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Partículas en colisión, Noviembre 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:50 23 nov 2018; Pedro (Discusión | contribuciones)
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Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m1 se lanza desde una altura h con velocidad horizontal \vec{v}_0=v_0\,\vec{\imath}, con v0 > 0. La partícula se mueve bajo la acción de la gravedad. Se desprecia el rozamiento del aire. Al mismo tiempo, otra partícula de masa m2 parte desde el origen con velocidad inicial (v_0/2)\,\vec{\imath}. Esta partícula se mueve sobre el eje OX con aceleración \vec{a}_2 = 6At\,\vec{\imath}.

  1. Escribe los vectores de posición de las dos partículas en función del tiempo.
  2. ¿Cuál debe ser el valor de v0 para que las partículas colisionen en el eje OX?
  3. Suponiendo que A=\sqrt{g^3/8h}, calcula el vector tangente de la trayectoria seguida por la partícula 1 en el instante de la colisión.

2 Solución

3 Movimientos de las partículas

La partícula realiza un movimiento parabólico. El movimiento es uniforme sobre el eje OX y uniformemente acelerado sobre el eje OY. El movimiento sobre el eje OX es


\left.
\begin{array}{l}
x_1(0) = 0\\
\dot{x}_1(t) = v_0
\end{array}
\right\}
\Longrightarrow
x(t) = v_0t

El movimiento sobre el eje OY es


\left.
\begin{array}{l}
y_1(0) = h\\
\dot{y}_1(0) = 0\\
\ddot{y}_1(t) = -g
\end{array}
\right\}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
\dot{y}_1(t) = -gt\\
y_1(t) = h-gt^2/2
\end{array}
\right.

Entonces los vectores de posición y velocidad de la partícula 1 es


\begin{array}{l}
\vec{v}_1(t) = v_0\,\vec{\imath} -gt\,\vec{\jmath}\\
\\
\vec{r}_1(t) = v_0t\,\vec{\imath} + (h-gt^2/2)\,\vec{\jmath}
\end{array}

La partícula 2 realiza un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es una función del tiempo. Tenemos que resolver la ecuación diferencial. La aceleración de la partícula 2 sobre el eje OX es


a_2 = \dfrac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = 6At
\Longrightarrow
\mathrm{d}v_2 = 6At\,\mathrm{d}t.

Podemos integrar esta expresión


\int \mathrm{d}v_2 = \int 6At\mathrm{d}t
\Longrightarrow
v_2(t) = 3At^2 + C.

La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la velocidad de la partícula 2


\left.
\begin{array}{l}
v_2(0) = \dfrac{1}{2}v_0\\
v_2(0) = C
\end{array}
\right\}
\Longrightarrow
C=\dfrac{1}{2}v_0.

Por tanto, la velocidad de la partícula 2 es


\vec{v}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\vec{\imath}.

Procedemos de manera similar para encontrar x2(t)


v_2 = \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2
\Longrightarrow
\mathrm{d}x_2 = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t

Podemos integrar esta expresión


\int \mathrm{d}x_2 = \int \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x_2(t) = \dfrac{1}{2}v_0t + At^3 + C

La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la posición de la partícula 2


\left.
\begin{array}{l}
x_2(0) = 0\\
v_2(0) = C
\end{array}
\right\}
\Longrightarrow
C=0.

Por tanto, el vector de posición de la partícula 2 es


\vec{r}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0t + At^3\right)\,\vec{\imath}.

3.1 Colisión de las partículas

Para que las partículas colisionen sus dos vectores de posición tienen que ser iguales en el instante de la colisión, t = tc


\vec{r}_1(t_c) = \vec{r}_2(t_c)
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lr}
v_0t_c = \dfrac{1}{2}v_0t_c + At_c^3, & (1)\\
\\
h-\dfrac{1}{2}gt_c^2 = 0 & (2).
\end{array}
\right.

A partir de la ecuación (2) obtenemos


t_c^2 = 2h/g.

En la ecuación (1) podemos eliminar una tc en todos los sumandos. Despejando el valor de v0 tenemos


v_0 = 2At_c^2 = \dfrac{4Ah}{g}.

3.2 Vector tangente de la partícula 1 en el instante de la colisión

El vector velocidad de la partícula 1 cuando colisionan, \vec{v}_c=\vec{v}(t_c), es


\vec{v}_c = v_0\,\vec{\imath} -gt_c\,\vec{\jmath}.

Sustituyendo los valores de v0 y tc calculados en la pregunta anterior, su módulo es


|\vec{v}_c| = \sqrt{v_0^2 + g^2t_c^2} = 
\sqrt{\dfrac{16A^2h^2}{g^2} + 2hg}

El enunciado nos dice que consideremos la situación en que A2 = g3 / 8h. Sustituyendo este valor obtenemos


|\vec{v}_c| = \sqrt{2gh}

El vector velocidad es

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