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Preguntas de test de cinemática del movimiento rectilíneo (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 45: Línea 45:
La velocidad media la calculamos como la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla
La velocidad media la calculamos como la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla
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<center><math>v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\int_0^(\Delta t)v\,\mathrm{d}t</math></center>
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<center><math>v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\int_0^{\Delta t}v\,\mathrm{d}t</math></center>
El desplazamiento es la integral de la velocidad instantánea,  
El desplazamiento es la integral de la velocidad instantánea,  
Línea 57: Línea 57:
y queda la velocidad media
y queda la velocidad media
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v_m=\frac{15\,\mathrm{m}}{12\,\mathrm{s}}=1.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
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<center><math>v_m=\frac{15\,\mathrm{m}}{12\,\mathrm{s}}=1.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
===Pregunta 2===
===Pregunta 2===
Línea 68: Línea 68:
;Solución:
;Solución:
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
La respuesta correcta es la '''<span style="color:red;">C<span>'''.
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La distancia recorrida es la integral de la rapidez o celeridad
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<center><math>[[Archivo:Velocidad-quebrada-03.png]]</math></center>
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<center><math>\Delta s=\int_0^{\Delta t}|v|\mathrm{d}t</math></center>
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que en este caso da
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<center><math>\Delta x = \left(\frac{1}{2}4\times 4 +2\times 4+\frac{1}{2}2\times 4\right)+\left(\frac{1}{2}1\times 2+1\times 2+\frac{1}{2}2\times 2\right)=25\,\mathrm{m}</math></center>
===Pregunta 3===
===Pregunta 3===

Revisión de 10:37 31 ago 2015

Contenido

1 Identificación de movimiento

Una partícula se mueve en línea recta, cumpliendo su velocidad instantánea

v = \sqrt{A- B x^2}

con A y B constantes positivas. La aceleración de una partícula que obedece esta ecuación es…

  • A proporcional a la posición x.
  • B nula.
  • C constante no nula.
  • D una combinación complicada de raíces cuadradas y polinomios.
Solución

La respuesta correcta es la A.

La aceleración en este movimiento vale

a=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)

siendo

v^2 = A - Bx^2\,

nos queda

a = \frac{-2Bx}{2}=-Bx

Vemos que la aceleración es proporcional a la posición. Es más, se trata de un oscilador armónico.

2 Movimiento definido a trozos

La velocidad de una partícula en un movimiento rectilíneo sigue aproximadamente la gráfica de la figura cuando se representa frente al tiempo.

2.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale aproximadamente la velocidad media entre t=0\,\mathrm{s} y t=12\,\mathrm{s}?

  • A 0.00 m/s
  • B 2.08 m/s
  • C 1.00 m/s
  • D 1.25 m/s
Solución

La respuesta correcta es la D.

La velocidad media la calculamos como la distancia recorrida dividida por el tiempo empleado en recorrerla

v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{1}{\Delta t}\int_0^{\Delta t}v\,\mathrm{d}t

El desplazamiento es la integral de la velocidad instantánea,

lo que da en este caso

\Delta x = \left(\frac{1}{2}4\times 4 +2\times 4+\frac{1}{2}2\times 4\right)-\left(\frac{1}{2}1\times 2+1\times 2+\frac{1}{2}2\times 2\right)=15\,\mathrm{m}

y queda la velocidad media

v_m=\frac{15\,\mathrm{m}}{12\,\mathrm{s}}=1.25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

2.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la distancia total recorrida por la partícula en el mismo intervalo?

  • A 15.0 m.
  • B 0.0 m
  • C 25.0 m.
  • D 12.0 m
Solución

La respuesta correcta es la C.

La distancia recorrida es la integral de la rapidez o celeridad

[[Archivo:Velocidadquebrada − 03.png]]
\Delta s=\int_0^{\Delta t}|v|\mathrm{d}t

que en este caso da

\Delta x = \left(\frac{1}{2}4\times 4 +2\times 4+\frac{1}{2}2\times 4\right)+\left(\frac{1}{2}1\times 2+1\times 2+\frac{1}{2}2\times 2\right)=25\,\mathrm{m}

2.3 Pregunta 3

De los cuatro instantes siguientes, ¿en cual la aceleración tiene el mayor valor absoluto?

  • A 0.0 s
  • B 5.0 s
  • C 8.0 s
  • D 9.5 s
Solución

La respuesta correcta es la C.

