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<center><math>\theta=\theta = \Omega t</math></center>
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 +
mientras que <math>\rho</math> es la hipotenusa de un triángulo cuyo cateto contiguo mide L/2
 +
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<center><math>\rho = \frac{x}{\cos(\theta)} = \frac{L/2}{\cos(\Omega t)}</math></center>
 +
 +
(o directamente a partir de la raíz cuadrada por el teorema de Pitágoras).
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 +
Las coordenadas polares de la anilla son entonces
 +
 +
<center><math>\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t</math></center>
 +
 +
===Pregunta 3===
¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?
¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?
* '''A''' <math>\vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}</math>
* '''A''' <math>\vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}</math>
Línea 164: Línea 402:
* '''C''' <math>\vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})</math>
* '''C''' <math>\vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})</math>
* '''D''' <math>\vec{a}=\vec{0}</math>
* '''D''' <math>\vec{a}=\vec{0}</math>
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
 +
 +
Podemos responder a esta pregunta sin necesidad de calcular la aceleración.
 +
 +
La partícula se mueve de forma no uniforme, por lo que su aceleración no es nula. Esto descarta la respuesta D.
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La anilla describe un movimiento rectilíneo en todo momento, por lo que la velocidad y la aceleración llevan la dirección de la recta de movimiento, que tiene la dirección de <math>\vec{\jmath}</math>. Por ello la respuesta C no puede ser correcta.
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Quedan las opciones A y B. La aceleración tiene dimensiones de L/T&sup2;, pero la opción de la respuesta A tiene dimensiones de longitud solamente, por lo que no puede ser correcta. Por tanto, solo queda la opción B.
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 +
Veamos que efectivamente es así calculando la aceleración. Teníamos que
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<center><math>\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>
 +
 +
Calculamos la velocidad derivando una vez respecto al tiempo
 +
 +
<center><math>\vec{v}=\frac{L\Omega}{2\cos^2(\Omega t)}\vec{\jmath}</math></center>
 +
 +
y derivando otra vez obtenemos la aceleración
 +
 +
<center><math>\vec{a}=\frac{L\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)}{\cos^3(\Omega t)}\vec{\jmath}</math></center>
==Estudio de movimiento instantáneo==
==Estudio de movimiento instantáneo==
-
En un instante dado una partícula se encuentra en <math>\vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k}</math> (m), moviéndose con velocidad <math>\vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}</math> (m/s)y aceleración <math>\vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k}</math> (m/s\tss{2}). En ese instante\ldots
+
En un instante dado una partícula se encuentra en <math>\vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k}</math> (m), moviéndose con velocidad <math>\vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath}</math> (m/s)y aceleración <math>\vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k}</math> (m/s&sup2;). En ese instante&hellip;
 +
===Pregunta 1===
¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?
¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?
* '''A''' Necesitamos conocer como varía <math>|\vec{v}|</math> con el tiempo.
* '''A''' Necesitamos conocer como varía <math>|\vec{v}|</math> con el tiempo.
Línea 173: Línea 434:
* '''C''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''C''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''D''' 0&thinsp;m/s&sup2;
* '''D''' 0&thinsp;m/s&sup2;
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
 +
La aceleración tangencial la calculamos proyectando la aceleración sobre la velocidad
 +
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<center><math>a_t=\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{v}_1}{|\vec{v}|}</math></center>
 +
 +
siendo la rapidez
 +
 +
<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 +
 +
Esto da
 +
 +
<center><math>a_t = \frac{0\cdot(-3)+25\cdot 4-20\cdot 0}{5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
===Pregunta 2===
¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?
¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?
Línea 180: Línea 456:
* '''C''' <math>(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''C''' <math>(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''D''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
* '''D''' <math>(-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
 +
Podemos calcular la aceleración normal sin necesidad de hallar la tangencial calculando la componente ortogonal de la aceleración
 +
 +
<center><math>\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}</math></center>
 +
 +
El primer producto vectorial vale
 +
 +
<center><math>\vec{v}_1\times\vec{a}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -3 & 4 & 0 \\ 0 & 25 & -20\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=(-80\vec{\imath}-60\vec{\jmath}-75\vec{k})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}</math></center>
 +
 +
y el segundo
 +
 +
<center><math>(\vec{v}_1\times\vec{a}_1)\times\vec{v}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -80 & -60 & -75 \\ -3 & 4 & 0 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}=(300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k})\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}</math></center>
 +
 +
y obtenemos finalmente
 +
 +
<center><math>\vec{a}_n = \frac{300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k}}{25}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=\left(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 +
 +
===Pregunta 3===
¿cuánto vale el radio de curvatura?
¿cuánto vale el radio de curvatura?
Línea 187: Línea 482:
* '''C''' No hay información suficiente para hallarlo.
* '''C''' No hay información suficiente para hallarlo.
* '''D''' 0.80&thinsp;m.
* '''D''' 0.80&thinsp;m.
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
-
==Ilustraciones de los vectores tangente y normal==
+
El radio de curvatura lo podemos calcular con la expresión
-
De las siguientes cuatro figuras, señale cuál indica correctamente los vectores tangente y normal de un movimiento tridimensional
+
 
