Ver el código de «Partícula sometida a fuerza dependiente de una coordenada (Ex.Ene/11)»

==Enunciado==
Una partícula material de masa <math>m</math> parte del origen de coordenadas con velocidad <math>\vec{v}_0=v_0\vec{\jmath}</math>, encontrándose sometida en todo momento a la fuerza dependiente de la posición 

<center><math>\vec{F}(x,y,z)=A\vec{\imath}-By\vec{\jmath}</math></center>

siendo <math>\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}</math> la posición instantánea de la partícula, y <math>A</math> y <math>B</math> dos constantes positivas conocidas.

# Calcule la posición, velocidad y aceleración instantáneas de la partícula para todo instante de tiempo, <math>t</math>.
# Demuestre que

<center><math>G = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-Ax+\frac{1}{2}By^2</math></center>

::es una integral primera del movimiento de la partícula y calcule su valor en todo instante. ¿Qué significado físico tiene esta cantidad?

==Integración de las ecuaciones de movimiento==
Debemos determinar la posición de la partícula en cada instante, conocida la fuerza que actúa sobre ella. Nuestro punto de partida es la segunda ley de Newton

<center><math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}</math></center>

con las condiciones iniciales 

<center><math>\vec{r}(t=0) = \vec{0}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}(t=0)=v_0\vec{\jmath}</math></center>

Escribimos la segunda ley en la base canónica. Para ello, aplicamos que las componentes cartesianas de la aceleración son las segundas derivadas de las coordenadas cartesianas del punto

<center><math>\vec{a}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{A}{m}\vec{\imath}-\frac{B}{m}y\vec{\jmath}</math></center>

Igualando componente a componente:

<center><math>\ddot{x}=\frac{A}{m}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\ddot{y}=-\frac{B}{m}y</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\ddot{z}=0</math></center>

Cada una de estas ecuaciones se puede resolver por separado. Las condiciones iniciales para cada una son, de la posición inicial

<center><math>\vec{0}=\vec{r}(t=0)=x_0\vec{\imath}+y_0\vec{\jmath}+z_0\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{lcr} x_0 & = & 0 \\ y_0 & = & 0 \\ z_0 & = & 0 \end{array}\right.</math></center>

y de la velocidad inicial:

<center><math>v_0\vec{\jmath}=\vec{v}(t=0)=\dot{x}_0\vec{\imath}+\dot{y}_0\vec{\jmath}+\dot{z}_0\vec{k}\qquad\Rightarrow\qquad\left\{\begin{array}{lcr} \dot{x}_0 & = & 0 \\ \dot{y}_0 & = & v_0 \\ \dot{z}_0 & = & 0 \end{array}\right.</math></center>

Resolvemos componente a componente:

;Componente x: La primera componente satisface

<center><math>\ddot{x}=\frac{A}{m}\qquad\dot{x}_0=0\qquad x_0=0</math></center>

:Esta es la ecuación de un movimiento uniforme acelerado. Obtenemos la coordenada <math>x</math> como función del tiempo integrando dos veces respecto al tiempo. La primera integración nos da la componente x de la velocidad:

<center><math>\dot{x}(t)=\dot{x}_0+\int_0^t \frac{A}{m}\mathrm{d}t = \frac{A}{m}t</math></center>

:y la segunda la de la posición

<center><math>x(t) = x_0+\int_0^t \frac{At}{m}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\frac{A}{m}t^2</math></center>

:Podíamos haber llegado directamente a este resultado simplemente sustituyendo las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado en una dimensión.