3 Cálculo de velocidad media

Una partícula describe un movimiento rectilíneo tal que su velocidad instantánea cumple la ley

v(t) = \frac{v_0T}{t}

¿Cuánto vale la velocidad media entre t = T y t = 3T?

  • A 0.667v0
  • B 0.500v0
  • C 0.549v0
  • D No hay información suficiente para determinarla.
Solución

La respuesta correcta es la C.

La velocidad media en un intervalo es igual al cociente entre el desplazamiento realizado en un intervalo y la duración de este intervalo

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}

La duración del intervalo es la diferencia entre el instante inicial final y el inicial

\Delta t = 3T-T = 2T\,

mientras que el desplazamiento es la suma de los desplazamientos infinitesimales, y por tanto igual a la integral de la velocidad instantánea

\Delta x = \int_T^{3T} v(t)\mathrm{d}t = \int_T^{3T}\frac{v_0T}{t}\mathrm{d}t = v_0T\left(\ln(3T)-\ln(T)\right)=v_0T\ln(3)

La velocidad media vale entonces

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{v_0T\ln(3)}{2T}=\frac{v_0}{2}\ln(3)

cuyo valor numérico es

v_m = \frac{\ln(3)}{2}v_0 = 0.549v_0

4 Propiedades de un m.a.s.

Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular ω, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En t = 0 pasa por la posición de equilibrio con una velocidad + v0.

4.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale la velocidad media entre t = 0 y t = T / 4, con T el periodo de oscilación?

  • A 2v0 / π
  • B Es nula.
  • C v0 / 4
  • D v0 / 2
Solución

La respuesta correcta es la A.

La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}

En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo

\Delta t = \frac{T}{4}

En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en t = 0 alcanza la máxima elongación en T / 4; en T / 2 vuelve a pasar por el origen en 3T / 4 alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en T regresa al origen, completando el ciclo.

Por tanto el desplazamiento entre t = 0 y t = T / 4 es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.

\Delta x = A\,

y la velocidad media será igual a

v_m = \frac{A}{T/4} = \frac{4A}{T}

Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.

Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es

x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior

x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale

A = \frac{v_0}{\omega}

y queda la velocidad media

v_m = \frac{4v_0}{\omega T}

pero

\omega = \frac{2\pi}{T}

lo que nos da finalmente

v_m = \frac{4v_0}{2\pi} = \frac{2}{\pi}v_0

4.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración en t = T / 4?

  • A + 4v0 / T
  • B Es nula.
  • C − 4v0 / T
  • D v0ω
Solución

La respuesta correcta es la D.

La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión

a = − ω2x

con x la posición medida respecto a la de equilibrio. En t = T / 4 la elongación es la máxima y

a(t=T/4) = -\omega^2 A = -\omega^2 \frac{v_0}{\omega} = -\omega v_0

5 Movimiento con dependencia exponencial

En un movimiento rectilíneo en el que la velocidad depende de la posición como

v = A\mathrm{e}^{\lambda x}\,

¿cuánto vale la aceleración?

  • A a = 0
  • B a = Aλeλx
  • C a = A2λex
  • C a = A2ex / 2
Solución

La respuesta correcta es la C.

Hallamos la aceleración calculando la derivada de la velocidad respecto al tiempo, lo cual se consigue aplicando la regla de la cadena

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}v

lo que da

\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=A\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\qquad\Rightarrow\qquad a = \left(A\lambda\mathrm{e}^{\lambda x}\right)\left(A\mathrm{e}^{\lambda x}\right)=A^2\lambda\mathrm{e}^{2\lambda x}

Alternativamente, podemos calcularlo directamente a partir de

a = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{v^2}{2}\right)

queda

a = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{A^2\mathrm{e}^{2\lambda x}}{2}\right) = A^2\lambda\mathrm{e}^{2\lambda x}

6 Gráfica de una aceleración

La gráfica de la figura representa la aceleración de un movimiento rectilíneo entre t = 0\,\mathrm{s} y t=12\,\mathrm{s}. La partícula parte del reposo en x = 0.

Archivo:aceleracion-recta.png

6.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale la rapidez en t=12\,\mathrm{s}?

  • A 36 m/s.
  • B Es nula.
  • C 18 m/s.
  • D 72 m/s.
Solución

La respuesta correcta es la B.

