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Percusión sobre una barra apoyada

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Solución)
(Solución)
 
Línea 18: Línea 18:
Separando en componentes, el TCM nos da:
Separando en componentes, el TCM nos da:
<center><math>\begin{array}{rcl}
<center><math>\begin{array}{rcl}
-
m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^+&=&-P_Q+P_B\\
+
m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^+&=&-P_Q+P_B\\ && \\
-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+&=&P_A
-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+&=&P_A
\end{array}</math></center>
\end{array}</math></center>

última version al 13:56 24 nov 2021

1 Enunciado

Una barra de longitud \ell=100\,\mathrm{cm} y masa m=1.2\,\mathrm{kg} se encuentra apoyada en un suelo y una pared lisos. En un cierto instante se encuentra en reposo, estando su extremo superior a una altura de 60\,\mathrm{cm}. Justo en ese instante experimenta una percusión \vec{P}_Q=-10\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s} en un punto Q a una altura de 40\,\mathrm{cm}.

  1. ¿Cuánto vale la velocidad angular de la barra inmediatamente después de la percusión?
  2. ¿Cuánto valen las percusiones de reacción en los puntos A, de apoyo en el suelo, y B, de contacto con la pared?
Archivo:percusion-barra-apoyada.png

2 Solución

El problema se resuelve empleando el teorema de la cantidad de movimiento y el del momento cinético para la dinámica impulsiva. El TCM es, en este caso

m\left(\vec{v}^{G+}_{21}-\vec{v}^{G-}_{21}\right)=\vec{P}_Q+\vec{P}_A+\vec{P}_B

Inicialmente la velocidad es nula. Después, el movimiento de G sigue un arco de circunferencia, ya que la posición de G cumple, en todo momento

\overrightarrow{OG}=\frac{\ell}{2}S\vec{\imath}+\frac{\ell}{2}C\vec{\jmath}

siendo θ el ángulo que la barra forma con la vertical y S = sen(θ), C = cos(θ).

Derivamos aquí y resulta

\vec{v}^{G+}_{21}=\frac{\ell}{2}\left(C\vec{\imath}-S\vec{\jmath}\right)\dot{\theta}^+

Separando en componentes, el TCM nos da:

\begin{array}{rcl}
m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^+&=&-P_Q+P_B\\ && \\
-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+&=&P_A
\end{array}

Aquí tenemos dos ecuaciones pero tres incógnitas (\dot{\theta}^+, PA y PB) Por otro lado, tenemos el teorema del momento cinético

I\left(\dot{\theta}^+ - \dot{\theta}^-\right)\vec{k}= \overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A+\overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B+\overrightarrow{GQ}\times\vec{P}_Q

Estos tres momentos valen, cada uno, el producto de la percusión por la distancia a la recta soporte, con un sentido dado por la regla de la mano derecha

\overrightarrow{GA}\times\vec{P}_A=\frac{\ell}{2}SP_A\vec{k}\qquad\qquad \overrightarrow{GB}\times\vec{P}_B=-\frac{\ell}{2}CP_B\vec{k}\qquad\qquad
\overrightarrow{GQ}\times\vec{P}_Q=\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q\vec{k}

lo que nos da la tercera ecuación

\frac{1}{12}m\ell^2\dot{\theta}^+=\frac{\ell}{2}SP_A-\frac{\ell}{2}CP_B+\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q

Eliminamos PA y PB despejando del TCM

P_A=-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+\qquad\qquad P_B=m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^++P_Q

y queda, al sustituir

\frac{1}{12}m\ell^2\dot{\theta}^+=\frac{\ell}{2}S\left(-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+\right)-\frac{\ell}{2}C\left(m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^++P_Q\right)+\left(h-\frac{\ell}{2}C\right)P_Q = -m\frac{\ell^2}{4}\dot{\theta}^+-(\ell C-h)P_Q

es decir

\frac{1}{3}m\ell^2 \dot{\theta}^+=-(\ell C-h)P_Q

y, por tanto,

 \dot{\theta}^+=-\frac{3(\ell C-h)P_Q}{m\ell^2}

siendo su valor numérico

\dot{\theta}^+=-\frac{3(0.60-0.40)10}{1.2}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=-5\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Una vez que tenemos la velocidad angular, hallamos las percusiones de reacción

P_A=-m\dfrac{\ell}{2}S\dot{\theta}^+=\frac{3(\ell C-h)SP_Q}{2\ell}=1.2\frac{1}{2}\,\frac{4}{5}5\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}=2.4\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}

y

P_B=m\dfrac{\ell}{2}C\dot{\theta}^++P_Q=\left(-1.2\frac{1}{2}\,\frac{3}{5}5+10\right)\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}=8.2\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}

En forma vectorial

\vec{P}_A=+2.4\vec{\jmath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}\qquad\qquad\vec{P}_B=+8.2\vec{\imath}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}

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