 +
<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{(5\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^3}{\sqrt{(-80)^2+(-60^2)+(-75)^2}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3}=\frac{125}{125}\mathrm{m}=1\,\mathrm{m}</math></center>
==Movimiento circular en función del ángulo==
==Movimiento circular en función del ángulo==
-
Una partícula describe un movimiento circular de radio $R$ en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante
+
Una partícula describe un movimiento circular de radio R en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante
-
<center><math>\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\varphi}\right)\vec{k}</math></center>
+
<center><math>\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\theta}\right)\vec{k}</math></center>
-
siendo C una constante positiva y <math>\varphi=\varphi(t)</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en <math>t = 0</math> desde <math>\varphi=\pi/2</math>.
+
siendo C una constante positiva y <math>\theta=\theta(t)</math> el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en <math>t = 0</math> desde <math>\theta=\pi/2</math>.
 +
===Pregunta 1===
¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?
¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?
* '''A''' Circular uniformemente acelerado.
* '''A''' Circular uniformemente acelerado.
* '''B''' Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
* '''B''' Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
-
* '''C''' Uno con aceleración angular que va como <math>1/\sqrt{\varphi}</math>
+
* '''C''' Uno con aceleración angular que va como <math>1/\sqrt{\theta}</math>
* '''D''' Circular uniforme.
* '''D''' Circular uniforme.
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
 +
Este problema es la versión circular de uno [[Ejemplos_de_velocidad_en_funci%C3%B3n_de_la_posici%C3%B3n|rectilíneo]].
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Para identificar el movimiento calculamos su aceleración angular. Esta se define como la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo
 +
 +
<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}</math></center>
 +
 +
siendo
 +
 +
<center><math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \omega = \sqrt{C\theta}</math></center>
 +
 +
En este caso tenemos la velocidad angular como función del ángulo por lo que aplicamos la regla de la cadena
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<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}</math></center>
 +
 +
pero
 +
 +
<center><math>\dot{\theta}=\omega</math></center>
 +
 +
así que la aceleración angular equivale a
 +
 +
<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\theta}\omega\vec{k}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{\omega^2}{2}\right)\vec{k}</math></center>
 +
 +
Elevando al cuadrado
 +
 +
<center><math>\frac{1}{2}\omega^2 = \frac{1}{2}C\theta</math></center>
 +
 +
así que queda
 +
 +
<center><math>\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{C\theta}{2}\right)\vec{k}=\frac{C}{2}\vec{k}</math></center>
 +
 +
La aceleración angular es constante y por tanto el movimiento es circular uniformemente acelerado.
 +
 +
===Pregunta 2===
En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?
En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?
Línea 211: Línea 545:
* '''C''' No son constantes ni una ni la otra.
* '''C''' No son constantes ni una ni la otra.
* '''D''' La normal sí, pero la tangencial no.
* '''D''' La normal sí, pero la tangencial no.
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
 +
La aceleración tangencial (tangencial) en un movimiento circular es igual a
 +
 +
<center><math>a_t=\alpha R\,</math></center>
 +
 +
En este caso sabemos que la aceleración angular es constante, por lo que la tangencial también lo es
 +
 +
<center><math>a_t = \frac{CR}{2}\,</math></center>
 +
 +
La aceleración normal, en cambio, aumenta al crecer la velocidad angular
 +
 +
<center><math>a_n =\omega^2R\,</math></center>
 +
 +
Por tanto en este movimiento la aceleración tangencial (escalar) es constante y la normal no.
 +
 +
===Pregunta 3===
¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?
¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?
Línea 218: Línea 569:
* '''C''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}</math>
* '''C''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}</math>
* '''D''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}</math>
* '''D''' <math>-(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}</math>
 +
;Solución:
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">D<span>'''.
 +
 +
En t = 0 la partícula se encuentra en <math>\theta = \pi/2</math>, esto quiere decir que su vector de posición instantáneo es
 +
 +
<center><math>\vec{r} = R\vec{\jmath}</math></center>
 +
 +
Para este punto la velocidad angular es
 +
 +
<center><math>\vec{\omega}=\sqrt{C\theta}\vec{k}=\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}</math></center>
 +
 +
y la aceleración angular
 +
 +
<center><math>\vec{\alpha}=\frac{C}{2}\vec{k}</math></center>
 +
 +
Con todo esto, podemos calcular la aceleración mediante la fórmula
 +
 +
<center><math>\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})</math></center>
 +
 +
El primer término, el vector aceleración tangencial vale
 +
 +
<center><math>\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left(\frac{C}{2}\vec{k}\right)\times(R\vec{\jmath})=-\frac{CR}{2}\vec{\imath}</math></center>
 +
 +
y el segundo, la aceleración normal
 +
 +
<center><math>\vec{a}_n=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(R\vec{\jmath}\right)\right)= \left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(-R\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{\imath}\right)=-\frac{C\pi R}{2}\vec{\jmath}</math></center>
 +
 +
==Movimiento circular==
 +
Una partícula describe un movimiento circular uniforme tal que en <math>t=0</math> pasa por el origen de coordenadas con velocidad <math>\vec{v}=2\vec{\imath}+8\vec{\jmath}+16\vec{k}</math> (m/s) y con aceleración <math>\vec{a}=4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}</math> (m/s&sup2;).
