Ver el código de «Partícula en barra giratoria con dos muelles, Septiembre 2014 (G.I.C.)»

== Enunciado ==
[[Imagen:particula_barra_dos_muelles_enunciado.png|right]]
Una partícula <math>P</math> de masa <math>m</math> desliza sin rozamiento a lo largo de una varilla <math>OA</math> de longitud <math>L</math>. Actúan sobre ella dos muelles, ambos de longitud natural nula y constante elástica <math>k</math>, anclados en los puntos <math>O</math> y <math>A</math>, respectivamente. El efecto de la gravedad es despreciable.

#Escribe las expresiones del vector posición y velocidad de la partícula en coordenadas cartesianas y polares. Deja las expresiones en función de <math>r(t)</math>, <math>\theta(t)</math> y sus derivadas temporales.
#Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula y escribe, usando coordenadas polares, las dos componentes de la Segunda Ley de Newton aplicada al movimiento de la partícula.
#Supongamos que la barra gira con velocidad angular constante <math>\omega</math>.  Durante el giro, la distancia de la partícula al origen permanece constante.  ¿Cuánto vale esa distancia? ¿Que condición debe cumplirse para que esta situación sea posible físicamente? 
#Calcula el valor numérico de los módulos de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula en la situación del apartado anterior y con estos valores numéricos: <math>m=10.0\,\mathrm{g}</math>, <math>k=100\,\mathrm{N/m}</math>, <math>L=100\,\mathrm{cm}</math>, <math>\omega=5.00\,\mathrm{rad/s}</math>.

== Solución ==

=== Vectores posición y velocidad ===
En coordenadas cartesianas el vector de posición de la partícula es
<center>
<math>
\vec{r}(t) = x(t)\,\vec{\imath} + y(t)\,\vec{\jmath} =
r(t)\cos(\theta(t))\,\vec{\imath} + r(t)\,\mathrm{sen}(\theta(t))\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
La velocidad se obtiene derivando respecto al tiempo este vector
<center>
<math>
\vec{v}(t) = 
(\dot{r}\,\cos(\theta) - r\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\theta)\,\vec{\imath}
+
(\dot{r}\,\mathrm{sen}(\theta) + r\dot{\theta}\cos(\theta))\,\vec{\jmath}
</math>
</center>
Hay que recordar que <math>r </math>, <math>\theta </math>, <math>\dot{r} </math> y <math>\dot{\theta} </math> son funciones del tiempo.

En coordenadas polares los vectores posición y velocidad son
<center> 
<math>
\begin{array}{l}
\vec{r}(t) = r\,\vec{u}_{r} \\
\vec{v}(t) = \dot{r}\,\vec{u}_{r} + r\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
\end{array}
</math>
</center>
Después nos hará falta el vector aceleración en polares. Lo obtenemos derivando respecto al tiempo el vector velocidad
<center>
<math>
\vec{a}(t) = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r 
+
(2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}
</math>
</center>

=== Fuerzas y Segunda Ley de Newton ===
[[Imagen:Particula_barra_dos_muelles_fuerzas.png |right]]
La figura muestra las tres fuerzas que actúan sobre la partícula: las fuerzas de los muelles, <math>\vec{F}_O </math> y <math>\vec{F}_A </math>, y la fuerza de reacción vincular, <math> \vec{\Phi}</math>, que la barra ejerce sobre la partícula para obligarla a acompañarla en su  movimiento.

Usamos coordenadas polares para expresar estas fuerzas. Los muelles son de longitud natural nula y constante elástica <math>k </math>. Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
 \vec{F}_O = -k\overrightarrow{OP} = -kr\,\vec{u}_r \\ \\
 \vec{F}_A = -k\overrightarrow{AP} = k(L-r)\,\vec{u}_r 
\end{array}
</math>
</center>
La fuerza de reacción vincular es siempre perpendicular a la barra, por lo que se escribe
<center>
<math>
\vec{\Phi} = \Phi\,\vec{u}_{\theta}
</math>
</center>
Su magnitud <math>\Phi </math> es una incógnita. No sabemos cuanto vale a priori.

La segunda Ley de Newton dice
<center>
<math>
m\vec{a} = \vec{F}_O + \vec{F}_A + \vec{\Phi}
</math>
</center>
Escribiéndola por componentes en polares obtenemos dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{l}
m(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) = -kr + k(L-r)\\ \\
m(2\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta}) = \Phi
\end{array}
</math>
</center>

=== Caso particular ===
Consideramos la situación en que la velocidad angular de la barra es constante y de valor <math>\omega </math> (es decir, <math>\dot{\theta}=\omega, \ddot{\theta}=0 </math>). Ademas se dice que la distancia de la partícula al origen permanece constante (es decir, <math>\dot{r}=0 </math>, <math>\ddot{r}=0 </math>). En esta situación, la primera ecuación del apartado anterior nos da la posición de equilibrio de la partícula
<center>
<math>
-mr_{eq}\omega^2 = -kr_{eq} + k(L-r_{eq}) 
\Longrightarrow
r_{eq} = \dfrac{kL}{2k - m\omega^2}
</math>
</center>
Para que esta situación pueda darse en la práctica debe ocurrir que la partícula permanezca dentro de la barra, es decir
<center>
<math>
0\leq r_{eq} \leq L
</math>
</center>


La segunda ecuación nos da la magnitud de la fuerza de reacción vincular en esta situación
<center>
<math>
\Phi = 0
</math>
</center>

=== Aplicación numérica ===
Utilizando los valores numéricos del enunciado tenemos
<center>
<math>
r_{eq} = 0.50\,\mathrm{m}
</math>
</center>
Y los módulos de las fuerzas son
<center>
<math>
|\vec{F}_O| = |\vec{F}_A| = 50.0\,\mathrm{N/m}
</math>
</center>
y 
<center>
<math>
|\vec{\Phi}| = 0.00 \,\mathrm{N/m}
</math>
</center>

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[[Categoría:Problemas de examen]]
[[Categoría:Física I (G.I.C.)]]