Una partícula de masa recorre una trayectoria elíptica en el plano . La ecuación de
la elipse es , con . En el instante inicial la partícula se
encontraba en el punto con velocidad , siendo . Durante
su movimiento la partícula se encuentra sometida a una fuerza dirigida siempre hacia el origen .
Calcula el momento angular de la partícula respecto al origen.
Calcula la velocidad de la partícula cuando está en el punto .
Calcula la velocidad areolar de la partícula.
Solución
Momento angular respecto al origen
La única fuerza que actúa sobre la partícula apunta siempre hacia el origen. Por tanto es una fuerza central, y se conserva el momento angular de la partícula respecto al origen
Entonces basta con calcular el momento angular en el instante inicial. Tenemos
Velocidad de la partícula en
El momento angular de la partícula cuando está en el punto es
Como el momento angular se conserva durante todo el movimiento tenemos
Y el vector velocidad en es
Velocidad areolar
Hemos visto en teoría que la velocidad areolar está relacionada con el módulo del momento angular. Podemos derivar esta relación de nuevo. En un intervalo de tiempo la partícula realiza un desplazamiento . El área del triángulo formado por y es
Entonces la velocidad areolar es
Sustituyendo los valores numéricos tenemos
Errores comunes detectados en la corrección
No se puede escribir el vector de posición de una partícula que recorre una elipse de la forma