 +
 +
===Pregunta 1===
 +
¿Cuál es la posición del centro de curvatura, <math>\vec{r}_c</math>?
 +
 +
:* '''A''' <math>(16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k})</math>&thinsp;m
 +
:* '''B''' <math>(4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k})</math>&thinsp;m
 +
:* '''C''' <math>(36\vec{\imath}+63\vec{\jmath}-36\vec{k})</math>&thinsp;m
 +
:* '''D''' <math>\vec{0}</math>&thinsp;m
 +
;Solución
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">A<span>'''.
 +
 +
En este instante, la aceleración es puramente normal
 +
 +
<center><math>\vec{v}\cdot\vec{a}=2\cdot 4+8\cdot 7-16\cdot 4 = 0</math></center>
 +
 +
por lo que el vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración
 +
 +
<center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}=\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}</math></center>
 +
 +
La rapidez en este instante es
 +
 +
<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{2^2+8^2+16^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=18\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
 +
 +
y el radio de curvatura vale
 +
 +
<center><math>R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{324}{9}=36\,\mathrm{m}</math></center>
 +
 +
por lo que el centro de curvatura se encuentra en
 +
 +
<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}+36\left(\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}\right)=(16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k})\mathrm{m}</math></center>
 +
===Pregunta 2===
 +
¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre <math>t=0</math>&thinsp;s y <math>t=4\pi</math>&thinsp;s?
 +
 +
:* '''A''' No hay información suficiente para saberlo.
 +
:* '''B''' <math>\vec{0}</math>&thinsp;m
 +
:* '''C''' 36&thinsp;m
 +
:* '''D''' 72&pi;&thinsp;m
 +
;Solución
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
 +
 +
La rapidez de una partícula que describe un movimiento circular uniforme es igual a
 +
 +
<center><math>|\vec{v}|=\omega R</math></center>
 +
 +
y el periodo de revolución
 +
 +
<center><math>T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi R}{|\vec{v}|}</math></center>
 +
 +
En este caso
 +
 +
<center><math>T=\frac{2\pi\times 36\,\mathrm{m}}{18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\pi\,\mathrm{s}
 +
</math></center>
 +
 +
Por tanto, el intervalo que se da es justamente un periodo completo, al final del cual la partícula se encuentra en el mismo punto que al principio y el desplazamiento es nulo.
 +
 +
==Movimiento en polares==
 +
Una partícula se mueve en el plano de forma que en todo momento sus coordenadas polares verifican
 +
 +
<center><math>\rho(t)=\frac{A}{t}\qquad\qquad \theta(t)=B t^2</math></center>
 +
 +
con <math>A</math> y <math>B</math> constantes. Para esta partícula es constante&hellip;
 +
 +
:* '''A''' la aceleración
 +
:* '''B''' la componente radial de la velocidad.
 +
:* '''C''' la componente acimutal de la velocidad.
 +
:* '''D''' la rapidez.
 +
 +
;Solución
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
 +
 +
La velocidad, expresada en polares, es de la forma
 +
 +
<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta</math></center>
 +
 +
siendo en este caso
 +
 +
<center><math>\vec{v}=-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+\frac{A}{t}(2Bt)\vec{u}_\theta=
 +
-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+2AB\vec{u}_\theta</math></center>
 +
 +
Vemos que la componente acimutal de la velocidad es una constante, <math>2AB</math>.
 +
 +
La rapidez y la aceleración no son constantes, como se comprueba sustituyendo en la fórmulas
 +
 +
<center><math>|\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}</math></center>
 +
 +
y
 +
 +
<center><math>\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta</math></center>
 +
 +
==Triedro de Frenet==
 +
En el movimiento de una partícula, en un instante dado el vector tangente a la trayectoria es
 +
<math>
 +
\vec{T}=0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}
 +
</math>
 +
 +
===Pregunta 1===
 +
¿Cuál de los siguientes vectores puede ser el vector normal, <math>\vec{N}</math>, de dicho movimiento?
 +
 +
:* '''A''' <math>\vec{N}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}</math>
 +
:* '''B''' <math>\vec{N}=0.48\vec{\imath}+0.80\vec{\jmath}+0.36\vec{k}</math>
 +
:* '''C''' <math>\vec{N}=0.24\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}+0.18\vec{k}</math>
 +
:* '''D''' <math>\vec{N}=0.80\vec{\imath}+0.50\vec{\jmath}+0.60\vec{k}</math>
 +
 +
;Solución
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
 +
 +
El vector normal debe ser unitario y ortogonal a <math>\vec{T}</math>. El único unitario es el de la opción B.
 +
 +
===Pregunta 2===
 +
Y dados los vectores <math>\vec{T}</math> y <math>\vec{N}</math> anteriores, ¿cuál puede ser el vector binormal, <math>\vec{B}</math>?
 +
 +
:* '''A''' <math>\vec{B}=-0.80\vec{\imath}+0.60\vec{k}</math>
 +
:* '''B''' <math>\vec{B}=-0.60\vec{\imath}+0.80\vec{k}</math>
 +
:* '''C''' <math>\vec{B}=0.60\vec{\imath}-0.80\vec{k}</math>
 +
:* '''D''' <math>\vec{B}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}</math>
 +
;Solución
 +
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">B<span>'''.
 +
 +
Se calcula como
 +
 +
<center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>
 +
 +
lo que da
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<center><math>\vec{B}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.64 & -0.60 & 0.48 \\ 0.48 & 0.80 & 0.36 \end{matrix}\right|=\left\{\begin{array}{rc}\left(-0.60\times 0.36-0.48\times 0.80\right)\vec{\imath} & +  \\ \left(0.48\times 0.48-0.64\times 0.36\right)\vec{\jmath}& + \\ \left(0.64\times 0.80+0.60\times 0.48\right)\vec{k}&\end{array}\right\}=-0.60\vec{\imath}+0\vec{\jmath}+0.80\vec{k}</math></center>
[[Categoría:Preguntas de test de Física I (GIE)]]
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última version al 19:13 10 nov 2020