La ecuación de esta aceleración es, en el SI,

a(t) = 6-t\,

que integrada nos da la velocidad instantánea

v(t) = 6t - \frac{t^2}{2}\,

En t = 12s esta velocidad vale

v(12\,\mathrm{s}) =(72-72)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

con lo que la rapidez en ese instante es también nula. Gráficamente esto quiere decir que en la gráfica de la aceleración, el área sobre el eje equivale al área bajo él.

6.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la rapidez en t=6\,\mathrm{s}?

  • A 36 m/s.
  • B Es nula.
  • C 18 m/s.
  • D 72 m/s.
Solución

La respuesta correcta es la C.

Para este instante, en cambio

v(6\,\mathrm{s}) = (36-18)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}=18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}

que también es el valor de la rapidez en ese instante.

6.3 Pregunta 3

¿Cuál es el desplazamiento neto entre t=0\,\mathrm{s} y t=12\,\mathrm{s}?

  • A 72 m.
  • B 144 m.
  • C 0 m.
  • D -432 m.
Solución

La respuesta correcta es la B.

Para hallar el desplzamiento debemos integrar la velocidad, con el resultado

x(t) = 3t^2 -\frac{t^3}{6}

que en t=12s vale

x(12\,\mathrm{s}) = 144\,\mathrm{m}

Puesto que la posición inicial es x=0, el desplazamiento en este intervalo es

\Delta x = 144\,\mathrm{m}

7 Estudio de un m.a.s.

Una partícula describe un movimiento armónico simple alrededor de x = 0 tal que comienza en la posición de equilibrio con velocidad +0.40 m/s alcanzando el máximo alejamiento en t=2\,\mathrm{s}

7.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale la amplitud del movimiento?

  • A 0.31 m
  • B No hay información suficiente para hallarla
  • C 0.80 m
  • D 0.51 m
Solución

La respuesta correcta es la D.

Si la partícula parte de la posición de equilibrio con una cierta velocidad, la ecuación horaria es, como en una pregunta anterior

x(t)=\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

siendo la amplitud del movimiento

A = \frac{v_0}{\omega}

La frecuencia angular la obtenemos del periodo

\omega = \frac{2\pi}{T}

donde el dato que nos dan es el tiempo que tarda en alcanzar el máximo. Esto ocurre en T/4, por lo que

T = 4\times(2\mathrm{s})=8\,\mathrm{s}\qquad\qquad\omega = \frac{\pi}{4}\mathrm{s}^{-1}=0.785\,\mathrm{s}^{-1}

y queda la amplitud

A=\frac{v_0}{\omega}=\frac{0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.785\,\mathrm{s}^{-1}}=0.51\,\mathrm{m}

7.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración cuando pasa por x=+0.50\,\mathrm{m}?

  • A +0.20m/s²
  • B -0.31m/s²
  • C Es nula.
  • D −0.20m/s²
Solución

La respuesta correcta es la B.

La aceleración en un oscilador armónico es proporcional a la posición

a = -\omega^2 x\,

lo que en este caso vale

a = -\left(0.785\,\mathrm{s}^{-1}\right)^2 0.50\,\mathrm{m}=-0.31\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Es fácil ver que esta es la respuesta correcta, ya que por la ecuación del oscilador armónico, la aceleración en un punto de coordenada positiva debe ser negativa, y esta es la única solución de ese tipo.

7.3 Pregunta 3

¿Cuánto tiempo tarda en pasar por primera vez por x=+0.50\,\mathrm{m}?

  • A 1.25 s
  • B 1.76 s
  • C 0.80 s
  • D Nunca llega a esa posición.
Solución

La respuesta correcta es la B.

Volvemos a la ecuación del movimiento armónico simple para este caso

x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)

y despejamos el tiempo que tarda en llegar a una posición dada

t = \frac{1}{\omega}\mathrm{arcsen}\left(\frac{\omega x}{v_0}\right)

siendo su valor numérico

t = \frac{1}{0.785\,\mathrm{s}^{-1}}\mathrm{arcsen}\left(\frac{0.50\times 0.785}{0.40}\right) = 1.76\,\mathrm{s}

8 Velocidad cuadrática con la posición

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto v = − kx2. Su posición inicial es x(t = 0) = x0

8.1 Pregunta 1

¿Cuáles son las unidades de k en el SI

  • A 1/(m·s)
  • B m³/s
  • C m/s
  • D m/s²
Solución

La respuesta correcta es la A.

Por homogeneidad dimensional

1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[k]\left(1\,\mathrm{m}\right)^2 \qquad\Rightarrow\qquad [k]=\frac{1}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}

8.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto x?