;Componente y: La ecuación para la segunda componente es

<center><math>\ddot{y}=-\frac{B}{m}y\qquad\dot{y}_0=v_0\qquad y_0=0</math></center>

:Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia natural

<center><math>\omega = \sqrt{\frac{B}{m}}</math></center>

:La integración de este movimiento da una sinusoide

<center><math>y(t) = C \cos(\omega t+\beta)\,</math></center>

:siendo <math>C</math> y <math>\beta</math> dos constantes que imponemos de las condiciones iniciales

<center><math>0 = y_0 = C\cos(\beta)\qquad\qquad v_0 = \dot{y}_0 = -C\omega\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>

:De la primera obtenemos que <math>\beta = \pi/2</math> y, sustituyendo en la segunda, <math>C = -v_0/\omega</math>. Por tanto la dependencia de y respecto al tiempo es

<center><math>y(t) = -\frac{v_0}{\omega}\cos\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center>

;Componente z: Por último tenemos

<center><math>\ddot{z}=0\qquad\dot{z}_0=0\qquad z_0=0</math></center>

:Esta ecuación es idéntica a la de la componente x, con la simplificación adicional de que la aceleración es nula, resultando simplemente

<center><math>z(t) = 0</math></center>

Reuniendo los tres resultados obtenemos las ecuaciones horarias

<center><math>\vec{r}(t)=x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}=\frac{At^2}{2m}\vec{\imath}+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}\qquad \omega = \sqrt{\frac{B}{m}}</math></center>

Derivando una vez respecto al tiempo obtenemos la velocidad

<center><math>\vec{v}(t)=\frac{At}{m}\vec{\imath}+v_0\cos(\omega t)\vec{\jmath}</math></center>

y derivando una segunda vez hallamos la aceleración

<center><math>\vec{a}(t)=\frac{A}{m}\vec{\imath}-v_0\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}</math></center>

==Integral primera==
Para demostrar que G es una integral primera tenemos dos caminos directos:

* Derivar G y comprobar que la derivada es nula en todo instante.
* Sustituir la solución anterior y ver que sale un valor constante.

===Derivando G===
Si elegimos el primer camino, porque no requiere haber resuelto el primer apartado, tenemos

<center><math>\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}=\dot{G}=\frac{m}{2}(2\dot{x}\ddot{x}+2\dot{y}\ddot{y})-A\dot{x}+\frac{1}{2}B(2y\dot{y})</math></center>

Agrupando términos

<center><math>\dot{G}=\dot{x}(m\ddot{x}-A)+\dot{y}(m\ddot{y}+By)</math></center>

Si aquí sustituimos la segunda ley de Newton queda

<center><math>\dot{G}=\dot{x}(A-A)+\dot{y}(-By+By)=0</math></center>

y por tanto G es una integral primera o constante de movimiento. Su valor los obtenemos sustituyendo las condiciones iniciales

<center><math>G(t) = G(t=0) = \frac{1}{2}m(0+v_0^2) -A\cdot 0+\frac{B}{2}0^2 = \frac{1}{2}mv_0^2</math></center>

En cuanto a su interpretación física es sencilla. El primer término es la energía cinética

<center><math>K = \frac{1}{2}mv^2= \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)</math></center>

y el segundo es la suma de la energía potencial asociada a una fuerza constante (como el peso), mientras que la segunda es la energía potencial de un oscilador armónico

<center><math>U(x,y) = -Ax + \frac{1}{2}By^2 = U_1(x) + U_2(y)</math></center> 

Concluimos entonces que la cantidad G no es otra que la energía mecánica de la partícula

<center><math>G = K + U = E\,</math></center>

===Sustituyendo las ecuaciones horarias===
Si optamos por sustituir la solución calculada en el primer apartado, obtenemos

<center><math>G(t) = \frac{1}{2}m\left(\left(\frac{At}{m}\right)^2+(v_0\cos(\omega t))^2\right)-A\left(\frac{At^2}{2m}\right)+\frac{B}{2}\left(\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)\right)^2</math></center>

Agrupando términos

<center><math>G = \frac{A^2t^2}{2m}-\frac{A^2t^2}{2m}+\frac{1}{2}mv_0^2\cos^2(\omega t) + \frac{1}{2}v_0^2\mathrm{sen}^2(\omega t) = \frac{1}{2}mv_0^2\quad \forall t</math></center>

y por tanto <math>G</math> es constante.
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