Contenido

1 Posición de una partícula

La posición de una partícula se describe según las siguientes ecuaciones horarias

x=A \cos⁡(2\Omega t)-2A \cos^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad y=A\cos⁡(2\Omega t)-2A\,\mathrm{sen}^2⁡(\Omega t)\qquad\qquad z=0

¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?

  • A Circular.
  • B Parabólico.
  • C Armónico simple.
  • D Está en reposo.
Solución

La respuesta correcta es la C.

2 Movimiento circular

Una partícula describe el movimiento circular de ecuación, en el SI,

\vec{r}(t)=5\cos⁡(5t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{\jmath}+4\,\mathrm{sen}⁡(5t)\vec{k}

2.1 Pregunta 1

La velocidad angular de este movimiento vale, en rad/s

  • A \vec{\omega}=-4\vec{\jmath}+3\vec{k}.
  • B \vec{\omega}=5\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+4\vec{k}.
  • C \vec{\omega}=5.
  • D \vec{\omega}=5\vec{k}.
Solución

La respuesta correcta es la A.

2.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el radio de este movimiento circular, en m?

  • A \sqrt{10}.
  • B 50.
  • C 5.
  • D No hay información suficiente para determinarlo.
Solución

La respuesta correcta es la C.

3 Vector tangente constante

De un movimiento de una partícula sabemos que el vector tangente es constante. Podemos asegurar que este movimiento es…

  • A Uniforme.
  • B Rectilíneo.
  • C Circular.
  • D Helicoidal.
Solución

La respuesta correcta es la B.

4 Ángulo entre velocidad y aceleración

Una partícula se mueve de forma que en un instante dado su aceleración y su velocidad forman un ángulo de 3π / 4. En ese momento la partícula…

  • A está cambiando su dirección pero manteniendo constante su rapidez.
  • B esta frenando, pero manteniendo su dirección de movimiento.
  • C está frenando y cambiando su dirección.
  • D está acelerando mientras cambia su dirección.
Solución

La respuesta correcta es la C.

La aceleración normal no es nula

a_n=\left|\vec{a}\right|\mathrm{sen}(\alpha)=\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}

por lo que la dirección está cambiando.

También es distinta de cero la aceleración tangencial

a_t=\left|\vec{a}\right|\mathrm{cos}(\alpha)=-\frac{|\vec{a}|}{\sqrt{2}}

Al ser negativa, quiere decir que la rapidez está disminuyendo y por tanto la partícula está frenando.

5 Movimiento oscilatorio sobre circunferencia

Una partícula se mueve sobre la circunferencia, expresada en polares y en el SI, ρ = 1.00m, siguiendo la ley horaria

\theta = \pi \cos(\pi t)\qquad \forall t

con θ el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX positivo.

5.1 Pregunta 1

La aceleración angular en t = (1/3)s vale aproximadamente, en rad/s²,…

  • A -4.93\vec{k}
  • B -8.54\vec{k}
  • C -15.5\vec{k}
  • D +8.54\vec{k}
Solución

La respuesta correcta es la C.

En el caso de un movimiento circular en el plano XY con centro el origen de coordenadas, la aceleración angular es un vector en la dirección del eje OZ y cuya componente vertical es igual a la segunda derivada del ángulo θ respecto al tiempo

\vec{\alpha}=\ddot{\theta}\vec{k}

En este caso

\vec{\omega} = \dot{\theta}\vec{k}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)\vec{k}\qquad\qquad \vec{\alpha} = -\pi^3\cos(\pi t)\vec{k}

En t = (1 / 3)s, su valor es

\vec{\alpha}(t=1/3) = \left(-\pi^3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-\frac{\pi^3}{2}\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}=\left(-15.5\vec{k}\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^2}

5.2 Pregunta 2

Para este mismo movimiento, la velocidad lineal cuando pasa por θ = 0 es…

  • A \pm(9.86\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • B nula.
  • C \pm (3.14 \vec{\imath})\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • D (9.86 \vec{u}_\rho)\mathrm{m}/\mathrm{s}.
Solución

La respuesta correcta es la A.

A la respuesta correcta se puede llegar sin hacer ningún cálculo.

Al pasar por el origen la velocidad no es nula, sino máxima como ocurre siempre en el punto de equilibrio de un movimiento oscilatorio. Esto descarta la respuesta B.

Asimismo, la velocidad lineal es siempre tangente a la trayectoria. En θ = 0 la circunferencia tiene tangente vertical, que es la dirección de \vec{\jmath}. Por lo tanto no puede ser correcta la respuesta C ni la D (perpendiculares ambas a la circunferencia).

Esto nos deja solo con la opción A, que es la correcta.

Podemos, no obstante, calcular la velocidad lineal en ese punto.

La velocidad lineal en un movimiento circular la podemos calcular a partir de la velocidad angular y el vector de posición

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}

Cuando la partícula pasa por θ = 0 su posición es

\vec{r}=R\vec{\imath}

por lo que

\vec{v}=\omega R\vec{\jmath}

La velocidad lineal, que es siempre tangente a la trayectoria, va en la dirección paralela al eje Y para este punto. No obstante, podría ser nula, por lo que debemos calcular el valor de la velocidad angular.

\omega = \dot{\theta}=-\pi^2\mathrm{sen}(\pi t)

La partícula pasa por θ = 0 cuando

\pi\cos(\pi t) = 0 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{1}{\pi}\arccos(0) = \left(\frac{\pi/2+ n\pi}{\pi}\right)\mathrm{s}=\left(\frac{1}{2}+n\right)\mathrm{s}

Para estos instantes

\omega = -\pi^2\mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=\pm \pi^2\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

El signo depende del valor de n. Si n es par es negativo, y positivo si es impar. De aquí nos quedan los valores para la velocidad

\vec{v}=\left(\pm \pi^2\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= \left(\pm 9.87\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
Archivo:movimiento-circular-oscilatorio.gif

Este resultado se puede visualizar observando que el movimiento que realiza la partícula es oscilatorio en la coordenada θ, esto es, es análogo a un movimiento armónico simple, pero sobre una circunferencia en lugar de en línea recta. El punto θ = 0 corresponde al punto central de la oscilación, en el que la velocidad es máxima, pudiendo ir en un sentido o en el opuesto.

5.3 Pregunta 3

Para el mismo movimiento, indique cuál de las siguientes figuras representa la velocidad y la aceleraciones lineales en t = (1/3)s.

Archivo:va-circular-oscilatorio-01.png Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png
A B
Archivo:va-circular-oscilatorio-03.png Archivo:va-circular-oscilatorio-04.png
C D
Solución

La respuesta correcta es la B.

