Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Potencial y campo en el centro de una semicorona esférica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Campo eléctrico en el punto O)
Línea 8: Línea 8:
-
===Solución===
+
==Potencial en el punto O==
-
 
+
-
===Potencial en el punto O===
+
Escogemos un sistema de coordenadas esféricas, de modo que el origen está en el punto O y el plano XY contiene a los puntos A y B. De este modo el volumen cargado esta definido por las coordenadas
Escogemos un sistema de coordenadas esféricas, de modo que el origen está en el punto O y el plano XY contiene a los puntos A y B. De este modo el volumen cargado esta definido por las coordenadas
<center>
<center>
Línea 16: Línea 14:
R\leq r\leq 2R\\
R\leq r\leq 2R\\
0\leq \theta \leq \pi/2\\
0\leq \theta \leq \pi/2\\
-
0\leq \phi \leq2\pi
+
0\leq \varphi \leq2\pi
\end{array}</math>
\end{array}</math>
</center>
</center>
-
El sistema tiene simetría en <math>\phi</math>, pero no en <math>\theta</math>. Por tanto '''no se puede usar la ley de Gauss con superficies esféricas para calcular el campo eléctrico.''' Hay que recurrir a la integración directa. El potencial eléctrico creado por una distibución con densidad de carga <math>\rho</math> en un punto <math>\mathbf{r}</math> es
+
El sistema tiene simetría en <math>\varphi</math>, pero no en <math>\theta</math>. Por tanto '''no se puede usar la ley de Gauss con superficies esféricas para calcular el campo eléctrico.''' Hay que recurrir a la integración directa. El potencial eléctrico creado por una distibución con densidad de carga <math>\rho</math> en un punto <math>\mathbf{r}</math> es
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 31: Línea 29:
\frac{\mathrm{d}\tau'}{r'}</math>
\frac{\mathrm{d}\tau'}{r'}</math>
</center>
</center>
-
En coordenadas esféricas <math>\mathrm{d}\tau'=r'^2\mathrm{sen}\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\phi'</math>. Teniendo en cuenta los límites de integración expresados más arriba, el potencial en O es
+
En coordenadas esféricas <math>\mathrm{d}\tau'=r'^2\mathrm{sen}\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\varphi'</math>. Teniendo en cuenta los límites de integración expresados más arriba, el potencial en O es
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 38: Línea 36:
</center>
</center>
-
===Trabajo para llevar una carga desde A hasta B===
+
==Trabajo para llevar una carga desde A hasta B==
El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos en el eseno del campo producido por la semicorona es
El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos en el eseno del campo producido por la semicorona es
<center>
<center>
Línea 54: Línea 52:
</math>
</math>
</center>
</center>
-
es decir, sólo se diferencian en el valor de la coordenada <math>\phi</math>. Pero, por simetría, el potencial no depende de <math>\phi</math>. Por tanto <math>\Phi(A)=\Phi(B)</math> y el trabajo pedido es
+
es decir, sólo se diferencian en el valor de la coordenada <math>\varphi</math>. Pero, por simetría, el potencial no depende de <math>\varphi</math>. Por tanto <math>\Phi(A)=\Phi(B)</math> y el trabajo pedido es
<center>
<center>
<math>
<math>
Línea 61: Línea 59:
</center>
</center>
-
===Campo eléctrico en el punto O===
+
==Campo eléctrico en el punto O==
De nuevo hay que calcular el campo por integración directa. El campo producido en un punto es
De nuevo hay que calcular el campo por integración directa. El campo producido en un punto es
<center>
<center>
Línea 95: Línea 93:
\int\frac{1}{r'^2}
\int\frac{1}{r'^2}
(
(
-
\,\mathrm{sen}\,\theta'\cos\phi'\mathbf{u}_x +
+
\,\mathrm{sen}\,\theta'\cos\varphi'\mathbf{u}_x +
-
\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{sen}\,\phi'\mathbf{u}_y +
+
\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_y +
\cos\theta'\mathbf{u}_z)
\cos\theta'\mathbf{u}_z)
\mathrm{d}\tau'
\mathrm{d}\tau'
Línea 109: Línea 107:
Este resultado es razonable pues, suponiendo que la densidad de carga es positiva, el campo eléctrico debe apuntar hacia abajo.
Este resultado es razonable pues, suponiendo que la densidad de carga es positiva, el campo eléctrico debe apuntar hacia abajo.
-
===Potencial en zonas alejadas===
+
==Potencial en zonas alejadas==
Para una distribución de carga, el potencial en puntos alejados de ellas se expresa de manera aproximada usando el desarrollo multipolar.
Para una distribución de carga, el potencial en puntos alejados de ellas se expresa de manera aproximada usando el desarrollo multipolar.
Línea 135: Línea 133:
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Revisión de 12:48 9 ene 2010

Contenido

1 Enunciado

Se tiene el sistema de la figura, formado por una semicorona esférica de radios R y 2R, con una densidad volumétrica de carga uniforme ρ0. Se pide
  1. Calcular el potencial eléctrico en el punto O.
  2. Calcular el trabajo necesario para trasladar una carga q desde el punto A hasta el punto B.
  3. Calcular el campo eléctrico en el punto O.
  4. Calcular, hasta el segundo orden de aproximación, la expresión aproximada del potencial en puntos alejados del sistema.