  • A 0
  • B 2k2x3
  • C No hay información suficiente para calcularla.
  • D − 2kx
Solución

La respuesta correcta es la B.

Derivamos respecto al tiempo la velocidad, mediante la regla de la cadena

a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(-kx^2)=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad

a=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2kx(-kx^2) = 2k^2 x^3

8.3 Pregunta 3

¿Cuánto vale la posición como función del tiempo?

  • A x(t)=\displaystyle \frac{x_0}{1+kx_0t}
  • B x(t) = x0kx2t
  • C No hay información suficiente para calcularla.
  • D x(t) = x0ekt
Solución

La respuesta correcta es la A.

La velocidad es el cociente entre un desplazamiento diferencial y el intervalo que tarda en recorrerse

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v=-kx^2

Esto quiere decir que el tiempo necesario para recorrer dx es, despejando,

\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{v}=\frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}

Sumando (es decir, integrando) todos los diferenciales obtenemos el tiempo necesario para llegar a una cierta posición

\int_0^t \mathrm{d}t=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}

lo que da

t = \frac{1}{kx}-\frac{1}{kx_0}

Despejamos de aquí x y da

\frac{1}{kx}=t+\frac{1}{kx_0}=\frac{1+kx_0 t}{kx_0}\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{x_0}{1+kx_0 t}

Un método alternativo es operar a la inversa. Puesto que nos dan 4 posibles soluciones se trata de ver cuál cumple

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v=-kx^2

Derivamos la opción A

v=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{x_0}{1+kx_0 t}\right)=-\frac{kx_0^2}{(1+kx_0t)^2}

pero lo que está en el segundo miembro es igual a

v=-\frac{kx_0^2}{(1+kx_0t)^2}=-k\left(\frac{x_0}{1+kx_0 t}\right)^2 = -kx^2

Si actúamos del mismo modo con las opciones B y D no llegamos a soluciones que verifiquen la ecuación dada.

9 Fasor de un movimiento armónico

Una partícula describe un movimiento armónico simple con frecuencia angular 2 rad/s, siendo el fasor de la elongación \hat{x}=(3+4\mathrm{j})\,\mathrm{m}$. ¿Cuánto vale su velocidad inicial?

  • A No hay información suficiente para determinarla.
  • B 2 m/s
  • C −8 m/s
  • D −2 m/s
Solución

La respuesta correcta es la C.

10 Caso de movimiento armónico simple

Una partícula describe el movimiento armónico simple de ecuación horaria, en el SI,

x = 12\cos(2t)-5\,\mathrm{sen}(2t)

10.1 Pregunta 2

¿Cuanto vale la amplitud de las oscilaciones?

  • A 13 m.
  • B 12 m.
  • C 5 m.
  • D 7 m.
Solución

La respuesta correcta es la A.

10.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la velocidad inicial?

  • A −24 m/s.
  • B −2.5 m/s.
  • C −5 m/s.
  • D −10 m/s.
Solución

La respuesta correcta es la D.

11 Movimiento conocida la velocidad

Una partícula describe un movimiento rectilíneo cuya velocidad, como función del tiempo entre t=0\,\mathrm{s} y t=10\,\mathrm{s} es la de la figura

11.1 Pregunta 1

¿Cuánto vale, aproximadamente, el desplazamiento neto en el intervalo [0 s,10 s]?

  • A 30 m.
  • B 9 m.
  • C 5 m
  • D 13 m.
Solución

La respuesta correcta es la C.

11.2 Pregunta 2

¿En qué intervalos, en s, la partícula está frenando?

  • A en 5<t<10.
  • B en 0<t<2 y 5<t<8
  • C en 2<t<5 y 8<t<10
  • D en 0<t<2 y 8<t<10
Solución

La respuesta correcta es la B.

12 Velocidad a partir de fasor

El fasor de la posición de una partícula que describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular 2 rad/s es \hat{x}=2-\mathrm{j}. ¿Cuánto vale su velocidad como función del tiempo?

  • A 2\cos(2t)+\,\mathrm{sen}(2t)
  • B -4\,\mathrm{sen}(2t)+2\cos(2t)
  • C 4\cos(2t)+2\,\mathrm{sen}(2t)
  • D 2\,\mathrm{sen}(2t)+\mathrm{cos}(2t)
Solución

La respuesta correcta es la B.

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