En principio las cuatro figuras corresponden a situaciones posibles del movimiento circular, por lo que sería necesario hallar cuánto vale la velocidad y la aceleración en el instante indicado para discernir entre las cuatro posibilidades.

Sin embargo, no es necesario. Nos basta con determinar la posición en el instante indicado. Cuando t = (1/3)\,\mathrm{s}

\theta=\pi\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{2}

es decir, la partícula se encuentra en

\vec{r}=R\cos(\theta)\vec{\imath}+R\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}=(1.00\,\vec{\jmath})\,\mathrm{m}

y hay una sola figura correspondiente a esta posición:

Archivo:va-circular-oscilatorio-02.png

Podemos, no obstante, hallar la velocidad y la aceleración para este punto. Usando las expresiones en coordenadas polares se llega a que

\vec{v}=8.55\,\mathrm{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad \vec{a}=\left(15.5\vec{\imath}-73.1\,\vec{\jmath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Este punto corresponde al primer cuarto de periodo. En él la rapidez está aumentando, y por tanto la aceleración tangencial es positiva. La aceleración normal es no nula y va hacia adentro de la circunferencia. Ello nos da el resultado de la figura.

6 Lanzamiento horizontal desde una torre

Una partícula se lanza horizontalmente con una rapidez de 8.0 m/s desde una torre de 20.0 m de altura, estando sometida exclusivamente a la aceleración de la gravedad.

6.1 Pregunta 1

¿Cuánto tarda aproximadamente en impactar con el suelo y a qué distancia de la torre lo hace?

  • A 0.8 s y 6.4 m
  • B 2.5 s y 20 m
  • C 1.4 s y 11 m
  • D 2.0 s y 16 m
Solución

La respuesta correcta es la D.

El movimiento de una partícula sometida exclusivamente a la acción de la gravedad es un movimiento parabólico, cuya ecuación horaria es

\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{g}t^2

donde

\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k}\qquad \vec{g}=-g\vec{k}\qquad\vec{r}_0 = h\vec{k}\qquad\vec{v}_0 = v_0\vec{\imath}

lo que nos da

\vec{r}=x\vec{\imath}+z\vec{k} = h\vec{k}+v_0t\vec{\imath}-\frac{1}{2}gt^2\vec{k}

Separando por componentes

x = v_0 t\qquad\qquad z = h -\frac{1}{2}gt^2

El movimiento es una superposición de un movimiento uniforme en la dirección horizontal con uno uniformemente acelerado en la vertical.

El impacto se produce cuando la altura se hace igual a 0.

0 = z = h - \frac{1}{2}gt^2\qquad\Rightarrow\qquad t = \sqrt{\frac{2h}{g}}= \sqrt{\frac{2\cdot 20\,\mathrm{m}}{9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{m}^2}} = 2.0\,\mathrm{s}

La distancia de la torre a la cual impacta la da el desplazamiento horizontal en el mismo tiempo

x_i = v_0 t_i = v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}=16\,\mathrm{m}

6.2 Pregunta 2

¿Con qué rapidez impacta con el suelo?

  • A 8.0 m/s
  • B 21.4 m/s
  • C 19.8 m/s
  • D -19.8 m/s
Solución

La respuesta correcta es la B.

La velocidad con la que se mueve la partícula en cada instante es

\vec{v}=\vec{v}_0+\vec{g}t = v_0\vec{\imath}-gt\vec{k}

En el momento del impacto esta velocidad vale

\vec{v}_i = v_0\vec{\imath}-g\sqrt{\frac{2h}{g}}\vec{k}=v_0\vec{\imath}-\sqrt{2gh}\vec{k}=\left(8.0\vec{\imath}-19.8\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La rapidez con la que impacta la masa es el módulo de esta velocidad

|\vec{v}|=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{8.0^2+19.8^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 21.4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

7 Estudio de magnitudes instantáneas

En un instante dado, una partícula ocupa la posición \vec{r}=(5.00\vec{k})\,\mathrm{m}, tiene una velocidad \vec{v}=(4.00\vec{\jmath}+3.00\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y una aceleración \vec{a}=(-2.50\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

7.1 Pregunta 1

¿Cuánto valen en dicho instante su aceleración tangencial y su aceleración normal, medidas en m/s²?

  • A at = 0.00 y an = 2.50
  • B at = 2.00 y an = 1.50
  • C at = − 2.50 y an = 0.00
  • D at = − 1.50 y an = 2.00
Solución

La respuesta correcta es la D.

No podemos hallar la aceleración tangencial como la derivada de la rapidez, ya que la conocemos en un solo instante. En su lugar, calculamos esta componente como la proyección sobre la velocidad. En forma escalar

a_t = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}

Siendo la rapidez

|\vec{v}| = \sqrt{4.00^2+3.00^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y

\vec{a}\cdot\vec{v}=\left(0\cdot 0+0\cdot 4.00+(-2.50)\cdot 3.00\right)\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=-7.50\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}

Así obtenemos

a_t = -\frac{7.50}{5.00}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=-1.50\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Con esto ya tenemos la respuesta correcta, pues hay solo una con este valor, la D.

No obstante, podemos hallar la aceleración normal escalar

a_n = \sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{2.50^2-(1.50)^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=2.00\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

7.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale el radio de curvatura en dicho instante?

  • A R = 10.0 m
  • B R \to\infty\,
  • C R = 16.7 m
  • D R = 12.5 m
Solución

La respuesta correcta es la D.

Una vez que tenemos la rapidez y la aceleración normal calculamos el radio de curvatura

R = \frac{|\vec{v}|^2}{a_n}= \frac{(5.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^2}{2.00\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2}\,\mathrm{m}=12.5\,\mathrm{m}

7.3 Pregunta 3

¿Cuál es su posición en m y su velocidad en m/s un tiempo Δt = 10 s más tarde?