2 Potencial en el punto O

Escogemos un sistema de coordenadas esféricas, de modo que el origen está en el punto O y el plano XY contiene a los puntos A y B. De este modo el volumen cargado esta definido por las coordenadas

\begin{array}{l}
R\leq r\leq 2R\\
0\leq \theta \leq \pi/2\\
0\leq \varphi \leq2\pi
\end{array}

El sistema tiene simetría en \varphi, pero no en θ. Por tanto no se puede usar la ley de Gauss con superficies esféricas para calcular el campo eléctrico. Hay que recurrir a la integración directa. El potencial eléctrico creado por una distibución con densidad de carga ρ en un punto \mathbf{r} es


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'

En este caso queremos calcular el potencial en el punto O, esto es, en \mathbf{r}=0. Por tanto, teniendo en cuenta que la densidad de carga es uniforme, la expresión queda

\Phi(O) = \frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathrm{d}\tau'}{r'}

En coordenadas esféricas \mathrm{d}\tau'=r'^2\mathrm{sen}\theta'\mathrm{d}r'\mathrm{d}\theta'\mathrm{d}\varphi'. Teniendo en cuenta los límites de integración expresados más arriba, el potencial en O es


\Phi(O) = \frac{3\rho_0 R^2}{4\varepsilon_0}

3 Trabajo para llevar una carga desde A hasta B

El trabajo para desplazar una carga entre dos puntos en el eseno del campo producido por la semicorona es


W_{A\to B} = q\left[ \Phi(B)-\Phi(A)\right]

Si elegimos el eje X de modo que pase por el punto A las coordenadas esféricas de estos puntos son


\begin{array}{l}
\mathbf{r}_A = (2R,\pi/2,0)\\
\mathbf{r}_B = (2R,\pi/2,\pi)
\end{array}

es decir, sólo se diferencian en el valor de la coordenada \varphi. Pero, por simetría, el potencial no depende de \varphi. Por tanto Φ(A) = Φ(B) y el trabajo pedido es


W_{A\to B} = q\left[ \Phi(B)-\Phi(A)\right]=0

4 Campo eléctrico en el punto O

De nuevo hay que calcular el campo por integración directa. El campo producido en un punto es


\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\rho(\mathbf{r}') (\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\mathrm{d}\tau'

En el punto O tenemos \mathbf{r}=0 y el campo vale, teniendo en cuenta que la denisdad de carga es uniforme


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathbf{r}'}{r'^3}\mathrm{d}\tau'

Expresando el vector de posición en coordenadas esféricas tenemos


\mathbf{r}'=r'\mathbf{u}_r

y el campo en O es


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0}{4\pi\varepsilon_0}\int
\frac{\mathbf{1}}{r'^2}\mathbf{u}_{r'}\mathrm{d}\tau'

El vector \mathbf{u}_{r'} depende de las coordenadas angulares, por lo que no se puede sacar de la integral. Para poder hacerla expresamos el vector en la base cartesiana, cuyos vectores unitarios no dependen de las coordenadas. De este modo la integral queda


\int\frac{1}{r'^2}\mathbf{u}_{r'}\mathrm{d}\tau'=
\int\frac{1}{r'^2}
(
\,\mathrm{sen}\,\theta'\cos\varphi'\mathbf{u}_x +
\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_y +
\cos\theta'\mathbf{u}_z)
\mathrm{d}\tau'

Teniendo en cuenta los límites de integración, las integrales en X e Y se anulan. El campo final es


\mathbf{E}(O) = -\frac{\rho_0R} {4\varepsilon_0}\mathbf{u}_z

Este resultado es razonable pues, suponiendo que la densidad de carga es positiva, el campo eléctrico debe apuntar hacia abajo.

5 Potencial en zonas alejadas

Para una distribución de carga, el potencial en puntos alejados de ellas se expresa de manera aproximada usando el desarrollo multipolar.


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r} + 
\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 r^3} + \ldots

donde Q y \mathbf{p} son la carga total y el momento dipolar, respectivamente. En este caso ambos son no nulos:


\begin{array}{l}
Q = \int \rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau'=\rho_0\int \mathrm{d}\tau' = \rho_0\left(\frac{2}{3}\pi(2R)^3-\frac{2}{3}\pi(R)^3\right) = \frac{\displaystyle 14\pi\rho_0R^3}{\displaystyle 3}\\ \\
\mathbf{p} = \int \rho(\mathbf{r}')\mathrm{d}\tau'=\rho_0\int\mathbf{r}'\mathrm{d}\tau' = \displaystyle \frac{15\pi\rho_0 R^4}{4}\mathbf{u}_z
\end{array}

Dado que, usando esféricas \mathbf{r}\cdot\mathbf{u}_z=pr\,\mathrm{cos}\theta el potencial en puntos alejados es


\Phi(\mathbf{r}) = \frac{14\rho_0 R^3}{12\varepsilon_0 r} + 
\frac{15\rho_0R^4\mathrm{cos}\theta}{16\varepsilon_0 r^2} + \ldots =
\frac{14\rho_0R^3}{12\varepsilon_0 r}\left(1 + \frac{45 R\mathrm{cos}\theta}{56r} + \ldots \right)

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace