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Partícula deslizando sobre una barra horizontal con dos muelles (Ene. 2019 G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Movimiento de la partícula)
 
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Si en vez de escoger la solución <math>\phi=\pi/2</math> en la ecuación (5) nos hubiéramos quedado con <math>\phi=3\pi/2</math> habríamos llegado directamente a la segunda expresión.
Si en vez de escoger la solución <math>\phi=\pi/2</math> en la ecuación (5) nos hubiéramos quedado con <math>\phi=3\pi/2</math> habríamos llegado directamente a la segunda expresión.
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última version al 12:53 31 ene 2019

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m desliza por una barra fija horizontal, como se indica en la figura. La masa está conectada a dos muelles de longitud natural nula y constantes elásticas k1 = 3k y k2 = k. El contacto entre la partícula y la barra es rugoso.

  1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Encuentra las expresiones que dan las fuerzas que los muelles ejercen sobre la partícula.
  2. Calcula las fuerzas que actúan sobre la partícula cuando se encuentra en equilibrio estático.
  3. Si el coeficiente de rozamiento estático es μ, determina el rango de posibles posiciones de equilibrio.
  4. Suponemos ahora que no hay rozamiento. Encuentra la ecuación de movimiento de la partícula.
  5. En el instante inicial la partícula se encuentra en el puno B con velocidad v0 dirigida hacia la derecha. Encuentra la expresión x(t) que da la posición de la partícula en el tiempo.

2 Solución

2.1 Diagrama de cuerpo libre

La figura de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Las fuerzas que actúan son el peso, las fuerzas de los muelles, la fuerza vincular normal de la barra y la fuerza de rozamiento de la barra sobre la partícula.

Los muelles tienen longitud natural nula, por lo que la fuerza que ejercen puede calcularse como


\vec{F}_1 = -k_1\overrightarrow{OA},  \qquad \vec{F}_1 = -k_2\overrightarrow{CA}

Estos vectores geométricos son


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OA} = x\,\vec{\imath} + h\,\vec{\jmath},\\
\overrightarrow{CA} = x\,\vec{\imath} - h\,\vec{\jmath}
\end{array}

Las expresiones de las fuerzas en el sistema de ejes de la figura son


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_1 = -3kx\,\vec{\imath} - 3kh\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_2 = -kx\,\vec{\imath} + kh\,\vec{\jmath},\\
\vec{N} = N\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_R = F_R\,\vec{\imath}.
\end{array}

2.2 Equilibrio estático

La condición para que una partícula esté en equilibrio estático es que la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella sea cero.


\vec{P} + \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{N} + \vec{F}_R=\vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -3kx - kx + F_R=0, & (1)\\
Y) & \to & -3kh + kh  -mg + N=0. & (2)
\end{array}
\right.

De estad dos ecuaciones despejamos N y FR. Para una posición dada, las fuerzas vinculares son


\vec{N} = (mg + 2kh)\,\vec{\jmath}, \qquad
\vec{F}_R = 4kx\,\vec{\imath}.

2.3 Rango de posiciones de equilibrio

Para que la fuerza de rozamiento sea capaz de mantener el equilibrio debe cumplirse la condición


|\vec{F}_R|\leq|\vec{N}| 
\Longrightarrow
4k|x| \leq \mu(mg+2kh)
\Longrightarrow
|x| \leq \mu(mg+2kh)/4k.

La x puede ser positiva o negativa. Por tanto, el rango de posiciones de equilibrio es


x\in \left(-\mu\dfrac{mh+2kh}{4k}, +\mu\dfrac{mh+2kh}{4k}\right).

2.4 Problema dinámico sin rozamiento

La ley que determina el movimiento es la Segunda Ley de Newton


m\vec{a} = \vec{P} + \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{N}.

No hay rozamiento en este caso. La aceleración es


\vec{a} = a\,\vec{\imath} = \ddot{x}\,\vec{\imath}.

La Segunda Ley proporciona dos ecuaciones


\begin{array}{lclr}
X) & \to & m\ddot{x} = -4kx, & (3)\\
Y) & \to & -2kh -mg + N=0. & (4)
\end{array}

La primera es la ecuación de movimiento


\ddot{x} = -\dfrac{4k}{m}\,x
\Longrightarrow
\ddot{x} = -\omega^2x
\qquad\qquad
\omega = 2\sqrt{\dfrac{k}{m}}.

Es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico.

La segunda ecuación da el valor de la fuerza vincular


\vec{N} = (mg + 2kh)\,\vec{\jmath}

2.5 Movimiento de la partícula

Las condiciones iniciales que nos da el enunciado son


x(0) = 0, \qquad v(0) = \dot{x}(0) = v_0 \quad (v_0>0).

La solución general de la ecuación del MAS, así como la velocidad son


\begin{array}{l}
x(t) = A\cos(\omega t+ \phi),\\
v(t) = \dot{x}(t) = -A\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t+ \phi).
\end{array}

Imponemos las condiciones iniciales


\begin{array}{lr}
x(0) = A\cos\phi = 0, & (5)\\
\dot{x}(0) = -A\omega\,\mathrm{sen}\,\phi = v_0.& (6)
\end{array}

De la primera ecuación obtenemos


\cos\phi=0 
\Longrightarrow
\phi = \pi/2

Ahora, de la ecuación (6) obtenemos

A = − v0 / ω.

La solución buscada es


x(t) = -\dfrac{v_0}{\omega}\cos(\omega t + \pi/2) =
\dfrac{v_0}{\omega}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)

Si en vez de escoger la solución φ = π / 2 en la ecuación (5) nos hubiéramos quedado con φ = 3π / 2 habríamos llegado directamente a la segunda expresión.

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