  • A \vec{r}= 40\vec{\jmath}-90\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}.
  • B \vec{r}=40\vec{\jmath}+35\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}-22\vec{k}.
  • C \vec{r}= 40\vec{\jmath}-95\vec{k} y \vec{v}=4\vec{\jmath}+3\vec{k}.
  • D No hay información suficiente para calcularlas.
Solución

La respuesta correcta es la D.

Para hallar la posición en un instante posterior no nos basta con los datos de la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado. No sabemos cómo cambian en el tiempo estas cantidades y por tanto no disponemos de información suficiente para responder a esta pregunta.

8 Caso de aceleración tangencial constante

Una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia de radio R en el plano OXY con centro el origen, de forma que su aceleración tangencial es constante. En este movimiento la aceleración normal…

  • A aumenta cuadráticamente con el tiempo, an = At2 + Bt + C
  • B puede tener cualquier valor y cualquier variación
  • C es constante.
  • D aumenta linealmente con el tiempo, an = At + B
Solución

La respuesta correcta es la A.

Si la aceleración tangencial es constante, quiere decir que la rapidez varía linealmente con el tiempo

\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=a_t =\mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{v}| = v_0+ a_t t

y por tanto la aceleración normal aumenta cuadráticamente con el tiempo

a_n = \frac{|\vec{v}|^2}{R} = \frac{(v_0+a_tt)^2}{R}=\frac{a_t^2}{R}t^2+\frac{2v_0a_t}{R}t+\frac{v_0^2}{R} = At^2+B t + C

9 Varillas que giran en sentidos opuestos

Se tiene una pequeña anilla P ensartada en la intersección de dos barras situadas en el plano XY: una pasa por el origen de coordenadas, girando uniformemente con velocidad angular Ω; la otra gira en sentido opuesto con la misma velocidad angular en valor absoluto en torno a un punto del eje OX situado a una distancia L del origen. En t = 0 ambas barras coinciden con el propio eje OX

Archivo:varillas-rotatorias-simetricas.png

9.1 Pregunta 1

¿Qué trayectoria sigue la anilla?

  • A Circular
  • B Parabólica
  • C Rectilínea
  • D Helicoidal
Solución

La respuesta correcta es la C.

Las dos varillas giran con la misma velocidad angular pero en sentidos opuestos, partiendo ambas del valor 0. Esto quiere decir que en todo instante, los ángulos en O y en A son iguales y el triángulo OPA es isósceles. Por tanto, el punto P se encuentra siempre sobre el punto medio de la base y su movimiento es estrictamente vertical.

Archivo:varillas-opuestas.gif

Analíticamente podemos ver que si la partícula se encuentra en

\vec{r} = x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}

debe cumplirse

\frac{y}{x}=\mathrm{tg}(\Omega t)\qquad\qquad \frac{y}{L-x}=\mathrm{tg}(\Omega t)

y por tanto

\frac{y}{x}=\frac{y}{L-x}\qquad \Rightarrow\qquad x = \frac{L}{2}\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)

Vemos que efectivamente la anilla asciende por la recta x = L/2. Su ecuación horaria es

\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}

9.2 Pregunta 2

¿Cuales son las ecuaciones horarias de P en coordenadas polares?

  • A \rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t
  • B \rho = (L/2)\cos(\Omega t)\qquad \theta = \Omega t
  • C \rho = L\tan(\Omega t)/2\qquad \theta = \Omega t
  • D \rho = L/2\qquad \theta = \Omega t
Solución

La respuesta correcta es la A.

Para pasar de cartesianas a polares tenemos las relaciones

x = \rho\cos(\theta)\qquad \qquad y = \rho\,\mathrm{sen}(\theta)

y sus opuestas

\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)
Archivo:varilla-rotatoria-triangulo.png

En este caso evidentemente el ángulo θ coincide con el ángulo θ

θ = θ = Ωt

mientras que ρ es la hipotenusa de un triángulo cuyo cateto contiguo mide L/2

\rho = \frac{x}{\cos(\theta)} = \frac{L/2}{\cos(\Omega t)}

(o directamente a partir de la raíz cuadrada por el teorema de Pitágoras).

Las coordenadas polares de la anilla son entonces

\rho = L/(2\cos(\Omega t))\qquad \theta = \Omega t

9.3 Pregunta 3

¿Cuánto vale su aceleración como función del tiempo?

  • A \vec{a}=(L\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)/\cos(\Omega t))\vec{\jmath}
  • B \vec{a}=(L\Omega^2\,\mathrm{sen}(\Omega t)/\cos^3(\Omega t))\vec{\jmath}
  • C \vec{a}=(L\Omega^2/\cos^3(\Omega t))(\cos(\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath})
  • D \vec{a}=\vec{0}
Solución

La respuesta correcta es la B.

Podemos responder a esta pregunta sin necesidad de calcular la aceleración.

La partícula se mueve de forma no uniforme, por lo que su aceleración no es nula. Esto descarta la respuesta D.

La anilla describe un movimiento rectilíneo en todo momento, por lo que la velocidad y la aceleración llevan la dirección de la recta de movimiento, que tiene la dirección de \vec{\jmath}. Por ello la respuesta C no puede ser correcta.

Quedan las opciones A y B. La aceleración tiene dimensiones de L/T², pero la opción de la respuesta A tiene dimensiones de longitud solamente, por lo que no puede ser correcta. Por tanto, solo queda la opción B.

