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Percusión sobre una barra vertical (Feb. 2020)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Movimiento de A en función de s)
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Vemos que si <math>s=s_p=4b/3</math> esta velocidad es nula. Ese valor de <math>s</math> indica la posición del centro de percusión de <math>A</math>. Si <math>s<s_p</math> (la parte de arriba de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la derecha. Si <math>s>s_p</math> (la parte de abajo de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la izquierda.
Vemos que si <math>s=s_p=4b/3</math> esta velocidad es nula. Ese valor de <math>s</math> indica la posición del centro de percusión de <math>A</math>. Si <math>s<s_p</math> (la parte de arriba de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la derecha. Si <math>s>s_p</math> (la parte de abajo de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la izquierda.
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[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

Revisión de 20:45 12 feb 2020

Contenido

1 Enunciado

Una varilla delgada (sólido "2") de masa m y longitud 2b está articulada en un pasador (punto A) que desliza sobre el eje fijo OY1.

  1. Calcula la reducción cinemática en el punto A del movimiento {21}.
  2. Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
  3. Cuando la varilla se encuentra en reposo y con x = 0 y θ = 0, se aplica en el punto C una percusión \vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1), con \hat{F}_0>0. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en A.
  4. Discute el movimiento del punto A en función del valor de s. ¿Donde está el centro de percusión de A?

2 Solución

2.1 Reducción cinemática

La reducción cinemática en el punto A es


\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1,
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1

El sólido tiene dos grados de libertad: {x,θ}.

2.2 Energía cinética y potencial

Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido

T = TT + TR

La energía cinética de traslación es


T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2

La velocidad del centro de masas es


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21}  + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
= -b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{x} + b\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
\\
& \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
(b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
-b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

Por tanto, la energía cinética de traslación es


T_T = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta)

La energía cinética de rotación es


T_R = \dfrac{1}{2} I_G |\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{12}m(2b)^2\,\dot{\theta}^2

La energía cinética total es


T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta.

La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto O tenemos

U = Ug = − mgbcosθ.

2.3 Percusión

La velocidad del punto C es


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,C}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21}  + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= -s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + (\dot{x} + s\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
\\
& \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
(s\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
-s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

La función de Lagrange es


L = T - U = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + mgb\cos\theta

Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas


\Delta p_x = \hat{Q}^{NC}_x, 
\qquad
\Delta p_{\theta} = \hat{Q}^{NC}_{\theta}.

Para la primera tenemos


p_x = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} + mb\dot{\theta}\cos\theta
\Longrightarrow
\Delta p_x = \left.(m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
=
m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}.

La percusión generalizada para la coordenada x es


\hat{Q}^{NC}_x = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{x}}
= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
=\hat{F}_0

Obtenemos así la ecuación


\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta} = \hat{F}_0/m\qquad (1)

Procedemos de manera similar para θ


p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \dfrac{4}{3}mb^2\dot{\theta} + mb\dot{x}\cos\theta
\Longrightarrow
\Delta p_{\theta} = \left.(\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
=
\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}.

La percusión generalizada para la coordenada θ es


\hat{Q}^{NC}_{\theta} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(-s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\cos\theta\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
=\hat{F}_0s

Obtenemos así la ecuación


3\Delta\dot{x} + 4b\Delta\dot{\theta} = \dfrac{3\hat{F}_0s}{mb} \qquad (2)

Resolviendo para \Delta\dot{x} y \Delta\dot{\theta} obtenemos


\Delta\dot{x} = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
\qquad
\Delta\dot{\theta} = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)

Como la barra parte del reposo: \dot{x}^- = \dot{\theta}^-=0. Por tanto


\dot{x}^+ = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
\qquad
\dot{\theta}^+ = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)

La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre \vec{\hat{F}} y la percusión vincular \vec{\hat{A}}. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos


\Delta\vec{C} = \vec{\hat{F}} + \vec{\hat{A}}
\Longrightarrow
\vec{\hat{A}} = \Delta\vec{C} - \vec{\hat{F}}

La variación de la cantidad de movimiento es


\Delta\vec{C} = m\Delta\vec{v}^{\,G}_{21} = 
\left.(-b\Delta\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0,\theta=0}
= (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1.

Utilizando la solución calculada antes tenemos


\vec{\hat{A}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1

2.4 Movimiento de A en función de s

La velocidad de A justo después de la percusión es


\vec{v}^{\,A+}_{21} = \dot{x}^+\,\vec{\jmath}_1 = 
\dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s)\,\vec{\jmath}_1

Vemos que si s = sp = 4b / 3 esta velocidad es nula. Ese valor de s indica la posición del centro de percusión de A. Si s < sp (la parte de arriba de la barra) el punto A se mueve hacia la derecha. Si s > sp (la parte de abajo de la barra) el punto A se mueve hacia la izquierda.

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