Veamos que efectivamente es así calculando la aceleración. Teníamos que

\vec{r}=\frac{L}{2}\vec{\imath}+\frac{L}{2}\mathrm{tg}(\Omega t)\vec{\jmath}

Calculamos la velocidad derivando una vez respecto al tiempo

\vec{v}=\frac{L\Omega}{2\cos^2(\Omega t)}\vec{\jmath}

y derivando otra vez obtenemos la aceleración

\vec{a}=\frac{L\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)}{\cos^3(\Omega t)}\vec{\jmath}

10 Estudio de movimiento instantáneo

En un instante dado una partícula se encuentra en \vec{r}_1=2\vec{\imath}-3\vec{k} (m), moviéndose con velocidad \vec{v}_1 = -3\vec{\imath}+4\vec{\jmath} (m/s)y aceleración \vec{a}_1 = 25\vec{\jmath}-20\vec{k} (m/s²). En ese instante…

10.1 Pregunta 1

¿cuánto vale la aceleración tangencial (escalar)?

  • A Necesitamos conocer como varía |\vec{v}| con el tiempo.
  • B 20 m/s²
  • C (-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • D 0 m/s²
Solución

La respuesta correcta es la B.

La aceleración tangencial la calculamos proyectando la aceleración sobre la velocidad

a_t=\frac{\vec{a}_1\cdot\vec{v}_1}{|\vec{v}|}

siendo la rapidez

|\vec{v}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=5\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Esto da

a_t = \frac{0\cdot(-3)+25\cdot 4-20\cdot 0}{5}\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=20\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

10.2 Pregunta 2

¿cuánto vale la aceleración normal (vector)?

  • A \vec{0}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • B 25 m/s²
  • C (12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
  • D (-12\vec{\imath}+16\vec{\jmath})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2
Solución

La respuesta correcta es la C.

Podemos calcular la aceleración normal sin necesidad de hallar la tangencial calculando la componente ortogonal de la aceleración

\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}

El primer producto vectorial vale

\vec{v}_1\times\vec{a}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -3 & 4 & 0 \\ 0 & 25 & -20\end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=(-80\vec{\imath}-60\vec{\jmath}-75\vec{k})\frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}

y el segundo

(\vec{v}_1\times\vec{a}_1)\times\vec{v}_1=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -80 & -60 & -75 \\ -3 & 4 & 0 \end{matrix}\right|\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}=(300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k})\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{s}^4}

y obtenemos finalmente

\vec{a}_n = \frac{300\vec{\imath}+225\vec{\jmath}-500\vec{k}}{25}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=\left(12\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-20\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

10.3 Pregunta 3

¿cuánto vale el radio de curvatura?

  • A 1.25 m.
  • B 1 m.
  • C No hay información suficiente para hallarlo.
  • D 0.80 m.
Solución

La respuesta correcta es la A.

El radio de curvatura lo podemos calcular con la expresión

R=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{(5\,\mathrm{m}/\mathrm{s})^3}{\sqrt{(-80)^2+(-60^2)+(-75)^2}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}^3}=\frac{125}{125}\mathrm{m}=1\,\mathrm{m}

11 Movimiento circular en función del ángulo

Una partícula describe un movimiento circular de radio R en el plano XY alrededor del origen de coordenadas de forma que su velocidad angular cumple en cada instante

\vec{\omega}=\left(\sqrt{C\theta}\right)\vec{k}

siendo C una constante positiva y θ = θ(t) el ángulo que el vector de posición forma con el eje OX. La partícula parte en t = 0 desde θ = π / 2.

11.1 Pregunta 1

¿Qué tipo de movimiento describe esta partícula?

  • A Circular uniformemente acelerado.
  • B Oscilatorio a lo largo de la circunferencia.
  • C Uno con aceleración angular que va como 1/\sqrt{\theta}
  • D Circular uniforme.
Solución

La respuesta correcta es la A.

Este problema es la versión circular de uno rectilíneo.

Para identificar el movimiento calculamos su aceleración angular. Esta se define como la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}

siendo

\vec{\omega}=\omega\vec{k}\qquad\qquad \omega = \sqrt{C\theta}

En este caso tenemos la velocidad angular como función del ángulo por lo que aplicamos la regla de la cadena

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}

pero

\dot{\theta}=\omega

así que la aceleración angular equivale a

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}\theta}\omega\vec{k}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{\omega^2}{2}\right)\vec{k}

Elevando al cuadrado

\frac{1}{2}\omega^2 = \frac{1}{2}C\theta

así que queda

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}\theta}\left(\frac{C\theta}{2}\right)\vec{k}=\frac{C}{2}\vec{k}

La aceleración angular es constante y por tanto el movimiento es circular uniformemente acelerado.

11.2 Pregunta 2

En este movimiento, ¿son constantes las aceleraciones tangencial y normal (escalares)?

  • A La tangencial sí, pero la normal no.
  • B Las dos son constantes.
  • C No son constantes ni una ni la otra.
  • D La normal sí, pero la tangencial no.
Solución

La respuesta correcta es la A.

La aceleración tangencial (tangencial) en un movimiento circular es igual a

a_t=\alpha R\,

En este caso sabemos que la aceleración angular es constante, por lo que la tangencial también lo es

a_t = \frac{CR}{2}\,

La aceleración normal, en cambio, aumenta al crecer la velocidad angular

a_n =\omega^2R\,

Por tanto en este movimiento la aceleración tangencial (escalar) es constante y la normal no.

11.3 Pregunta 3

¿Cuánto vale la aceleración lineal de la partícula en t = 0?

  • A (C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}
  • B (CR/2)\vec{k}
  • C -(C R/2)\vec{\imath}
  • D -(C R/2)\vec{\imath}-(RC\pi/2)\vec{\jmath}
Solución

La respuesta correcta es la D.

En t = 0 la partícula se encuentra en θ = π / 2, esto quiere decir que su vector de posición instantáneo es

\vec{r} = R\vec{\jmath}

Para este punto la velocidad angular es

\vec{\omega}=\sqrt{C\theta}\vec{k}=\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}

y la aceleración angular

\vec{\alpha}=\frac{C}{2}\vec{k}

Con todo esto, podemos calcular la aceleración mediante la fórmula

\vec{a}=\vec{\alpha}\times\vec{r}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})

El primer término, el vector aceleración tangencial vale

\vec{a}_t=\vec{\alpha}\times\vec{r}=\left(\frac{C}{2}\vec{k}\right)\times(R\vec{\jmath})=-\frac{CR}{2}\vec{\imath}

y el segundo, la aceleración normal

\vec{a}_n=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{r})=\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(\left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(R\vec{\jmath}\right)\right)= \left(\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{k}\right)\times\left(-R\sqrt{\frac{C\pi}{2}}\vec{\imath}\right)=-\frac{C\pi R}{2}\vec{\jmath}

12 Movimiento circular

Una partícula describe un movimiento circular uniforme tal que en t = 0 pasa por el origen de coordenadas con velocidad \vec{v}=2\vec{\imath}+8\vec{\jmath}+16\vec{k} (m/s) y con aceleración \vec{a}=4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k} (m/s²).

12.1 Pregunta 1

¿Cuál es la posición del centro de curvatura, \vec{r}_c?

  • A (16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k}) m
  • B (4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}) m
  • C (36\vec{\imath}+63\vec{\jmath}-36\vec{k}) m
  • D \vec{0} m
Solución

La respuesta correcta es la A.

En este instante, la aceleración es puramente normal

\vec{v}\cdot\vec{a}=2\cdot 4+8\cdot 7-16\cdot 4 = 0

por lo que el vector normal es el unitario en la dirección y sentido de la aceleración

\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}= \frac{4\vec{\imath}+7\vec{\jmath}-4\vec{k}}{\sqrt{4^2+7^2+4^2}}=\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}

La rapidez en este instante es

|\vec{v}|=\sqrt{2^2+8^2+16^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=18\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y el radio de curvatura vale

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{324}{9}=36\,\mathrm{m}

por lo que el centro de curvatura se encuentra en

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=\vec{0}+36\left(\frac{4}{9}\vec{\imath}+\frac{7}{9}\vec{\jmath}-\frac{4}{9}\vec{k}\right)=(16\vec{\imath}+28\vec{\jmath}-16\vec{k})\mathrm{m}

12.2 Pregunta 2

¿Cuál es el desplazamiento de la partícula entre t = 0 s y t = 4π s?

  • A No hay información suficiente para saberlo.
  • B \vec{0} m
  • C 36 m
  • D 72π m
Solución

La respuesta correcta es la B.

La rapidez de una partícula que describe un movimiento circular uniforme es igual a

|\vec{v}|=\omega R

y el periodo de revolución

T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi R}{|\vec{v}|}

En este caso

T=\frac{2\pi\times 36\,\mathrm{m}}{18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\pi\,\mathrm{s}

Por tanto, el intervalo que se da es justamente un periodo completo, al final del cual la partícula se encuentra en el mismo punto que al principio y el desplazamiento es nulo.

13 Movimiento en polares

Una partícula se mueve en el plano de forma que en todo momento sus coordenadas polares verifican

\rho(t)=\frac{A}{t}\qquad\qquad \theta(t)=B t^2

con A y B constantes. Para esta partícula es constante…

  • A la aceleración
  • B la componente radial de la velocidad.
  • C la componente acimutal de la velocidad.
  • D la rapidez.
Solución

La respuesta correcta es la C.

La velocidad, expresada en polares, es de la forma

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta

siendo en este caso

\vec{v}=-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+\frac{A}{t}(2Bt)\vec{u}_\theta=
-\frac{A}{t^2}\vec{u}_\rho+2AB\vec{u}_\theta

Vemos que la componente acimutal de la velocidad es una constante, 2AB.

La rapidez y la aceleración no son constantes, como se comprueba sustituyendo en la fórmulas

|\vec{v}|=\sqrt{\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\theta}^2}

y

\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho+(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta

14 Triedro de Frenet

En el movimiento de una partícula, en un instante dado el vector tangente a la trayectoria es 
\vec{T}=0.64\vec{\imath}-0.60\vec{\jmath}+0.48\vec{k}

14.1 Pregunta 1

¿Cuál de los siguientes vectores puede ser el vector normal, \vec{N}, de dicho movimiento?

  • A \vec{N}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}
  • B \vec{N}=0.48\vec{\imath}+0.80\vec{\jmath}+0.36\vec{k}
  • C \vec{N}=0.24\vec{\imath}+0.40\vec{\jmath}+0.18\vec{k}
  • D \vec{N}=0.80\vec{\imath}+0.50\vec{\jmath}+0.60\vec{k}
Solución

La respuesta correcta es la B.

El vector normal debe ser unitario y ortogonal a \vec{T}. El único unitario es el de la opción B.

14.2 Pregunta 2

Y dados los vectores \vec{T} y \vec{N} anteriores, ¿cuál puede ser el vector binormal, \vec{B}?

  • A \vec{B}=-0.80\vec{\imath}+0.60\vec{k}
  • B \vec{B}=-0.60\vec{\imath}+0.80\vec{k}
  • C \vec{B}=0.60\vec{\imath}-0.80\vec{k}
  • D \vec{B}=-0.30\vec{\imath}+0.40\vec{k}
Solución

La respuesta correcta es la B.

Se calcula como

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}

lo que da

\vec{B}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 0.64 & -0.60 & 0.48 \\ 0.48 & 0.80 & 0.36 \end{matrix}\right|=\left\{\begin{array}{rc}\left(-0.60\times 0.36-0.48\times 0.80\right)\vec{\imath} & +  \\ \left(0.48\times 0.48-0.64\times 0.36\right)\vec{\jmath}& + \\ \left(0.64\times 0.80+0.60\times 0.48\right)\vec{k}&\end{array}\right\}=-0.60\vec{\imath}+0\vec{\jmath}+0.80\vec{k}

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